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【高中数学】2018-2019学年度最新北师大版必修3教学案:第三章 §2 2.2建立概率模型 Word版含解析


2.2 建立概率模型 “放回”与“不放回” 问题 [典例] 从含有两件正品 a1, a2 和一件次品 b1 的 3 件产品中每次任取 1 件, 连续取两次. (1)若每次取出后不放回,连续取两次,求取出的产品中恰有一件是次品的概率; (2)若每次取出后又放回,求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率. [解] (1)每次取一件,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果为(a1,a2),(a1, b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产 品,右边的字母表示第 2 次取出的产品.由 6 个基本事件组成,而且可以认为这些基本事件 的出现是等可能的.用 A 表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件,则 A={(a1,b1), (a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}. 4 2 事件 A 由 4 个基本事件组成.因而 P(A)= = . 6 3 (2)有放回地连续取出两件,其一切可能的结果为(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1), (a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)共 9 个基本事件.由于每一件产品被取到的 机会均等, 因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的. 用 B 表示“恰有一件次品”这一事 件,则 B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}. 4 事件 B 由 4 个基本事件组成,因而 P(B)= . 9 抽取问题是古典概型的常见问题, 解决此类问题需要注意两点: 一是所给问题是否需要 将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件,二是看抽取的方式是有放回还是不放 回,两种抽取方式对基本事件的总数是有影响的.另外,不放回抽样看作无序或有序抽取均 可,有放回抽样要看作有序抽取. [活学活用] 口袋中有 6 个除颜色外其余都相同的球,其中 4 个白球,2 个红球,从袋中一次任意取 出 2 球,求下列事件的概率: (1)事件 A=“取出的 2 球都是白球”; (2)事件 B=“取出的 2 球一个是白球,另一个是红球”. 解:设 4 个白球的编号分别为 1,2,3,4,2 个红球的编号分别为 5,6. 从口袋中的 6 个球中任取 2 个球的所有基本事件是:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共 15 个基本事件. (1)从口袋中的 6 个球中任取 2 个,所取的 2 球全是白球包含的基本事件共 6 个,分别 是(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4). 6 2 所以取出的 2 个球全是白球的概率 P(A)= = . 15 5 (2)从口袋中的 6 个球中任取 2 个,其中一个是红球,而另一个是白球包含的基本事件 共 8 个,分别是(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6).所以取出的 2 个球一 8 个是白球,另一个是红球的概率 P(B)= . 15 建立概率模型解决问题 [典例] 甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排,试求下列事件的概率: (1)甲在边上; (2)甲和乙都在边上; (3)甲和乙都不在边上. [解] 利用树状图来列举基本事件,如图所示. 由树状图可看出共有 24 个基本事件. (1)甲在边上有 12 种情形: (甲,乙,丙,

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