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黑龙江省大庆实验中学2016届高三数学上学期第一次月考试题 文

大庆实验中学 2015-2016 学年度上学期 9 月月考 高三年级数学试题(文)
说明:1.本卷满分 150 分,考试时间为 2 小时。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.两直线 (2m ? 1) x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 垂直,则 m 的值为( A. 0 B. )

y?? y??

9 x 4

6 13

C.

6 11

D. 0或

6 13


4 x 9

2.过点 P ? 2,3? 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( A. 2 x ? 3 y ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0
2 2

B. x ? y ? 5 ? 0

y??
D. 3x ? 2 y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0
2 2

3 x 2

y?? 3 .已知圆 O1 : ? x ? 1? ? ? y ? 3 ? ? 4 ,圆 O2 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 ,则两圆的位置关系是
( ) A.外切 4.双曲线 B.内切 C.内含 ) D. 相交

2 x 3

x2 y2 ? ?1 4 9

的渐近线方程是(

A. 5.如果方程 x ?
2

B.

C.

D.

y2 ? 2 表示焦点在 x 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( k
B. ?1,??? C. ?1,2? D. ?0,1? )



A. ?0,???
2 2

6.圆 x ? y ? 1与直线 y ? kx-3 有公共点的充分不必要条件是( A. k ? ?2 2或k ? 2 2
2 2

B. k ? 2

C. k ? ?2 2

D. k ? ?2 2或k>2

7.在圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 内,过点 E (0,1) 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD ,则 四边形 ABCD 的面积为( A. 5 2 B. 15 2 ) C. 10 2 D. 20 2

8.已知双曲线 支有

(a>0,b>0),若过右焦点 F 且倾斜角为 30°的直线与双曲线的右

-1-

2 2 2 x M ,2 N P C C 2 , ? ? PM ? ? ?PN C :: x x ? 2 3? ? ? y ? 3 4? ? 1 9 , 3 1 2 ?2 1 23

?

??

两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A.(1,2) B.[2,+∞) C.(1,

) ) D.[ ,+∞)

9. 已知椭圆 E : 点.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两 a 2 b2

若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为(



x2 y 2 ? ?1 A. 45 36
10. 已知圆 上的动点,

x2 y 2 ? ?1 B. 36 27
,圆

x2 y 2 ? ?1 C. 27 18
, 的最小值为( )

x2 y 2 ? ?1 D. 18 9
分别是圆

为 轴上的动点,则 B. 5 2 ? 4

A. 6 ? 2 2

C. 17 ? 1

D. 17

x2 y 2 11.已知 F1 , F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左右两个焦点,过点 F2 与双曲线的一条 a b
渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M,若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外,则该 双曲线离心率的取值范围是( A. 1, 2 ) C. D.

?

?

B.

12.已知点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1( x ? 0, y ? 0) 上的动点,F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,O 16 8


是坐标原点, 若 M 是∠F1PF2 的平分线上一点, 且 F1 M ? MP ? 0 , 则 | OM | 的取值范围是 ( A.[0,3) B.[ 2 2 ,3) C. (0, 2 2 ) D. (0,4]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知实数 x , y 满足方程 ( x ? 2) ? y ? 3 ,则
2 2
2 2

y 的最小值______ . x

14. 已知圆 O : x ? y ? 1 , 点 M ( x0 , y0 ) 是直线 x ? y ? 2 ? 0 上一点, 若圆 O 上存在一点 N ,

-2-

? ???? 2 ??? C 1?x ?DA y2 BD ?32 A? C : 1, ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 ? a 22 ? ?b

使得 ?NMO ?

?
6

,则 x0 的取值范围是



15. 设点 P 是椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? 3b 2 的一个交点, F1 , F2 分别是椭 2 a b
.

圆的左、右焦点,且 | PF1 |? 3 | PF2 | ,则椭圆的离心率为 16.以下四个命题中: ①已知圆 C 上一定点 A 和一动点 B , O 为坐标原点,若 OP ? 为圆;

??? ?

? ??? ? 1 ??? OA ? OB 则动点 P 的轨迹 2

?

?

②设 A、B 为两个定点, k 为非零常数, PA ? PB ? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ③0 ?? ? 同;
2 P ,若 | PF P 的轨迹关 ④已知两定点 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) 和一动点 1 | ? | PF 2 |? a (a ? 0) ,则点

??? ?

??? ?

?
4

,则双曲线 C1 :

y2 x2 x2 y2 与 C : ? ? 1 的离心率相 ? ? 1 2 sin 2 ? sin 2 ? tan 2 ? cos2 ? sin 2 ?

于原点对称. 其中正确命题的序号为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。 17. (本小题满分 10 分) 已知圆 C 经过点 A(2,0), B(1, ? 3) ,且圆心 C 在直线 y ? x 上, (1)求圆 C 的方程; (2)过点 的直线 l 截圆所得弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程. (1, ) 18.(本小题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线的右焦点为 F (2,0) ,右顶点为 A(1,0) . (Ⅰ)试求双曲线的方程; (Ⅱ)过左焦点作倾斜角为

3 3

? 的弦 MN ,试求 ?OMN 的面积( O 为坐标原点) . 6
的离心率为 , 且过点 .

19.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 (Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)若点 B 在椭圆上,点 D 在 y 轴上,且 20. (本小题满分 12 分)

,求直线 AB 方程.

x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上任意一点到两焦点 F1 , F2 距离之和为 4 2 ,离心率为 a b

-3-

A (1, 0) |l AD :2 y? ? |? ? kx |2 ? m |? 4 3 C k E D P x y PF 7AE PF F 3,0) tan F 1 3,0) 1 2(? 1PF 2 2 ? ? 1( a ? b ? 0) a 2 b2

3 . 2
(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ) 若直线 l 的斜率为 面积的最大值. 21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 : 的焦点分别为 、 , 点 在椭圆 上,

1 , 直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点. 点 P(2,1) 为椭圆上一点, 求△PAB 2

满足 (Ⅰ)求椭圆 (Ⅱ)已知点

, 的方程;



,试探究是否存在直线

与椭圆

交于



两点,且使得

?若存在,求出 的取值范围;若不存在,请说明理由. 22. (本小题满分 12 分)

3 x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 、F2 , 离心率为 , 且经过点 (1, ) . 2 a b 2 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
已知椭圆 C : (Ⅱ)动直线 l : y ? x ? m 与椭圆 C 相切,点 M , N 是直线 l 上的两点,且 F1M ? l , F2 N ? l . 求四边形 F1MNF2 面积; (Ⅲ) 过椭圆 C 内一点 T (t ,0) 作两条直线分别交椭圆 C 于点 A, C 和 B, D , 设直线 AC 与 BD 的

| BT | |?TD | 斜率分别为 k1 、k2 ,若 | AT | ?| TC | ?
若不是,说明理由.

,试问 k1 ? k2 是否为定值,若是,求出此定值;

-4-

MN ? OMN 1 2 3 3 S ? ?3 ?1 ? 2 2 3 d? ?1 3 ( )2 ? 1 3
高三 数学(文科)月考参考答案 一、 二、 BDDBDCCCDBBC 13、 ? 3 14、 【-2,0】 15、

14 4

16、①③④

三、 17、 (1)设圆心 C( a, a ),(1 分)

CA ? CB ? a 2 ? (a ? 2) 2 ? (a ? 1) 2 ? (a ? 3) 2 ? a ? 0
所以 r ? CA ? 2 (5 分), 圆 C 的方程为 x ? y ? 4
2 2

(5 分)

(2) 若直线 l 的斜率不存在,方程为 x ? 1 ,此时直线 l 截圆所得弦长为 2 3 ,符合题意; 若直线

l 的斜率存在,设方程为 y ?

3 ? k ( x ? 1)即3kx ? 3 y ? 3 ? 3k ? 0 3

由题意,圆心到直线的距离 d ?

| 3 ? 3k | 9k ? 9
2

? 22 ? 3 ? 1 ? k ? ?

2

3 3

直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 综上,所求方程为 x ? 1 或 x ? 3 y ? 2 ? 0 18、 (1) c ? 2, a ? 1, b ? 3 ,方程为 x ?
2

(10 分)

y2 ?1 3

(4 分)

(2)直线 MN : y ?

3 ( x ? 2) , 3

2 与x ?

y2 ? 1 联立,消 y 并整理得 8x 2 ? 4 x ? 13 ? 0 3

则 | MN |? 1 ?

1 1 13 ? ( ) 2 ? 4 ? (? ) ? 3 3 2 8

又原点到直线

的距离为

故所求

的面积的面积为



(12 分)

-5-

?e ?
19. (1)

c 1 ? ? a ? 2c a 2

?b2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2

x2 y2 1 3 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? c ? 1 2 4c 3c 设椭圆方程为: 4c , 4c x2 y 2 ? ?1 3 设椭圆方程为: 4

(4 分)

??? ? 3 ??? ? DA ? (1, ? m) B ? ( x , y ) BD ? ( ? x , m ? y ) 2 0 0 D ? (0, m) ,则 0 0 , (2)设

?? x0 ? 2, m ? y0 ? 3 ? 2m ,即 x0 ? ?2, y0 ? 3m ? 3 代入椭圆方程得 m ? 1
? D(0,1)
? l AB : y ? 1 x ?1 2

(12 分)

? 2a ? 4 2 ? c 3 ? 20. (1)由条件得: ? e ? ? ,解得 a ? 2 2 , c ? 6, b ? 2 ,所以椭圆的方程为 a 2 ? 2 2 2 ? ?a ? b ? c
x2 y 2 ? ?1 8 2
(4 分) (2)设 l 的方程为 y ?

1 x ? m ,点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 2

1 ? y? x?m ? ? 2 由? 2 消去 y 得 x 2 ? 2m x ? 2m2 ? 4 ? 0 . 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8
令 ? ? 4m2 ? 8m2 ? 16 ? 0 ,解得 m ? 2 ,由韦达定理得 x1 ? x2 ? ?2m, x1x2 ? 2m ? 4 .
2

则由弦长公式得 AB ? 1 ?

1 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 5(4 ? m2 ) . 4
m 1 1? 4 ? 2m 5


又点 P 到直线 l 的距离 d ?

-6-

∴ S?PAB ?

1 1 2m m2 ? 4 ? m2 AB d ? ? ? 5(4 ? m2 ) ? m2 (4 ? m2 ) ? ?2, 2 2 2 5
(12 分)

当且仅当 m 2 ? 2 ,即 m ? ? 2 时取得最大值.∴△PAB 面积的最大值为 2. 21 、试题解析: ( 1 )由

PF1 ? 7 PF2

, PF1 ? PF2 ? 2a 得

PF1 =

7a a , PF2 ? 4 4 ,由余弦定理得

7a a ( )2 ? ( )2 ? (2 3)2 1 4 cos ?F1 PF = ? 4 x2 7a a 7 ? y2 ? 1 2? ? C ? a ? 2 4 4 4 , , ∴所求 的方程为 .
(2)假设存在直线 l 满足题设,设

(4 分)

D( x1 , y1 ), E( x2 , y2 ) ,

x2 ? y2 ? 1 将 y ? kx ? m 代入 4 并整理得

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ,
由 ? ? 64k m ? 4(1 ? 4k )(4m ? 4) ? ?16(m ? 4k ?1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2
2 2 得 4k ? 1 ? m ①



x1 ? x2 ? ?

4km m ? 3k 2 m 8km M ( ? , ) 1 ? 4k 2 设 D, E 中点为 M ( x0 , y0 ) , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

1 ? 4k 2 m?? k AM k ? ?1 ,得② 3k 1 ? 4k 2 2 4k 2 ? 1 ? ( ) 3k 将②代入①得
化简得 20k ? k ?1 ? 0 ? (4k ? 1)(5k ?1) ? 0 ,解得
4 2 2 2

k?

5 5 k?? 5 或 5

所以存在直线 l ,使得 | AD |?| AE | ,

此时 k 的取值范围为

(??, ?

5 5 ) ? ( , ??) 5 5

(12 分)

22. (Ⅰ)

x2 y 2 ? ? 1 ; (Ⅱ) 7 ; (Ⅲ) k1 ? k2 ? 0 为定值 4 3

-7-

试题解析: (Ⅰ)依题意,设椭圆 C 的方程为 离心率 e ?

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) . a 2 b2

c 1 3 ? ,又 a 2 ? b2 ? c 2 ,所以 b 2 ? a 2 a 2 4 9 3 1 点 (1, ) 在该椭圆 C 上,所以 2 ? 4 ?1 2 a b2

x2 y 2 解得 a ? 4, b ? 3 .所以椭圆 C 的方程为 ? ? 1. 4 3
2 2
2 2

(2 分)

(Ⅱ)将直线的方程 y ? x ? m 代入椭圆 C 的方程 3 x ? 4 y ? 12 中, 得 7 x 2 ? 8mx ? 4m 2 ? 12 ? 0 . 由直线与椭圆 C 仅有一个公共点知, ? ? 64m ? 28(4m ? 12) ? 0 ,
2 2

化简得: m 2 ? 7 . 设 d1 ? F1M ?

?1 ? m 2

, d 2 ? F2 N ?

1? m 2



又因为 d1 ? d 2 ? MN 所以 S ?

d 2 ? d22 1 d1 ? d 2 (d1 ? d 2 ) ? 1 ?m? 7 2 2

(6 分)

(Ⅲ)由 T (t , 0) ,则直线 AC 的方程 y ? k1 ( x ? t ) ,设 A ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? 联立直线与椭圆方程得 (3 ? 4k1 ) x ? 8k1 tx ? 4k1 t ? 12 ? 0
2 2 2 2 2

则 x1 ? x2 ? 则 AT ? 所以

8k12t 4k12t 2 ? 12 , x ? x ? 1 2 3 ? 4k12 3 ? 4k12
( x1 ? t ) 2 ? y12 ? 1 ? k12 x1 ? t
=

? AT ? TC ? ?1 ? k12 ? ? x1 ? t ?? x2 ? t ?
2 1

?1 ? k ? x x
2 1

1 2

? t ? x1 ? x2 ? ? t 2

4k12t 2 ?12 8k12t 2 ? (1 ? k ) ? ? t2 2 2 3 ? 4k1 3 ? 4k1
? (1 ? k )
2 1

3t 2 ? 12 3 ? 4k12

又 T (t ,0) 为椭圆 C 内一点,所以

t2 ? 1即 t 2 ? 4 4
-8-

所以 3t 2 ? 12 ? 0 所以 AT ? TC ?
2 (1 ? k12 ) ? (12 ? 3t 2 ) (1 ? k2 ) ? (12 ? 3t 2 ) ; 同理 AT ? TD ? 2 3 ? 4k12 3 ? 4k2

2 1 ? k12 1 ? k2 2 所以 ,解得 k12 ? k2 ? 2 2 3 ? 4k1 3 ? 4k2

又直线 AC 与 BD 不重合,所以 k1 ? k2 ? 0 为定值.

(12 分)

-9-


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