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(通用)2018年高考数学一轮复习第八章立体几何82空间几何体的表面积、体积学案理!


§8.2

空间几何体的表面积、体积

考纲展示? 1.掌握与三视图相结合求解柱、锥、台、球的表面积和体积,了解计算公式. 2.会处理棱柱、棱锥与球组合体的“接”“切”问题. 考点 1 几何体的表面积

1.柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 圆锥 圆台 直棱柱 正棱锥 正棱台 球 答案:2π rh π rl Ch 2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是________. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是________、________、________;它们的表面 积等于________与底面面积之和. 答案:(1)各面面积之和 (2)矩形 扇形 扇环 侧面积 1 Ch′ 4π R2 2

S 侧=________ S 侧=________ S 侧=π (r1+r2)l S 侧=________ S 侧=________ S 侧= (c+c′)h′ S 球面=________
1 2

侧面展开图:关注展开图的形状. (1)若圆锥的底面半径为 1,高为 3,则圆锥的侧面积等于________. 答案:2π 1 2 2 解析:圆锥的母线长为 ? 3? +1 =2,故所求侧面积 S= ×2×π ×2=2π . 2

-1-

(2)圆台的上下底面圆的半径分别为 1,2,高为 1,则圆台的侧面积等于________. 答案:3 2π 解析: 圆台的母线长为 ?2-1? +1 = 2, 所以所求侧面积 S=π (1+2)× 2=3 2π .
2 2

[典题 1] (1)[2017·湖北七校联考]如图, 在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=1, AA1=2, 点 P 是平面 A1B1C1D1 内的一个动点, 则三棱锥 P-ABC 的正视图与俯视图的面积之比的最大值为 ( )

A.1 C. 1 2

B.2 D. 1 4

[答案] B [解析] 由题意知,三棱锥 P-ABC 的正视图是一个底为 1,高为 2 的三角形,其面积为 1,而当 P 在底面 ABCD 内的投影在△ABC 的内部或边界上时,其俯视图的面积最小,最小值为 1 ,此时,三棱锥 P-ABC 的正视图与俯视图的面积之比的最大值为 2.故选 B. 2 (2) [2015·新课标全国卷Ⅰ]圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几 何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π ,则

r=(

)

-2-

A.1 C.4 [答案] B

B.2 D.8

[解析] 如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为 r,圆柱的底面半径为 r, 1 2 2 2 2 高为 2r,则表面积 S= ×4π r +π r +4r +π r·2r=(5π +4)r .又 S=16+20π ,∴ (5π 2 +4)r =16+20π ,∴ r =4,r=2,故选 B. [点石成金] 求解几何体面积的常见策略 (1)已知几何体的三视图求其表面积,一般是先根据三视图判断空间几何体的形状,再根 据题目所给数据与几何体的表面积公式,求其表面积. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形来计 算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
2 2

1.[2017·安徽江南十校联考]某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线 为半圆弧,则该几何体的表面积为( )

-3-

A.4π +16+4 3 C.4π +16+2 3 答案:D

B.5π +16+4 3 D.5π +16+2 3

解析:由三视图可知,该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两个 1 侧面面积之和为 2×4×2=16,两个底面面积之和为 2× ×2× 3=2 3;半圆柱的侧面积为 2 1 2 π ×4=4π , 两个底面面积之和为 2× ×π ×1 =π , 所以几何体的表面积为 5π +16+2 3, 2 故选 D. 2.一个几何体的三视图及其相关数据如图所示,则这个几何体的表面积为________.

11π 答案: +3 3 2 解析:这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半.根据图中数据可知,圆台的上底 面半径为 1,下底面半径为 2,高为 3,母线长为 2,几何体的表面积是两个半圆的面积、圆 1 1 1 2 2 台侧面积的一半和轴截面的面积之和,故这个几何体的表面积为 S = π ×1 + π ×2 + 2 2 2
-4-

1 11π π ×(1+2)×2+ ×(2+4)× 3= +3 3. 2 2 考点 2 几何体的体积

体积 圆柱 圆锥

V=________=π r2h V=________= π r2h= π r2 l2-r2 V= (S 上+S 下+ S上S下)h
1 3 1 3 1 3

圆台

1 2 2 = π (r1+r2+r1r2)h 3

直棱柱 正棱锥 正棱台 球 答案:Sh 1 1 Sh Sh Sh 3 3 1 3

V=________ V=________ V= (S 上+S 下+ S上S下)h V = π R3
4 3

空间几何体表面积和体积的求解:公式法. (1)圆柱的底面半径为 1,高为 2 2,若该圆柱内接于球 O,则球 O 的表面积是________. 答案:12π 解析:过圆柱的上、下底面圆的圆心作截面,在该截面图中,易求得球 O 的半径 R= 1 +? 2? = 3,所以球 O 的表面积 S=4π R =12π . (2)侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱,已知直四棱柱的底面是正方形,其所有棱长之和 为 12,表面积为 6,则其体积为________. 答案:1
2 2 2

-5-

?8a+4b=12, ? 解析: 设该直四棱柱的底面边长为 a, 高为 b, 则有? 2 ?2a +4ab=6, ?

?2a+b=3, ? 即? 2 ?a +2ab=3, ?

解得?

? ?a=1, ?b=1. ?

角度一 以三视图为背景的几何体的体积 [典题 2] (1)[2017·河北石家庄一模]某几何体的三视图如图所示,图中网格小正方形 边长为 1,则该几何体的体积是( )

A.4 C. 20 3

B.

16 3

D.12

[答案] B [解析] 由三视图可得,该几何体是一个五面体 ABHGEF(如图),

长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=4,BC=2,CC1=2,D1E=FC1=DG=HC=1,连接 AF,AH, 1 1 1 16 2 则该几何体的体积是 VA-EFHG+VF-ABH= ×2 ×2+ × ×4×2×2= . 3 3 2 3

-6-

(2)一个几何体的三视图如图所示,则它的体积为(

)

A.

20 3

B.

40 3

C.20 [答案] B

D.40

[解析] 由几何体的三视图可知,该空间几何体是一个四棱锥,其直观图如图所示.

1 1 40 其体积为 × (1+4)×4×4= . 3 2 3 角度二 求几何体的体积 [典题 3] 如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且△ADE,△BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( )

-7-

A. C.

2 3 4 3

B. D.

3 3 3 2

[答案] A

[解析] 如图,分别过点 A,B 作 EF 的垂线,垂足分别为 G,H,连接 DG,CH, 1 容易求得 EG=HF= , 2

AG=GD=BH=HC=

3 , 2

1 2 2 ∴S△AGD=S△BHC= × ×1= , 2 2 4 1 2 1 2 2 ∴V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGD-BHC= × × ×2+ ×1= .故选 A. 3 4 2 4 3 [点石成金] 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行 求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等 方法进行求解. (3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条 件求解. 考点 3 与球有关的切、接问题

-8-

几个与球有关的切、接常用结论 a.正方体的棱长为 a,球的半径为 R, ①若球为正方体的外接球,则 2R= 3a; ②若球为正方体的内切球,则 2R=a; ③若球与正方体的各棱相切,则 2R= 2a. b. 若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a, b, c, 外接球的半径为 R, 则 2R= a +b +c . c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.
2 2 2

[典题 4] (1)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正 三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( )

A. C.

2 6 2 3

B. D.

3 6 2 2

[答案] A [解析] 设△ABC 外接圆的圆心为 O1,则|OO1|= OC -O1C = 2 6 三棱锥 S-ABC 的高为 2|OO1|= . 3 1 3 2 6 2 所以三棱锥 S-ABC 的体积 V= × × = .故选 A. 3 4 3 6 (2)[2017·辽宁抚顺模拟]已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上, 若 AB
-92 2

1 6 1- = . 3 3

=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球 O 的半径为( A. C. 3 17 2 13 2

) B.2 10 D.3 10

[答案] C [解析] 如图所示,由球心作平面 ABC 的垂线,则垂足为 BC 的中点 M.

1 5 1 又 AM= BC= ,OM= AA1=6, 2 2 2 所以球 O 的半径 R=OA=

?5?2+62=13. ?2? 2 ? ?

[题点发散 1] 本例(2)若将直三棱柱改为“棱长为 4 的正方体”,则此正方体外接球和 内切球的体积各是多少? 解:由题意可知,此正方体的体对角线长即为其外接球的直径,正方体的棱长即为其内 切球的直径.设该正方体外接球的半径为 R,内切球的半径为 r. 又正方体的棱长为 4,故其体对角线长为 4 3, 4 4 3 3 从而 V 外接球= π R = π ×(2 3) =32 3π , 3 3

V 内切球= π r3= π ×23=

4 3

4 3

32π . 3

[题点发散 2] 本例(2)若将直三棱柱改为“正四面体”,则此正四面体的表面积 S1 与其 内切球的表面积 S2 的比值为多少? 解:设正四面体棱长为 a,则正四面体表面积为 S1=4· 3 2 2 ·a = 3a ,其内切球半径 r 4
2 2

1 1 6 6 πa S1 3a 2 为正四面体高的 , 即 r= · a= a, 因此内切球表面积为 S2=4π r = , 则 = = 4 4 3 12 6 S2 π a2 6

- 10 -

6 3 . π [题点发散 3] 本例(2)中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是 3 2的正四棱锥”, 则其外接球的半径是多少? 解: 依题意得, 该正四棱锥的底面对角线的长为 3 2× 2=6, 高为 =3, 因此底面中心到各顶点的距离均等于 3, 所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形 的中心,其外接球的半径为 3. [ 点石成金 ] 1. 正方体的内切球的直径为棱长,外接球的直径为正方体的体对角线的

?1 ?2 2 ?3 2? -? ×6? ?2 ?

长.此问题也适合长方体,或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱 锥. 1 2.直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的 .求球的半径关键是找到由球 2 的半径构成的三角形,解三角形即可求球的半径. 1 3 3.若正四面体的高为 h,其内切球的半径为 r,外接球的半径为 R,则 r= h,R= h. 4 4 4.球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题. 5.球与多面体的组合,通常过多面体的一条侧棱和球心,或“切点”“接点”作出截面 图,把空间问题化归为平面问题.

[2017·江西师大附中模拟]已知边长为 2 3的菱形 ABCD 中,∠BAD=60°,沿对角线 BD 折成二面角 A-BD-C 的大小为 120°的四面体,则四面体的外接球的表面积为________. 答案:28π 解析:如图①,取 BD 的中点 E,连接 AE,CE.由已知条件可知,平面 ACE⊥平面 BCD.易 知外接球球心在平面 ACE 内,如图②,在 CE 上取点 G.使 CG=2GE,过点 G 作 l1 垂直于 CE,过 点 E 作 l2 垂直于 AC,设 l1 与 l2 交于点 O,连接 OA,OC,则 OA=OC,易知 O 即为球心.分别解 △OCG,△EGO,可得 R=OC= 7,∴外接球的表面积为 28π .

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真题演练集训 1. [2016·新课标全国卷Ⅲ]在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球. 若 AB ⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是( A.4π C.6π 答案:B 解析:由题意可得,若 V 最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若与三个侧面都相切, 可求得球的半径为 2,球的直径为 4,超过直三棱柱的高,所以这个球放不进去,则球可与上 3 4 4π 27 9π 3 下底面相切,此时球的半径 R= ,该球的体积最大,Vmax= π R = × = . 2 3 3 8 2 2.[2015·安徽卷]一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( ) B. D. ) 9π 2 32π 3

- 12 -

A.1+ 3 C.1+2 2 答案:B 解析:根据三视图还原几何体如图所示,

B.2+ 3 D.2 2

1 其中侧面 ABD⊥底面 BCD,另两个侧面 ABC,ACD 为等边三角形,则有 S 表面积=2× ×2×1 2 +2× 3 2 ×( 2) =2+ 3.故选 B. 4

3.[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中粗 线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得 到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )

- 13 -

A. C.

17 27 10 27

B. D.

5 9 1 3

答案:C 解析:原毛坯的体积 V=(π ×3 )×6=54π ,由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体, 其体积 V′=V1+V2=(π ×2 )×4+(π ×3 )×2=34π ,故所求比值为 1-
2 2 2

V′ 10 = . V 27

4.[2014·湖南卷]一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加 工成球,则能得到的最大球的半径等于( )

A.1 C.3 答案:B

B.2 D.4

解析:该几何体为直三棱柱,底面是边长分别为 6,8,10 的直角三角形,侧棱长为 12,故 1 2× ×6×8 2 能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径,其半径为 r= =2,故 6+8+10 选 B.
- 14 -

课外拓展阅读 空间几何体表面上的最值问题 所谓空间几何体表面上的最值问题,是指空间几何体表面上的两点之间的最小距离或某 些点到某一个定点的距离之和的最值问题. [典例] 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3,BC=4,CC1=5,则沿着长方体表面 从 A 到 C1 的最短路线长为________.

[审题视角] 将此长方体沿某一条侧棱剪开,得到展开图,求展开图中 AC1 的平面距离即 可,注意对不同情况的讨论. [解析] 在长方体的表面上从 A 到 C1 有三种不同的展开图. (1)将平面 ADD1A1 绕着 A1D1 折起,得到的平面图形如图①所示.则 AB1=5+3=8,B1C1=4, 连接 AC1,在 Rt△AB1C1 中,AC1= AB1+B1C1= 8 +4 =4 5.
2 2 2 2

① (2)将平面 ABB1A1 绕着 A1B1 折起,得到的平 面图形如图②所示.则 BC1=5+4=9,AB=3,连接 AC1, 在 Rt△ABC1 中,AC1= AB +BC1= 3 +9 =3 10.
2 2 2 2

- 15 -



③ (3)将平面 ADD1A1 绕着 DD1 折起,得到的平面图形如图③所示.则 AC=4+3=7,CC1=5, 连接 AC1,在 Rt△ACC1 中,AC1= AC +CC1= 7 +5 = 74. 显然 74<4 5<3 10,故沿着长方体表面从 A 到 C1 的最短路线长为 74. [答案] 反思提升 将空间几何体表面进行展开是化解最值问题的主要方法,对于多面体可以把各个面按照 一定的顺序展开到一个平面上,将旋转体(主要是圆柱、圆锥、圆台)可以按照某条母线进行 侧面展开,这样就把本来不在一个平面上的问题转化为同一个平面上的问题,结合问题的具 体情况在平面上求解最值即可. 74
2 2 2 2

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