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3.3.1 两条直线的交点坐标


3.3.1 两条直线的交点坐标
求两直线的交点 求下列两条直线的交点坐标: l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0.

1.求下列各对直线的交点坐标,并画出图形: (1)l1:2x+3y=12,l2:x-2y=4; (2)l1:x=2,l2:3x+2y-12=0.

两条直线的位置关系的判断 判定下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标. (1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0; (2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0; (3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0.

1

2.判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标: (1)2x-y+7=0,x+y=1; x+5 (2)x-3y-10=0,y= ; 3 (3)3x-5y+10=0,9x-15y+30=0.

求两点间的距离 已知点 A(-1,2),B(2, 7),在 x 轴上求一点 P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

3.求下列两点间的距离: (1)A(6,0),B(-2,0);(2)C(0,-4),D(0,-1); (3)P(6,0),Q(0,-2);(4)M(2,1),N(5,-1).

坐标法证明几何问题 证明:平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

2

4.证明:直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.

若三条直线 l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0 能构成三角形,则 a 应满足的条件是( ) A.a=1 或 a=-2 B.a≠±1 C.a≠1 且 a≠-2 D.a≠±1 且 a≠-2

5.直线 y=2x+10,y=x+1,y=ax-2 交于一点,则 a 的值为( 1 A. 2 2 C. 3 1 B.- 2 2 D.- 3

)

某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为 A(1,2),B(4,0),一条河所在直线方 程为 l:x+2y-10=0,若在河边 l 上建一座供水站 P 使之到 A,B 两镇的管道最省,问供水 站 P 应建在什么地方?此时|PA|+|PB|为多少?

3

A 组训练
1.已知点 A(-3,4)和 B(0,b),且|AB|=5,则 b 等于( ) A.0 或 8 B.0 或-8 C.0 或 6 D.0 或-6

2. 经过直线 2x-y+4=0 与 x-y+5=0 的交点, 且垂直于直线 x-2y=0 的直线方程是( A.2x+y-8=0 B.2x-y-8=0 C.2x+y+8=0 D.2x-y+8=0

)

3.若过点 A(4,a)和点 B(5,b)的直线与直线 y=x+m 平行,则|AB|的值为( A.6 C.2 B. 2 D.不能确定

)

4.已知 A(2,1),B(3,2),C(-1,4),则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形

5.点 P(2,5)关于直线 x+y=0 的对称点的坐标是( ) A.(5,2) B.(2,5) C.(-5,-2) D.(-2,5)

6.直线 y=ax+1 与 y=x+b 交于点(1,1),则 a=________,b=________.

7.直角坐标平面上连接点(-2,5)和点 M 的线段的中点是(1,0),那么点 M 到原点的距离 为________.

8.经过两条直线 2x-3y+10=0 和 3x+4y-2=0 的交点,且垂直于直线 3x-2y+4=0 的 直线的方程为________.

4

9.(1)求在 x 轴上与点 A(5,12)的距离为 13 的点的坐标; (2)已知点 P 的横坐标是 7,点 P 与点 N(-1,5)间的距离等于 10,求点 P 的纵坐标.

10.求经过两直线 2x+y-8=0 与 x-2y+1=0 的交点,且在 y 轴上的截距为 x 轴上截距的 2 倍的直线 l 的方程.

B 组训练
1. 已知 A(-3, 8), B(2, 2), 在 x 轴上有一点 M, 使得|MA|+|MB|最短, 则点 M 的坐标是( A.(-1,0) B.(1,0) 22 C.( ,0) 5 22 D.(0, ) 5 )

5

2.若三条直线 x+y+1=0,2x-y+8=0 和 ax+3y-5=0 共有三个不同的交点,则实数 a 应满足的条件是________.

3.已知 AO 是△ABC 边 BC 的中线,求证: |AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).

4.已知两点 A(-2,4),B(4,2)和直线 l:y=kx-2. (1)求直线 l 恒过的定点 P 的坐标; (2)若直线 l 与线段 AB 相交,试求 k 的取值范围.

6

3.3.1 两条直线的交点坐标参考答案
求两直线的交点 求下列两条直线的交点坐标: l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0.
? ?3x+4y-2=0, [解] 解方程组? ?2x+y+2=0, ? ? ?x=-2, 得? ?y=2. ?

所以,l1 与 l2 的交点坐标是 M(-2,2). 1.求下列各对直线的交点坐标,并画出图形: (1)l1:2x+3y=12,l2:x-2y=4; (2)l1:x=2,l2:3x+2y-12=0.
? ?2x+3y=12, 解:(1)由? ?x-2y=4, ?

?x= 7 , 解得? 4 ?y=7,
36 4 ∴交点坐标为( , ).如图(1). 7 7

36

?x=2, ?x=2, ? ? (2)由? 解得? ? ? ?3x+2y-12=0, ?y=3,

∴交点坐标为(2,3),如图(2). 两条直线的位置关系的判断 判定下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标. (1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0; (2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0; (3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0.
? ?x-y=0 [解] (1)解方程组? , ?3x+3y-10=0 ?

7

?x=3 得? . 5 ?y=3
5 5 所以,l1 与 l2 相交,交点坐标是 M( , ). 3 3
? ?3x-y+4=0, (2)解方程组? ?6x-2y-1=0, ② ?

5



①× 2-②得 9=0,矛盾,方程组无解, 所以两直线无公共点,l1∥l2.
?3x+4y-5=0, ? (3)解方程组? ? ?6x+8y-10=0, ②



①× 2 得 6x+8y-10=0. 因此,①和②可以化成同一个方程, 即①和②表示同一条直线,l1 与 l2 重合. 2.判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标: (1)2x-y+7=0,x+y=1; x+5 (2)x-3y-10=0,y= ; 3 (3)3x-5y+10=0,9x-15y+30=0.
?2x-y+7=0, ? ?x=-2, ? 解:(1)由? 得? ? ? ?x+y=1, ?y=3.

所以两直线相交,交点坐标为(-2,3). 1 10 (2)两直线方程分别化为 y= x- , 3 3 1 5 y= x+ .由斜率相等,纵截距不等知两直线平行. 3 3 (3)将 3x-5y+10=0 的两边同乘以 3 得, 9x-15y+30=0,与第二个方程完全相同, 故两直线重合. 求两点间的距离 已知点 A(-1,2),B(2, 7),在 x 轴上求一点 P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. [解] 设所求点为 P(x,0), ∵|PA|=|PB|, ∴ (x+1)2+(0-2)2= (x-2)2+(0- 7)2, ∴x2+2x+5=x2-4x+11,解得 x=1. ∴所求点为 P(1,0), |PA|= (1+1)2+(0-2)2=2 2. 3.求下列两点间的距离:
8

(1)A(6,0),B(-2,0);(2)C(0,-4),D(0,-1); (3)P(6,0),Q(0,-2);(4)M(2,1),N(5,-1). 解:(1)|AB|= [6-(-2)]2+(0-0)2=8. (2)|CD|= (0-0)2+[-4-(-1)]2=3. (3)|PQ|= (6-0)2+[0-(-2)]2=2 10. (4)|MN|= (2-5)2+[1-(-1)]2= 13. 坐标法证明几何问题 证明:平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. [证明]

如图所示,以顶点 A 为坐标原点,AB 边所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,有 A(0,0).设 B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质得点 C 的坐标为(a+b,c). 因为|AB|2=a2,|CD|2=a2,|AD|2=b2+c2, |BC|2=b2+c2,|AC|2=(a+b)2+c2, |BD|2=(b-a)2+c2. 所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=2(a2+b2+c2), |AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2). 所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2. 因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 4.证明:直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 证明:

以两直角边 OA,OB 所在直线为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,C 为 AB 的中点,设 A(a, a b 0),B(0,b),则 C( , ). 2 2 ∴|OC|= |AB|= a b 1 ( )2+( )2= 2 2 2 a2+b2,

a2+b2. 1 ∴|OC|= |AB|, 2 即直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等. 若三条直线 l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0 能构成三角形,则 a 应满足的条件是( ) A.a=1 或 a=-2 B.a≠±1 C.a≠1 且 a≠-2 D.a≠±1 且 a≠-2 [解析] 为使三条直线能构成三角形,需三条直线两两相交且不共点. (1)若三条直线交于一点,
?x+ay+1=0, ?x=-a-1, ? ? 由? 解得? ? ? ?x+y+a=0, ?y=1, 9

将 l2,l3 的交点(-a-1,1)代入 l1 的方程解得 ① a=1 或 a=-2 ; (2)若 l1∥l2,则由 a× a-1× 1=0, ② 得 a=± 1 ,当 a=1 时,l1 与 l2 重合; (3)若 l2∥l3,则由 1× 1-a× 1=0, 得 a=1,当 a=1 时,l2 与 l3 重合; (4)若 l1∥l3,则由 a× 1-1× 1=0, 得 a=1,当 a=1 时,l1 与 l3 重合. 综上,当 a=1 时,三条直线重合; 当 a=-1 时,l1∥l2;当 a=-2 时,三条直线交于一点, 所以要使三条直线能构成三角形,需 a≠±1 且 a≠-2. [答案] D 5.直线 y=2x+10,y=x+1,y=ax-2 交于一点,则 a 的值为( 1 A. 2 2 C. 3
? ? ?y=2x+10 ?x=-9 解析:选 C.由? ,得? , ?y=x+1 ?y=-8 ? ?

)

1 B.- 2 2 D.- 3

把点(-9,-8)代入 y=ax-2,得-8=-9a-2, 6 2 解得 a= = . 9 3 某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为 A(1,2),B(4,0),一条河所在直线方 程为 l:x+2y-10=0,若在河边 l 上建一座供水站 P 使之到 A,B 两镇的管道最省,问供水 站 P 应建在什么地方?此时|PA|+|PB|为多少? [解]

如图所示,过 A 作直线 l 的对称点 A′,连接 A′B 交 l 于 P,因为若 P′(异于 P)在直线 l 上,则 |AP′|+|BP′|=|A′P′|+|BP′|>|A′B|. 因此,供水站只能在点 P 处,才能取得最小值. 设 A′(a,b),则 AA′的中点在 l 上,且 AA′⊥l, a+1 b+2 ? ? 2 +2× 2 -10=0, 即? b-2 1 (- )=-1, ? 2 ?a-1·
?a=3, ? 解得? 即 A′(3,6), ? ?b=6, 10

所以直线 A′B 的方程为 6x+y-24=0,
?6x+y-24=0, ? 解方程组? 得 ? ?x+2y-10=0,

?x=11, ? 36 ?y=11.

38

38 36 所以 P 点的坐标为( , ). 11 11 38 36 故供水站应建在点 P( , )处, 11 11 此时|PA|+|PB|=|A′B|= (3-4)2+(6-0)2= 37.

A 组训练
1.已知点 A(-3,4)和 B(0,b),且|AB|=5,则 b 等于( ) A.0 或 8 B.0 或-8 C.0 或 6 D.0 或-6 解析:选 A.由|AB|=5 得 (-3-0)2+(4-b)2=5, 所以(4-b)2=16, ∴4-b=± 4, ∴b=0 或 b=8. 2. 经过直线 2x-y+4=0 与 x-y+5=0 的交点, 且垂直于直线 x-2y=0 的直线方程是( A.2x+y-8=0 B.2x-y-8=0 C.2x+y+8=0 D.2x-y+8=0

)

?2x-y+4=0 ?x=1, ? ? 解析:选 A.由? ,得? 故过点(1,6)与 x-2y=0 垂直的直线为 y-6=- ? ? ?x-y+5=0 ?y=6,

2(x-1),即 2x+y-8=0. 3.若过点 A(4,a)和点 B(5,b)的直线与直线 y=x+m 平行,则|AB|的值为( A.6 C.2 B. 2 D.不能确定

)

b-a 解析:选 B.因为直线 AB 与 y=x+m 平行,则 =1,即 b-a=1, 5-4 |AB|= (4-5)2+(a-b)2= 2. 4.已知 A(2,1),B(3,2),C(-1,4),则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 解析:选 A.∵|AB|= (2-3)2+(1-2)2= 2, |BC|= (3+1)2+(2-4)2= 20, |AC|= (2+1)2+(1-4)2= 18, 所以|AB|2+|AC|2=|BC|2, 所以△ABC 为直角三角形. 5.点 P(2,5)关于直线 x+y=0 的对称点的坐标是( ) A.(5,2) B.(2,5) C.(-5,-2) D.(-2,5) 解析:选 C.设对称点 P′(x,y),
11

y-5 ? ?x-2=1 则? , x+2 y+5 ? ? 2 + 2 =0 ∴x=-5,y=-2. 6.直线 y=ax+1 与 y=x+b 交于点(1,1),则 a=________,b=________. 解析:因为直线 y=ax+1 与 y=x+b 的交点为(1,1),
? ?1=a+1 ? ?a=0 所以? ?? . ?1=1+b ? ?b=0 ?

答案:0 0 7.直角坐标平面上连接点(-2,5)和点 M 的线段的中点是(1,0),那么点 M 到原点的距离 为________. 解析:设 M 的坐标为(x,y),

?-22+x=1 ?x=4 ? 则? ,解得? , ?y=-5 5+y ? ? 2 =0
所以|OM|= 42+(-5)2= 41. 答案: 41 8.经过两条直线 2x-3y+10=0 和 3x+4y-2=0 的交点,且垂直于直线 3x-2y+4=0 的 直线的方程为________.
?2x-3y+10=0 ?x=-2 ? ? 解析:由? ,得? , ? ? ?3x+4y-2=0 ?y=2

2 垂直于直线 3x-2y+4=0 的直线的斜率为- , 3 2 故所求的直线方程为 y-2=- (x+2), 3 即 2x+3y-2=0. 答案:2x+3y-2=0 9.(1)求在 x 轴上与点 A(5,12)的距离为 13 的点的坐标; (2)已知点 P 的横坐标是 7,点 P 与点 N(-1,5)间的距离等于 10,求点 P 的纵坐标. 解:(1)设 x 轴上的点为 B(x,0), 由|AB|=13, 得 (x-5)2+(0-12)2=13, ∴(x-5)2=25, ∴x-5=5 或 x-5=-5. ∴x=10 或 x=0, 即点 B 的坐标为(10,0)或(0,0). (2)设点 P 的纵坐标为 y,即 P(7,y). 由于|PN|=10, ∴ [7-(-1)]2+(y-5)2=10, ∴(y-5)2=36,
12

∴y-5=6 或 y-5=-6,从而 y=11 或 y=-1, ∴P 点的纵坐标为 11 或-1. 10.求经过两直线 2x+y-8=0 与 x-2y+1=0 的交点,且在 y 轴上的截距为 x 轴上截距的 2 倍的直线 l 的方程. 解:(1)2x+y-8=0 在 x 轴、y 轴上的截距分别是 4 和 8,符合题意. (2)当 l 的方程不是 2x+y-8=0 时, 设 l:(x-2y+1)+λ(2x+y-8)=0, 即(1+2λ)x+(λ-2)y+(1-8λ)=0. 据题意,1+2λ≠0,λ-2≠0. 1-8λ 令 x=0,得 y=- ; λ-2 1-8λ 令 y=0,得 x=- . 1+2λ 1-8λ 1-8λ 1 所以- =2· (- ),解得 λ= , 8 λ-2 1+2λ 此时直线 l 的方程为 2x-3y=0. 综合(1)(2),所求直线方程为 2x+y-8=0 或 2x-3y=0.

B 组训练
1. 已知 A(-3, 8), B(2, 2), 在 x 轴上有一点 M, 使得|MA|+|MB|最短, 则点 M 的坐标是( A.(-1,0) B.(1,0) 22 C.( ,0) 5 解析:选 B. 22 D.(0, ) 5 )

A(-3,8)关于 x 轴对称的点 A′(-3,-8),A′B 与 x 轴的交点,就是使|MA|+|MB|最短的 M 点, 直线 A′B 的方程为 y+8 x+3 = , 2+8 2+3 当 y=0 时,得 x=1, 即此时 M 的坐标为(1,0). 2.若三条直线 x+y+1=0,2x-y+8=0 和 ax+3y-5=0 共有三个不同的交点,则实数 a 应满足的条件是________.
? ?x+y+1=0 解析:解方程组? , ?2x-y+8=0 ? ?x=-3 ? 得? ,即两直线的交点坐标为(-3,2). ? ?y=2 13

? ?-a≠-1 依题意知,实数 a 满足的条件为? 3 a ? ?-3≠2 ? ?a≠3 解得?a≠3 , ?a≠-6 ?
1

a· (-3)+3× 2-5≠0 ,

1 即实数 a 满足的条件为 a∈R,且 a≠ 且 a≠3 且 a≠-6. 3 1 答案:a≠ 且 a≠3 且 a≠-6 3 3.已知 AO 是△ABC 边 BC 的中线,求证: |AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2). 证明:

以 BC 所在直线为 x 轴,BC 的中点 O 为原点,建立平面直角坐标系,设 B(-a,0),C(a, 0),A(b,c). 则|AB|2+|AC|2=[b-(-a)]2+ (c-0)2+(b-a)2+(c-0)2=2(a2+b2+c2), |AO|2+|OC|2=b2+c2+a2. 故|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2). 4.已知两点 A(-2,4),B(4,2)和直线 l:y=kx-2. (1)求直线 l 恒过的定点 P 的坐标; (2)若直线 l 与线段 AB 相交,试求 k 的取值范围. 解:(1)令 x=0,则 y=-2,所以不论 k 取什么值, 直线 l:y=kx-2 都过定点 P(0,-2). (2)

直线 l:y=kx-2 过定点 P(0,-2),所以 kPA= kPB= -2-2 =1. 0-4

-2-4 =-3, 0-(-2)

如图所示,所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).
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