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1.不等式恒成立问题分析与展望


?

2   8?

中学教研 ( 学) 数  

M(。Y) 使得 厂 ) 点 肘 的 切线 斜率 为 3 ?若  x ,o , ( 在 b 存在 , 出点  的坐标 ; 不存在 , 求 若 请说 明理 由.  

7 () . 1 提示 : 先证明 一 1< 垒 < 再 证 明  ≤   _ l _  



( ) lC 的取值范围. 3求 A I   参 考答案 
1 C 2. .  B  3 C . 
1  

2或  ≥0 .  
a 

() — I 2 I t的取值范围为[ ,)   24 .  
8() ≤ ≤6() . 13   ;2 不存在 ;33 A I   ()≤IC ≤4

4m≤÷ 54 . . . 6①②③④ 

不 等 式 恒 成 立 问 题 分 析 与 展 望 
●尹 锐  ( 西湖高级中学 浙江杭州 300 ) ●冯定J 102  立  ( 学军中学 浙江杭州 301) 1 2  0

恒 成立 问题 , 为其 设 问灵 活 , 够在 考 查 思  因 能 维 的灵 活性 、 造 性 能力 方 面起 到 独特 的作 用 , 创 也  有利 于考查学 生 的综 合解题 能力 , 因此成 了高考命  题 的一 个热点.自20 05年 以来 , 尽管浙 江省数 学 高  考试题 中的 “ 成 立 问题 ” 出 了 3道 , 其 特 色  恒 仅 但 明显 、 含义 深 刻. 题 型上 看 , 从 有选 择题 、 空 题 和  填 压 轴题 ; 数学思 想 方 法来 看 , 乎囊 括 了函 数与  从 几

2 s 0 2 2恒小于 0 等价于 一s   2 s 0— o n r i — m一 , i 0— m i   n n

2 m一1 0恒 成立 , 一 m(i0 )<s   < 即 2 s +1 n i 0+1恒  n 成立. s 0= 一1 , 然 成 立 ; 一1<s 0   当 i n 时 显 当 i ≤l n

时一 <  恒立因  ,m尝 成.为 2
/   一2. >2   sn0+ 1 i   一   ’  

方程、 化归与转化 、 数形结合以及分类讨论等. 本文 
拟对 不等式 恒成 立 问题 的一 般 题 型 和解题 方法 进 

所 以 

一 m<   一 , 2 2 2 

即 
?

m >1 4 . —g  

行分析, 并对未来可能出现的“ 恒成立 问题 ” 出 作  
展 望.  

例 2 某城市 20 0 1年末汽车保有量为 3 O万  辆 , 计 此 后 每 年 报 废 上 一 年 末 汽 车 保 有 量 的  预
6 , 且每年 新增汽 车数量 相 同. 了保 护城市 环  % 并 为 境 , 求该城市 汽车保 有量 不超过 6 要 O万辆 , 么每  那
年新增 汽车数 量应不 超过 多少辆 ?  

1 一般题 型和解题 方法分 析 

下 面通过 具 体 的例 题 全 面 介 绍 “ 等 式 恒 成  不 立” 问题 的一 般题型 和解题方 法.   例 1 已知 对 任 意 0都 有 CS0—2 s 0—   O  o n ri   2 2 m一 恒小 于 0求 m 的取值 范 围. ,   解法 1 ( 函数 最值 分析法 ) 设 
Y = c s 0—2m sn —2m 一2 = o  i0  


略解

设 20 年 末 的汽 车保 有 量 为 n, 01 ,以后 

每年末 的汽 车保有量 依 次 为 n ,  , :a… 每年 新增 汽 
车  万辆. 由题 意得 
an =

(i0+  +7 一 m一1 s n m) / 2 1 ,   .  

( 一 ) 4l . 3  0  +   0 .   9

因为 一1 i0 , 以考查 函数 的最 小值 : ≤s  ̄1所 n  
( ) 一1 1当 ≤m≤1时 , s 0= 一m, 得 i n Y的最 大  值 为 m 一2   m一1 由 m 2 .  一 m一1 0 得  < ,
l一   <m < 1+   ,  

原题可转化为求 当 a ≤6   0恒成立 时 的取值范   
围. 于是 解得 

≤o (+ 3 

)., ×0 0  6

于是 

1 , 一/ 5<m≤1 .  

右端 是 关 于 n的减 函 数. 当  一 +∞ 时 , 趋 于  它 36 故要对 一 切 自然 数 凡满 足 a .,  ≤6 , 有  ≤ 0应   3 6 即每年新增 汽车应 不超过 3 6万辆. ., .   例 3 设不 等式 2   x一1>m( 一1 对 满 足    )

( ) / >1 得 s 0 2当 7 1 时, i =一1Y的最大值为  , n ,


2< 0恒成 立.   ( ) m < 一l时 , s 0=1Y的最 大值 为  3 当 得 i n ,
1  



4 2 0 解得 m> , m<一 矛盾. m一 < , ÷ 与 1  
二 

J ≤ ml 2的一切实数 m的取值都成立 , 的取值  求 
范围.  

综 上所 述 , m∈(   , 1一 +∞ ) .  

分析

此 问题 由于思维定 势 , 易把它看 成关于 

解法 2 ( 变量分离 法 ) 任 意 0都 有 cs0— 对 o   

的不 等 式讨 论. 变 换 一个 角 度 以 m 为变量 , 若 原 

第 3期 



锐, : 等 不等式恒成立问题分析与展望 

? 9? 2  

问题 就 可转化 为关于 r 的一次不 等式 ( 一1 m ~ n ,   )  

(x一1 2 )<0在 [一2 2 上 恒 成 立 的 问题. ,] 设 
I m)=( 一1 m 一(x一1 , 问题 转 化 为 求 一  厂 (   ) 2 )则

解 得 

l 。< <  
二 

.  

() 2 含参 数 二次 函数 ( 次 函数 的导 数 ) 三 在某 


次函数( 或常数函数)( 的值在 [ 2 2 内恒为  厂 m) 一 ,] 负值时参数 应该满足的条件 ,  
一  

区间上恒成立问题或零点存在问题也是热点.  
例 5 已知 函数 厂 )= + + a 在 R上    (     3一 ,

解  o,

, I 恒成立 , a的取值范围. ( >  ) 0 求  

解得 

得∈ , )  (   .    
说 明 求 解本题 的关 键是 变换角 度 , 以参数 m 

△=   4 3一 )=   4 a 一 ( a a + 口一1 ≤O  2 ,
一 ≤0 . 6 ≤2  

变式 1 若 当 ∈[一 , ] f )   2 2 时,( ≥0恒成 
立 , a的取值范 围. 求  

作为自变量构造函数式 , 不等式问题变成函数在闭 
区间上 的值 域 问题. 题 有 别 于 关 于  的不 等 式  本

2一 > x一 ) x 1 m(  1 的解集是[一 ,] 2 2 时求 m的值 、  
关 于  的不 等式 2 x一1>   一1 在 [ ,] m( ) 一22 上恒 
成立 时求 m的范 围.  


分析 要使 ∈[ 22  ) 0 一 ,] > t 恒成立 , 只  需 _ ) 厂 的最小 值 g a t0即可 , ( () > 解得 


7≤ a≤ 2  .

变式 2 若当  ∈[一 , ] f ) 2 2 时,( ≥2恒成  立 , a的取值范围. 求   分析 要证 明厂 ) 2 [ 2 2 上恒成立, ( I 在 一 ,] >  
若 把 2移 到等号 的左边 , 把原题转 化成左 边二 次  则

般地 , 在一个 含 有 多个 变 量 的数 学 问题 中 ,  

确定合适的变量和参数 , 从而揭示 函数关 系, 问 使   题更 明朗化 . 者在 含 有 参数 的 函数 中 , 函数 自 或 将   变量作为参数 , 而参数作为函数, 更具有灵活性 , 从 
而巧 妙地解 决有关 问题.   2 不等式恒 成立 问题 热点命题 展望 

函数在区间[ 22 时恒大于等于 0的问题. 一 ,]   解 令 g x   +a 3一 2 , ( )= x+ a一 ≥O 
则原 题可 转 化 为求 g ): +似 +1一a≥0在  (  

() 1 数列与不等式结合是构造恒成立问题 的  
热点.  

[ 22 上恒成立的 a的取值范围. 一 ,]  
方法 1 ( ) △:a 4 1 )   1当  一 ( 一a ≤0时 , 解得 


例 4 已知关于 n的不等式 


+  

+ + …  

2 —2  

≤ 口≤ 一 2 +2  

( ) △=  一 ( a 0时 , 方程组  2当 a 4 1一 )> 得
r a 4 1 )>   △=  一 ( 一口 0;

> l   。一1   对 于一 切大 于 1的 自然数 n   。 ( g )+  

都成立 , a的取值范围. 求   解 把  _   『+ +… + 看 成一个 函数   
解得 

  ) ; I 2 ≥0  {( 2 > ; 厂 一 ) 0  1

l孚 2 号 一, 一 ≥ 或一 ≤ 2  
一 ≤a 一2 2— . 5 ≤ √ 2  
综 上所 述 , 5 ≤ 一   一 . 一 ≤0 2 2   方法 2 ( 运用根 的分 布 )  

-n , 厂 )则问题 可 转化 为 函数 f n 的最小 值 大于  ( ()
1l  

。。。一 ) T? ( ) g( 1 + 由厂 n 
得 

,  

.  、

2 。 , 、      

1  

+  

1  

。  +




()   1 当一 }<一 , > 2 即n 4时,  
/+1   n   2 )一 )=

[ + ++ 卜  + ? ] 解得     . . ? [   +=   去 
1   1   1   1   1  

g a   - )=7— a , ( )= 2 3 ̄   >2

0 ≤÷ 岳( , 4 +∞)  ,

2 2。n+   1 2 1 乏 2> , 乏 + +     一 +   乏   一  +   o    n 2 互 1 n  + 2   n ’
因此  n+1 厂 n . )> ( )  

因此 a不存在.   ( ) 一 ≤ 一— 2当 2  ≤2 即 一 ≤0 , 4 ≤4时 ,  

即函数  n 是增函数 , ) 故其最小值为  2 : , )   从 

) 号一} 。  = ) 2+   一3
解得  一   一 ≤口   一 , 2 2 ≤2 2 

而 

> 1 n 1 +2 。 ‰( — ) 了
,  

?

3   O?

中学教研 ( 数学)  

因此 

一 ≤a   一 . 4 ≤2 2  

)√n 1 (~     ( 一 + 1 + 。) n )
的定义域 为 R, 求实数 。的取 值范 围.   参考答 案 
1.   B

() 一 > , <一 3 当 詈 2 即n 4时,  
g a   2 7+ I2  ( )= )= a , > 解得 a 一 , ≥ 5 因此 


5≤ a < 一4.  

2( 、 一∞ , ) 3 +。 一1 U( , 。) 3 .一1 ≤O ≤a   4 略解 . ( )   2 ,  2 1 a =   b = n一1 .   ( ) =1 2  +3+ 5+… +( n一1 凡 , 2 )=   

综上所述 , 5 ≤ √ — . 一 ≤8 2 2 2  
() 3 把不 等式进行 合 理 的变 形后 , 用 数形 结  利 合 思想解题 仍然是 热 点 , 种 方法 对 于选 择 题 、 这 填 
空题显得更 灵活 、 捷. 快  

则  1 +1 +… + 1 =1+ 1+1+… +1<              

例 6 设  ∈( 4 , 不等 式  ̄ (  )>似  0,]若 / 4一 x 恒 成立 , a的取 值范 围. 求  

+ 丽


+ 丽

+ + _  —   …   = _ = _

解 若设 Y =、 =万 ,  一 ) ) =       则( 2 +, 4 2  
(  0 为上 半 圆. Y Y> ) 1 设 2=a 过 原 点 , x为 a为斜 率 

(  + 一) + 一)   1 ( 了+ (   = 一) 丢 1 …    
< 2,  

2一  

的直线. 在同一坐标系内作出函数图像. 依题意 ,   当
半 圆恒 在直线 上方 时 , 即只有 当 a<0时不 等 式成 

故  
() 3 
1  
=  

11…麦2 +++<   .  
= 1+ 3+ 5 +… +丁 -       2 1 n


立, 于是 a的取值范围为 a< . 0  
精 题集粹  1在 Y:  Y=o2 Y= , OX这 4个 函  . 2 , lg  ,   Y=CS

() 1  . ()   2 


+ 


+ 



+… +  

数 , <I x< 时使 厂 1 中当0 x<2 1 , 得 f >    
恒成立的函数的个数是 
A.   0 B.   1 C.   2 D.   3

式 ( )一式 ( ) 1 2 得 

(  

)  
即 

丢 = + ++ +— -         …  2 1 122 2   , n
:  1 3一
一  

<3  . 3 7
=  

(05年 湖北 省数 学高考试题 ) 20  

又 

= I + 3 + 5 +7        

2 对于满足 Il 2的所有实数 a求使不等式  . a≤ , +x 1 2 + a + > a  恒成立的 的取值范围— —_   .   3 已知 函数 f )= +a . (  。 x+b 对 于 】 2   , , ∈  

>2,  

所以满足条件  < 的最小整数值 c 3 c =.   5 分析 当  ∈R时 , a . (  一1  +( ) a一1 + )  
>0恒成立 , 因此 


f )#)有 X一Xl   0 ( x, I1 2< :   x 2   ) ) 一I r l 总 牟  
成立, 求实 数 a的范 围一  



( 当口—=,{ 1 21。 f ) 即









0 时


4 已知数列 {  的通项为 a , 凡 . a}  前 项和为 . , s    且 a 是 . 与 2的等差 中项,   s   数列 {  中, =1 6} b   ,  
点 P( b+) b,   在直 线  一 2=0上. Y+  

n +

l≠ 。

口=l此 时  ,

( 一1  +( 。 ) 。一1 + )   解 得 a=1 .   ( ) a 一1 2 当   ≠0, 即 
刈  

1 , ≥o 

() 1 求数列 {  ,b } a f { 的通项公式 a , ;    b    
( ) {n 的前 忍项 和为 n试 比较  + 1+ 2 设 6} ,    

… + 1 2的大小;  与  
D n 

I= 一 4 1  ≤ △( 1一。 ) 0 口 ) (一 。  
时, 有 

() 3 设  =

l b



b  L
+  

+ + , …   若对一切正整数 
解得 

f  ; a >1 

l 1 +≤. a一0 9o 0  
1 ≤9  <a ,
综 E 所述 。 )   的定 义域 为 R 时 。 a∈『 . ] 19 .  

r <(∈ ) t , cC Z 恒成立 , C   求 的最小值.   5若 函数  .


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