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【全程复习方略】2014版高考数学 7.9利用空间向量求空间角和距离课时提升作业 理 北师大版


【全程复习方略】 2014 版高考数学 7.9 利用空间向量求空间角和距离课时提升 作业 理 北师大版
一、选择题 1.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 A1C1 的中点,则异面直线 CE 与 BD 的夹角为 ( (A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 2.(2013· 银川模拟)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为边长为 1 的正三角形,侧棱 AA1⊥底面 ABC,点 D 在棱 BB1 上,且 BD=1,若 AD 与平面 AA1C1C 的夹角为α ,则 sinα 的值为 ( (A) (C) (D) ) ) (B) )

3.(2013·合肥模拟)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 A1BD 与平面 C1BD 的夹角的 余弦值为 ( (A) (B) (C) (D)

4.已知直二面角α -l -β ,点 A∈α ,AC⊥l,C 为垂足,B∈β ,BD⊥l,D 为垂足.若 AB=2,AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于 ( (A) (C) ) (B) (D)1

5.(2013· 三亚模拟)如图,正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互 相垂直,且 AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G 分别是线段 AE,BC 的中点,则 AD 与 GF 的夹角的余弦值为 ( (A) ) (B)(C) (D)-

6.如图,平面 ABCD⊥平面 ABEF,四边形 ABCD 是正方形,四边形 ABEF 是矩形, 且 AF= AD=a,G 是 EF 的中点,则 GB 与平面 AGC 的夹角的正弦值为 ( )

-1-

(A) (C) 二、填空题

(B) (D)

7.如图,正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则点 O 到平面 ABC1D1 的距离为

.

8. 二面角的棱上有 A,B 两点 , 直线 AC,BD 分别在这个二面角的两个半平面内 , 且都垂直于 AB. 已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 ,则这两个平面的夹角的大小为 .

9.正四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直 线 BC 与平面 PAC 的夹 角等于 三、解答题 10.(2013·汉中模拟)如图 1,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称,∠A=60°, ∠C=90°,CD=2. 把△ABD 沿 BD 折起(如图 2),使平面 ABD 与平面 CBD 的夹角的余弦值等于 ,对于图 2,完成以下各小题: .

(1)求 A,C 两点间的距离. (2)证明:AC⊥平面 BCD. (3)求直线 AC 与平面 ABD 的夹角的正弦值. 11.(能力挑战题)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都是 2,又 AA1⊥平面 ABC,D,E 分别是 AC,CC1 的中点. (1)求证:AE⊥平 面 A1BD. (2)求平面 DBA1 与平面 ABA1 的夹角的余弦值.
-2-

(3)求点 B1 到平面 A1BD 的距离.

12.(2013·亳州模拟)如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD,∠ABC=60°,E,F 分别是 BC,PC 的中点. (1)证明:AE⊥PD. (2)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 的夹角的正切值为 ,求平面 EAF 与平面 CAF 的夹角的余弦值.

答案解析 1.【解析】选 D.以 D 点为原点,建立空间直角坐标系如图,设正方体棱长 为 1,则相关点的坐标为 C(0,1,0),E( , ,1), B(1,1,0),D(0,0,0), ∴ =( ,- ,1),
-3-

=(-1,-1,0),∴ ∴ ⊥

·

=- + +0=0,

,即 CE⊥BD. , ,1),平面 AA1C1C

2. 【解析】 选 D.如图,建立空间直角坐标系,易求点 D(

的一个法向量是 n=(1,0,0),所以 cos<n, 即 sinα = .

>=

=

,

3.【解析】选 D.设正方体棱长为 1,建立如图所示的空间直角坐标系,取 BD 的中点 E,连接 A1E,C1E,易知 A1E⊥BD,C1E⊥BD, 则∠A1EC1 是平面 A1BD 与平面 C1BD 的夹角或其补角, =(- , ,1),cos< , >= .故选 D. =( ,- ,1),

【方法技巧】求平面与平面的夹角的策略 (1)法向量法.其步骤是:①建系;②分别求构成夹角的两个平面的法向量; ③求法向量夹角的余弦值;④根据题 意确定两平面的夹角的余弦值或其大 小. (2)平面角法.该法就是首先利用平面与平面所成夹角的定义 ,找出两平面的夹角 ,然后用向量法或解三角 形法求其余弦值或其大小. 4.【解析】选 C.∵ ∴| ∴| | =| | =2. .
2 2

= | +|
2

+

+ |,
2

,

| +|

2

在 Rt△BDC 中,BC=

∵平面 ABC⊥平面 BCD,过 D 作 DH⊥BC 于 H, 则 DH⊥平面 ABC, ∴DH 的长即为 D 到平面 ABC 的距离, ∴DH= = = ,故选 C.

5.【解析】选 A.如图,正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互 相垂直,且 AC= BC=2,∠ACB=90°,F,G 分别是线段 AE,BC 的中点.
-4-

以 C 为原点建立空间直角坐标系, A(0,2,0),B(2,0,0),D(0,0,2),G(1,0,0),F(0,2,1), =(0,-2,2), ∴| ∴cos< |=2 , ,| >= =(-1,2,1), |= , =· . =-2,

∴直线 AD 与 GF 的夹角的余弦值为

.

【误区警示】本题容易忽视异面直线的夹角的范围而误选 B. 【变式备选】在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,M 为 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任意一点,则 直线 OP 与直线 AM 的夹角是 (A) (B) (C) ( )

(D)

【解析】选 D.建立坐标系,通过向量的坐标运算可知 AM⊥OP 恒成立,即 AM 与 OP 的夹角为 . 6.【解析】选 C.如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(0,2a,0), C(0,2a,2a),G(a,a,0), F(a,0,0), =(a,a,0),

=(0,2a,2a), =(a,-a,0), =(0,0,2a). 设平面 AGC 的一个法向量为 n1=(x1,y1,1),



n1=(1,-1,1).

设θ 为 GB 与平面 AGC 的夹角, 则 sinθ = = = .

7. 【解析】以 D 为原点 ,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴 ,y 轴 ,z 轴建立空间直角坐标系如图所示 , 则
-5-

A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),C 1(0,1,1),O( , ,1), =(0,1,0), =(-1,0,1),

设平面 ABC1D1 的法向量 n=(x,y,z),



得 令 x=1,得 n=(1,0,1). 又 =(- ,- ,0),

∴O 到平面 ABC1D1 的距离 d=

=

=

.

答案: 8.【解析】由条件,知 ∴|
2 2

· | +| , ,
2

=0, | +2 >=(2
2

· · ),
2

=0, +2

= ·

+ +2

+ ·

,

| =|
2

2

| +|

2

=6 +4 +8 +2×6×8cos< ∴cos< , >=- ,<

>=120°,

∴这两个平面的夹角的大小为 60°. 答案:60° 9.【解析】如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系. 设 OD=SO=OA=OB=OC=a,则 A(a,0,0),B(0,a,0), C(-a,0,0),P(0,- , ), 则 =(2a,0,0), =(-a,- , ), =(a,a,0).

设平面 PAC 的法向量为 n,可取 n=(0,1,1), 则 cos< ,n>= = = ,

∴<

,n>=60°,
-6-

∴直线 BC 与平面 PAC 的夹角为 90°-60°=30°. 答案:30° 10.【解析】(1)取 BD 的中点 E,连接 AE,CE, 由 AB=AD,CB=CD 得,AE⊥BD,CE⊥BD, ∴∠AEC 就是平面 ABD 与平面 CBD 的夹角, ∴cos∠AEC= . ,CE= .

在△ACE 中,AE=
2 2 2

AC =AE +CE -2AE·CE·cos∠AEC =6+2-2× × × =4,∴AC=2. ,AC=BC=CD=2,
2 2

(2)由 AB=AD=BD=2
2 2 2 2

∴AC +BC =AB ,AC +CD =AD , ∴∠ACB=∠ACD=90°. ∴AC⊥BC,AC⊥CD,又 BC∩CD=C, ∴AC⊥平面 BCD. (3)以 CB,CD,CA 所在直线分别为 x 轴,y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系 C-xyz, 则 A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,0,0),D(0,2,0), 设平面 ABD 的法向量为 n=(x,y,z), 则 即

取 x=y=z=1,则 n=(1,1,1), 于是 AC 与平 面 ABD 的夹角θ 的正弦值为 sinθ = = = .

【 变 式 备 选 】 如 图 , 在 四 棱 锥 S-ABCD 中 , 平 面 SAD ⊥ 平 面 ABCD. 底 面 ABCD 为 矩 形,AD= a,AB= a,SA=SD=a.

(1)求证:CD⊥SA. (2)求平面 CSA 与平面 D SA 的夹角的大小.

-7-

【解析】方法一:(1)因为平面 SAD⊥平面 ABCD, CD⊥AD,且平面 SAD∩平面 ABCD=AD, 所以 CD⊥平面 SAD. 又因为 SA 平面 SAD,

所以 CD⊥SA. (2)由 (1)可知,CD⊥SA. 在△SAD 中,SA=SD=a,AD= 所以 SA⊥SD. 又 CD∩SD=D, 所以 SA⊥ 平面 SDC, 所以 SA⊥SC, 所以∠CSD 为平面 CSA 与平面 DSA 的夹角或其补角. 在 Rt△CDS 中,tan∠CSD= = = , a,

所以平面 CSA 与平面 DSA 的夹角的大小为 . 方法二:取 BC 的中点 E,AD 的中点 P,连接 PE,PS. 在△SAD 中,SA=SD=a,P 为 AD 的中点, 所以 SP⊥AD. 又因为平面 SAD⊥平面 ABCD,且平面 SAD∩平面 ABCD=AD, 所以 SP⊥平面 ABCD.显然有 PE⊥AD.

如图,以 P 为坐标原点,PA 为 x 轴,PE 为 y 轴,PS 为 z 轴建立空间直角坐标系,
-8-

则 S(0,0, D(-

a),A(

a,0,0),B(

a,

a,0),C(-

a,

a,0),

a,0,0). =(0,· =0, a,0), =( a,0,a),

(1)易知 所以

所以 CD⊥SA. (2)又 =( a,a,0),

设 n=(x,y,z)为平面 CSA 的一个法向量,

则有



取 n=(

,

,

).

显然,EP⊥平面 SAD, 所以 为平面 SAD 的一个法向量,

所以 m=(0,1,0)为平面 SAD 的一个法向量. 所以 cos<n,m>= = ,

所以平面 CSA 与平面 DSA 的夹角的大小为 . 11.【思路点拨】由 AA1⊥平面 ABC 可知,平面 ABC⊥平面 ACC1A1,故可考虑建立空间直角坐标系解决问题. 【解析】(1)以 D 为原点,DA 所在直线为 x 轴,过 D 作 AC 的垂线 为 y 轴,DB 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系如图, 则 A(1,0,0),C(-1,0,0),E(-1,-1,0), A1(1,-2,0),C1(-1,-2,0),B(0,0, =(-2,-1,0), · ∴AE⊥A1D, =2-2+0=0, · =0,∴AE⊥BD. ),B1(0,-2, ), ). ∴

=(-1,2,0),

=(0,0,-

又 A1D 与 BD 相交于 D,∴AE⊥平面 A1BD. (2)设平面 DA1B 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1),
-9-



取 n1=(2,1,0).

设平面 ABA1 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2), 易得 =(-1,2, ), =(0,2,0),

则由

取 n2=(3,0,

).cos<n1,n2>=

=

. .

故平面 DBA1 与平面 ABA1 的夹角的余弦值为

(3)

=(0,2,0),平面 A1BD 的法向量取 n1=(2,1,0),则 B1 到平面 A1BD 的距离为 d=|

|=

.

12.【解析】(1)由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD,AE 平面 ABCD,所以 PA⊥AE. 平面 PAD.

因为 PA∩AD=A,所以 AE⊥平面 PAD,又 PD 所以 AE⊥PD.

(2)设 AB= 2,H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH.

由(1)知 AE⊥平面 PAD, 则∠EHA 为 EH 与平面 PAD 的夹角. 在 Rt△EAH 中,AE= ,
- 10 -

所以当 AH 最短时,∠EHA 最大, 即当 AH⊥PD 时,∠EHA 最大. 此时 tan∠EHA= 因此 AH= 所以 PA=2. 方法一:因为 PA⊥平面 ABC D,PA 所以平面 PAC⊥平面 ABCD. 过 E 作 EO⊥AC 于 O,则 EO⊥平面 PA C, 过 O 作 OS⊥AF 于 S,连接 ES, 则∠ESO 为平面 EAF 与平面 CAF 的夹角, 在 Rt△A OE 中,EO=AE·sin30°= ,AO=AE·cos30°= , , 平面 PAC, = = ,

.又 AD=2,所以∠ADH=45°,

又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ASO 中,SO=AO·sin45°=

又 SE=

=

=

,

在 Rt△ESO 中,cos∠ESO=

=

=

,

即所求夹角的余弦值为

.

方法二:由(1)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又 E,F 分别为 BC,PC 的中点,设 AB=2,则

所以 A(0,0,0),B( F( , ,1),

,-1,0),C(

,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(

,0,0),

- 11 -

所以

=(

,0,0),

=(

, ,1).

设平面 EAF 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1), 则

因此

取 z1=-1,则 m=(0,2,-1), 因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A, 所以 BD⊥平面 CAF, 故 又 为平面 CAF 的一个法向量. =(,3,0), >= = = .

所以 cos<m,

所以所求夹角的余弦值为

.

- 12 -


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