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2、椭圆性质、第二定义、参数方程

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椭圆性质、第二定义、参数方程
一、由椭圆方程 (1)范围: 从标准方程得出
x y ? 1 , 2 ? 1 ,即有 ? a ? x ? a , ? b ? y ? b , 2 a b
2 2

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 研究椭圆的性质. a2 b2
A

y

B2
E O B F

A1
D

A2 x

B1

C

可知椭圆落在 x ? ?a, y ? ?b 组成的矩形中. (2)对称性: 把方程中的 x 换成 ? x 方程不变,图象关于 y 轴对称. y 换成 ? y 方程不变,图象关于 x 轴对 称.把 x, y 同时换成 ? x,? y 方程也不变,图象关于原点对称. 如果曲线具有关于 x 轴对称,关于 y 轴对称和关于原点对称中的任意两种,则它一定具有第 三种对称
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(3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 因此椭圆共有四个顶点:

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A (?a,0), A2 (a,0) , B (0,?b), B2 (0, b)

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加两焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0) 共有六个特殊点.
A1 A2 叫椭圆的长轴, B1 B2 叫椭圆的短轴.长分别为 2a,2b

a, b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.

(4)离心率: 概念:椭圆焦距与长轴长之比 ,决定椭圆的圆扁程度
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定义式: e ?

b c ? e ? 1 ? ( )2 a a
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范围: 0 ? e ? 1

考察椭圆形状与 e 的关系:
e ? 0, c ? 0 ,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为

y

B2 A1
O

圆为椭圆在 e ? 0 时的特例

A2 B1

x

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e ? 1, c ? a, 椭圆变扁,直至成为极限位置线段 F1 F2 ,此时也
1

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可认为圆为椭圆在 e ? 1时的特例 讲解范例:
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例 1 求椭圆 16 x 2 ? 25 y 2 ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法 画出它的图形. 解:把已知方程化成标准方程
x2 y2 ? ?1 52 4 2

所以, a ? 5, b ? 4, c ? 5 2 ? 4 2 ? 3 , 因此,椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 2a ? 10,2b ? 8 ,离心率 e ?
c 3 ? ,两个焦点分别为 a 5
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F1 (?3,0), F2 (3,0) ,椭圆的四个顶点是 A (?5,0), A2 (5,0) , B (0,?4), B2 (0,4)

将已知方程变形为 y ? ? 坐标 ( x, y ) :

4 4 25 ? x 2 ,根据 y ? 25 ? x 2 ,在 0 ? x ? 5 的范围内算出几个点的 5 5

x
y

0 4

1 3.9

2 3.7

3 3.2

4 2.4

5 0

先描点画出椭圆的一部分,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆:
y 4

-5

O -4

5

x

例 2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图: (1)
x2 y2 ? ?1 25 16
y 4

(2)

x2 y2 ? ?1 25 9

3
-5 O -3 -4
2

5

x

答:简图如下:

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课堂练习: 1.已知椭圆的一个焦点将长轴分为 3 : 2 两段,求其离心率 解:由题意, (a ? c) : (a ? c) = 3 : 2 ,即
1? e ? 1? e 3 2
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,解得 e ? 5 ? 2 6

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2.如图,求椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,( a ? b ? 0 )内接正方形 ABCD 的面积 a2 b2

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解 由椭圆和正方形的中心对称性知,正方形 BFOE 的面积是所求正方形面积的 1/4,且 B 点 横纵坐标相等,故设 B( t, t ),代入椭圆方程求得 t 2 ?
a 2b 2 4a 2 b 2 ,即正方形 ABCD 面积为 2 a2 ? b2 a ? b2

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y
A

B2
E O B F

A1
D

A2 x

B1

C

二、椭圆的第二定义: 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数 e ,那么这个点的 轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心率
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3

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y
N1 K1 P

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y
K2 N2 P

B2
O F2

A2
N2

F2

A1

F1

A2

K2

x

B1

O

B2
N1

x

B1
2.椭圆的准线方程 对于

A1
K1

F1

x2 y2 a2 ? 2 ? 1 ,相对于左焦点 F1 (?c,0) 对应着左准线 l1 : x ? ? ; c a2 b a2 相对于右焦点 F2 (c,0) 对应着右准线 l 2 : x ? c

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对于

y2 x2 a2 ? 2 ? 1 ,相对于下焦点 F1 (0,?c) 对应着下准线 l1 : y ? ? ; c a2 b

相对于上焦点 F2 (0, c) 对应着上准线 l 2 : y ?
a2 c

a2 c

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准线的位置关系: x ? a ?

焦点到准线的距离 p ? 讲解范例:

a2 a2 ? c2 b2 ?c ? ? (焦参数) c c c

例 3、 求下列椭圆的准线方程: (1) x 2 ? 4 y 2 ? 4

(2)

x2 y2 ? ?1 16 81

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x2 ? y 2 ? 1 ,是焦点在 x 轴上且 a ? 2, b ? 1, c ? 3 的椭圆 解:⑴方程 x ? 4 y ? 4 可化为 4
2 2

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所以此椭圆的准线方程为 x ? ?

4 3

??

4 3 3

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⑵方程

x2 y2 ? ? 1 是焦点在 y 轴上且 a ? 9, b ? 4 , c ? 65 的椭圆 16 81
81 65 ?? 81 65 65
4

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所以此椭圆的准线方程为 y ? ?

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例 4、 椭圆 的距离

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x2 y2 ? ? 1 上有一点 P,它到椭圆的左准线距离为 10,求点 P 到椭圆的右焦点 100 36
y

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解:椭圆

x y 4 ? ? 1 的离心率为 e ? ,根据椭圆的第二定义 100 36 5
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2

2

N1 K1

10

P

B2
O F2

得,点 P 到椭圆的左焦点距离为 10e ? 8

A1

F1

A2

x

再根据椭圆的第一定义得,点 P 到椭圆的右焦点的距离为 20 -8=12
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B1

课堂练习: 1.求下列椭圆的焦点坐标与准线方程
x2 y2 ? ?1 (1) 100 36

(2) 2 x 2 ? y 2 ? 8
100 25 ?? 8 2
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答案:⑴焦点坐标 F1 (?8,0), F2 (8,0) ;准线方程 x ? ? ⑵焦点坐标 F1 (0,?2), F2 (0,2) ;准线方程 x ? ?

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8 ? ?4 2 1 2.已知椭圆的两条准线方程为 y ? ?9 ,离心率为 ,求此椭圆的标准方程 3

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答案:

x2 y2 ? ?1 8 9

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三、椭圆的焦半径公式: M ( x0 , y 0 ) 是椭圆 设 与点 F1 (?c,0) , F2 (c,0) 的距离.

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一点, r1 和 r2 分别是点 M a2 b2

那么(左焦半径) r1 ? a ? ex0 ,(右焦半径) r2 ? a ? ex0 ,其中 e 是 离心率
y
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a+c
5
B F1 O F2

a-c
A

x

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? MF1 ? a ? ey0 同理有焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式: ? ? MF2 ? a ? ey0

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( 其中 F1 F2 分别是椭圆的下上焦点) 注意: 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关, 而与点在左在右无关 左加右减,上减下加
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可以记为:

讲解范例 例 6、椭圆 圆方程
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,其上一点 P(3, y )到两焦点的距离分别是 6.5 和 3.5,求椭 a2 b2

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解:由椭圆的焦半径公式,得
?a ? 3e ? 6.5 1 5 75 ,解得 a ? 5, e ? ,从而有 c ? , b 2 ? a 2 ? c 2 ? ? 2 2 4 ?a ? 3e ? 3.5

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所求椭圆方程为 课堂练习: 1.P 为椭圆

x2 4y2 ? ?1 25 75

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x2 y2 ? ? 1 上的点,且 P 与 F1 , F2 的连线互相垂直,求 P 25 9

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解:由题意,得 (5 ?

4 4 7 ? 25 81 2 , y2 ? x0 ) 2 ? (5 ? x0 ) 2 =64 ? x0 ? 16 5 5 16
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? P 的坐标为 (

5 7 9 5 7 9 5 7 9 5 7 9 , ) , (? , ) , (? ,? ) , ( ,? ) 4 4 4 4 4 4 4 4

x2 y2 9 ? ? 1 上不同三点 A( x1 , y1 ), B(4, ), C ( x2 , y 2 ) 与焦点 F(4,0)的距离成等差数列, 2.椭圆 25 9 5

求证 x1 ? x 2 ? 8

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证明:由题意,得 (5 ?

4 4 4 x1 ) ? (5 ? x2 ) =2 (5 ? ? 4) ? x1 ? x 2 ? 8 5 5 5
y
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3.设 P 是以 0 为中心的椭圆上任意一点, F2 为右焦点,求证: 以线段 F2 P 为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切
6
P

O1 A1
F1 O F2

A2

x

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证明:设椭圆方程为
x2 y2 ? ? 1 ,( a ? b ? 0 ), a2 b2

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焦半径 F2 P 是圆 O1 的直径, 则由 a ?
PF2 2 ? 2a ? PF2 2 ? PF1 2 ? OO1 知,两圆半径之差等于圆心距,

所以,以线段 F2 P 为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切

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问题:如图,以原点 O 为圆心,分别以 a, b ( a ? b ? 0 )为半径作两个图,点 B 是大圆半径 OA 与小圆的交点,过点 A 作 NA⊥OX 垂足为 N,过点 B 作 BM⊥AN,垂足为 M.求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹的参数方程
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解答:设 A 的坐标为 ( x, y), ?NOA ? ? ,取 ? 为参数,那么
? x ? ON ?| OA | cos? ? ? y ? NM ?| OB | sin ?

也就是

s ?x ? a c o ? (?为 参 数 ) ? ? ? y ? bs i n
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y
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这就是所求点 A 的轨迹的参数方程
?x ? ? cos? ? x ? a cos? 将? 变形为 ? a y ? y ? b sin ? ? ? sin ? ?b

B ?
O

A M N x

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发现它可化为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,说明 A 的轨迹是椭圆 a2 b2

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? x ? a cos? (?为参数) 注意: ? 角不是角 ?NOM 四、.椭圆的参数方程 ? ? y ? b sin ?
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三、讲解范例: 例 1 把下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程
? x ? 3 cos? (?为参数) (1) ? ? y ? 4 sin ? ? x ? 3 cos? x2 y2 (?为参数) ? 2 ? 2 ? 1 解:(1) ? 3 4 ? y ? 4 sin ?

(2)

x2 ? y2 ? 1 8

(2)

? x ? 2 2 cos? x2 (?为参数) ? y2 ? 1 ? ? 8 y ? sin ? ?
7

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? x ? cos? 1 (a ? 0, b ? 0, ?为参数) 上的点 P( x, y ),求 x ? y 的取值范围. 例 2 已知椭圆 ? 2 ? y ? 2 sin ?

解: x ? 例3

1 ? y = cos? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) ? ? 2 , 2 2 4

?

?

x2 y2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与 x 轴的正半轴交于 A,O 是原点,若椭圆上存在一点 M, a b
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使 MA⊥MO,求椭圆离心率的取值范围

解:A( a ,0),设 M 点的坐标为 (a cos? , b sin ? ) ( 0 ? ? ?
b sin ? b sin ? ? ? ?1 a cos? ? a a cos?

?
2

) ,由 MA⊥MO 得

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化简得

b 2 c o ? (1 ? c o ? ) s s co? s 1 ? 1? ? ? ? 1? ? ? 0, ? 2 2 1? c o ? s 1? c o ? ? 2 ? s a s i n?
e ? 1? b2 ? 2 ? ?? ,1? a2 ? 2 ? ? ?

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所以

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课堂练习:
? x ? 4 cos? (?为参数) 表示的曲线的焦点坐标是: 1.参数方程 ? ? y ? 3 sin ?

离心率是:

答案: F1 (? 7 ,0), F2 ( 7 ,0) ; e ?

7 4

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