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高中数学不等式易错题分析


届高考数学精题精练: 2010 届高考数学精题精练:不等式
一,选择题 1.已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = f ( x + 4) ,且当 x > 2 时, f ( x ) 单调递增,

如果 x1 + x2 < 4 且 ( x1 2)( x2 2) < 0 ,则 f ( x1 ) + f ( x2 ) 的值 A,恒大于 0 B,恒小于 0 C,可能为 0

(

)

D,可正可负

2.已知函数

f ( x) = x x 3 , x1 , x 2 , x3 ∈ R ,且 x1 + x2 > 0 , x 2 + x3 > 0 , x3 + x1 > 0 ,
( )

则 f ( x1 ) + f ( x 2 ) + f ( x3 ) 的值 A,一定大于零
3.设 M

= ( x, y ) y = x 2 + 2bx + 1 , P = {( x, y ) y = 2a( x + b )}, S = {(a, b ) M ∩ P = φ } ,
( B. )

{

B,一定小于零

}

C,等于零

D,正负都有

则 S 的面积是 A. 1

π

C. 4

D. 4 π

4.设

f (x) 是 ( x 2 +

2 1 6 ) 展开式的中间项,若 f ( x) ≤ mx 在区间 , 2 上恒成立,则实 2x 2
)

数 m 的取值范围是( A. [0,+∞ )

B. ,+∞

5 4



C. ,5 4

5

D. [5,+∞ )

5.若不等式 x

2

1 log m x < 0 在 0, 内恒成立,则实数 m 的取值范围是 2
B. 0 < m ≤
2 2

(

)

A.

1 ≤ m <1 16

1 16

C. 0 < m <
2 2

1 4

D. m ≥

1 16
)

6.已知实数 x,y 满足 3x +2y =6x,则 x +y 的最大值是(

A,

9 2

B,4

C,5

D,2

7.若 0 < a,b,c < 1,并且 a + b + c = 2,则 a + b + c 的取值范围是(

2

2

2

) (D)(

(A)[

4 ,+ ∞ ) 3

(B)[

4 ,2 ] 3
)

(C)[

4 ,2 ) 3

4 ,2 ) 3

8.不等式 1 + log 2 x > 1 – log 2 x 的解是(

(A)x ≥ 2
9.设 a = f (

(B)x > 1

(C)1 < x < 8

(D)x > 2

sin θ + cos θ sin 2θ ),b = f ( sin θ cos θ ),c = f ( ),其中 f ( x ) = log sin θ x, 2 sin θ + cos θ
),那么( ) (B)b ≤ c ≤ a (C)c ≤ b ≤ a (D)a ≤ b ≤ c

θ∈( 0,

π
2

(A)a ≤ c ≤ b

10.S = 1 +

1 1 1 + + … + ,则 S 的整数部分是( 2 3 1000000
(B)1998 (C)1999

)

(A)1997

(D)2000

11.设 a > b > c,n∈N,且

1 1 n + ≥ 恒成立,则 n 的最大值为( ab bc ac
) (D)

)

(C)4 (D)5 1 x 12.使不等式 2 – a > arccos x 的解是– < x ≤ 1 的实数 a 的值是( 2 (A)1 –

(A)2

(B)3

π
2

(B)

2 2π – 2 3

(C)

2 5π – 2 6

1 –π 2
)

13.若不等式

a + b ≤ m4 a 2 + b 2 对所有正实数 a,b 都成立,则 m 的最小值是(
B. 2
3 2

A. 2

C. 2

3 4

D. 4

14.设 xi

∈ R, xi ≥ 0(i = 1,2,3,4,5)

∑x
i =1

5

i

= 1 ,则 ma x {x1 + x 2 , x 2 + x3 , x3 + x 4 , x 4 + x5 }
( )

的最小值等于 A.

1 4

B.
2

1 3

C.

1 6

D.

1 4

15.已知 x, y , z 满足方程 x

+ ( y 2) 2 + ( z + 2) 2 = 2 ,则 x 2 + y 2 + z 2 的最大值是
C. 3 2 D. 2

A.4 2

B.2 3

16. 若 直 线

y = kx + 1 与 圆 x 2 + y 2 + kx + my 4 = 0 交 于 M , N 两 点 , 且 M , N 关 于 直 线
kx y + 2 ≥ 0 y ≥ 0

x y = 0 对称,动点 P (a, b ) 在不等式组 kx my ≤ 0 表示的平面区域内部及边界上运
动,则 w = b 2 的取值范围是 a 1 A. [ 2,+∞) B. ( ∞,2] C. [2,2] D. (∞,2] ∪ [ 2,+∞) ( )

17.已知 x > 0, y

2 1 > 0 ,且 + = 1 ,若 x + 2 y > m 2 + 2m 恒成立,则实数 m 的取值范 x y


是(

) B. m ≥ 2 或 m ≤ 4 C. 2 < m < 4 D. 4 < m < 2 ( )

A. m ≥ 4 或 m ≤ 2
18.关于 x 的不等式

cos x + lg(9 x 2 ) < cos x + lg(9 x 2 ) 的解集为
B. ( 2 2, D. (3,3) 的点 构成的平面区域的面积为 ,其中 与 ,满足条件 ,

A. ( 3, 2 2) ∪ (2 2,3) C. ( 2 2, 2 2)
19.已知满足条件

π

) ∪ ( , 2 2) 2 2

π

的点 的最大整数,例如

构成的平面区域的面积为 , , 则

分别表示不大于 ,

的关系 ( )

A.
20.已知满足条件

B. 的点

C.

D. ,满足条件 , 分别表示不大于 ,

构成的平面区域的面积为 , (其中

的点 的最大整数) ,则点 A.直线 C.直线

构成的平面区域的面积为 一定在 左上方的区域内 右下方的区域内 ( )

B.直线 D.直线

上 左下方的区域内

21.根据程序设定, 机器人在平面上能完成下列动作: 先从原点 O 沿正东偏北 α( 0 ≤ α



π
2

) 北

方向行走一段时间后,再向正北方向行走一段时间,但 α 的大小以 及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为 10 米/分钟, 设机器人行走 2 分钟时的可能落点区域为 S,则 S 可以用不等式组表 示为( ) y P(x, y)

.



0 #x A. í ì

20 20

0 #y

ì x + y 400 B. í
2 2

α
O x(m)

x + y 20

ì x 2 + y 2 400 C. x 0 í y 0

ì x + y 20 D. í x 20 y 20


22.根据程序设定, 机器人在平面上能完成下列动作: 先从原点 O 沿正东偏北 α( 0 ≤ α

π
2

)

方向行走一段时间后,再向正北方向行走一段时间,但 α 的大小以及何时改变方向不定. 如 右图. 假定机器人行走速度为 10 米/分钟,设机器人行走 2 分钟时的可能落点区域为 S,则 S 的面积(单位:平方米)等于( A. 100p C. 400 - 100p 北 y P(x, y) )

B. 100p - 200 D. 200

.



α
O x(m)

23.定义:若存在常数 ,使得对定义域 D 内的任意两个不同的实数

,

均有

成立,则称函数 数

在定义域 D 上满足利普希茨条件.对于函

满足利普希茨条件,则常数 k 的最小值应是

A.2

B.1

C.

D.

24.如果直线 y=kx+1 与圆

交于 M,N 两点,且 M,N 关于直线 x

+y=0 对称,则不等式组:

表示的平面区域的面积是( )

A.

B.

C.1

D.2

25. 给出下列四个命题:

①若

;

②"a<2"是函数"

无零点"的充分不必要条件;

③若向量 p=e1+e2,其中 e1,e2 是两个单位向量,则|p|的取值范围是[0,2]; ④命题"若 lgx>lgy,则 x>y"的逆命题. 其中正确的命题是 ( A.①② B.①③ C.③④ D.①②③

)

26.已知点(x, y)构成的平面区域如图(阴影部分)所示,

(m 为常数) ,在平面

区域内取得最大值优解有无数多个,则 m 的值为

A.

B.

C.

D.

27. 若

的最大值为 B.3 C.4 D.2 满足 ,且等号成立时 ,且等号成立时 ,且等号成立时 ,且等号成立时 ,那么 的取值唯一 的取值唯一 的取值不唯一 的取值不唯一 C.4 D.5

(

)

A.2
28.2

29. 如果正数

A, B, C, D,

30. 设 变 量

最小值为

(

)

A.9
31.设两个向量

B.4


C.3
其中

D.2
为实数.若 则

的取值范围 是 ( A. ) B. 和原料 C. 分别为 D. , 生产乙产品每千克需用原料 元,月初一次性够进

32.某厂生产甲产品每千克需用原料

和原料

分别为 各

千克,甲,乙产品每千克可获利润分别为

本月用原料

千克,要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总

额达到最大;在这个问题中,设全月生产甲,乙两种产品分别为 千克, 千克,月利润总 额为 元,那么,用于求使总利润 最大的数学模型中,约束条件为

(A)
33.若

(B) 且 (B)3 且 (B) (C) (C)2 (D)

(C) ,则

(D) 的最小值是

(A)
34.若



的最小值为( (D)

)

(A)

35. 对任意实数 x,不等式

恒成立,则 的取值范围是( ) C. D.

A.
二,填空题 36.已知函数 y

B.

= f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,当 x <0 时, f ( x ) 是单调递增的,则不等

式 f ( x + 1) > f (1 2 x ) 的解集是_________________________.
37.已知集合 A =

{x x

2

ax ≤ x a ,集合 B = {x 1 ≤ log 2 ( x + 1) ≤ 2},若 A B ,则

}

实数 a 的取值范围是________________________.
38.设 A = {x

1 ≤ x ≤ 2}, B = {x f ( x) m < 3} ,若 f ( x) = x 2 + 1, A B ,则 m 的取值范
__

围是___
39.已知 x > 0, y > 0 ,且 x +

y = xy ,则 u = x + 4 y 的取值范围是_____________.

x y≥0 2 x + y ≤ 2 40. 若不等式组 表示的平面区域是一个三角形及其内部,则 a 的取值范围 y≥0 x+ y≤a
是 .
41.不等式 log a

(x

2

2 x + 3) ≤ 1 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是_________________. a + b ≥ 2 ab ② sin 2 x +
4 ≥ 4 ③ 设 x, y 都 是 正 整 数 , 若 sin 2 x

42. 下 列 四 个 命 题 中 : ①

1 9 + = 1 ,则 x + y 的最小值为 12④若 x 2 < ε , y 2 < ε ,则 x y < 2ε x y
其中所有真命题的序号是___________________.

43.已知 x, y 是正数,

a, b 是正常数,且

a b + = 1 , x + y 的最小值为______________. x y

44.已知 a, b, a + b 成等差数列, a, b, ab 成等比数列,且 0 < log m ( ab ) < 1 ,则 m 的取值范围是

______.
45.已知 a +b +c =1, x +y +z =9, 则 ax+by+cz 的最大值为 三,解答题 46.(本小题满分 12 分)
2 2 2 2 2 2

已知数列 {a n } 和 {bn } 中, a1 = t (t > 0), a 2 = t 2 .当x =

t时, 函数 f (x) =

1 (a n 1 a n ) x 3 (a n a n +1 ) x(n ≥ 2) 取得极值. 3
(1)求数列 {a n } 的通项公式;
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(2)若点 Pn (1, bn ), 过函数g ( x ) = ln(1 + x )图象上的点( a n , g ( a n )) 的切线始终与 OPn
2

平行(O 是坐标原点) .求证:当

1 1 1 1 < t < 2时, 不等式 + + + < 2 n 2 2 对任意 2 b1 b2 bn

1n

n ∈ N 都成立.
47.(本题满分 14 分)

已知实数 c ≥ 0 ,曲线 C : y =

x 与直线 l : y = x c 的交点为 P (异于原点 O ),在曲线

C 上取一点 P ( x1 , y1 ) , 过点 P 作 PQ1 平行于 x 轴, 交直线 l 于点 Q1 , 过点 Q1 作 Q1 P2 平 1 1 1
行于 y 轴, 交曲线 C 于点 P2 ( x2 , y2 ) , 接着过点 P2 作 P2Q2 平行于 x 轴, 交直线 l 于点 Q2 , 过点 Q2 作 Q2 P 平行于 y 轴,交曲线 C 于点 P3 ( x3 , y3 ) ,如此下去,可以得到点 3

P4 ( x4 , y4 ) , P5 ( x5 , y5 ) ,…, Pn ( xn , yn ) ,… . 设点 P 的坐标为 (a, a ) , x1 = b, (0 < b < a ) .
(Ⅰ)试用 c 表示 a ,并证明 a ≥ 1 ; (Ⅱ)试证明 x2 > x1 ,且 xn < a ( n ∈ N ) ;
*

(Ⅲ)当 c = 0, b ≥

x x 1 x x1 x3 x2 2 时,求证: 2 + + + n +1 n < 2 2 x3 x4 xn + 2

( n ∈ N ).
*

1 + ln x . x 1 (Ⅰ)若函数在区间 ( a, a + ) 其中 a >0,上存在极值,求实数 a 的取值范围; 2 k (Ⅱ)如果当 x ≥ 1 时,不等式 f ( x ) ≥ 恒成立,求实数 k 的取值范围; x +1
48.已知函数

f ( x) =

(Ⅲ)求证 [ ( n + 1) ] > ( n + 1) e !

n 2

(n ∈ N ) .

49.如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部

分) ,这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽度 为 5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm) ,能使矩形广告面积最小?
50.已知函数 f(x)=logax(a>0,且 a≠1) ,x∈[0,+∞).

x [0, +∞) 判断 [f x1) (x2) 与 f , ( +f ] ( 若 x1, 2∈ 的大小,并加以证明.

1 2

x1 + x2 ) 2

51.解关于 x 的不等式

ax 2 >x, (a∈R). ax 1

52.二次函数

f ( x) = ax 2 + bx + c(a < 0) 对一切 x ∈ R 都有 f (2 + x) = f (2 x) ,解不等式

1 5 f log 1 ( x 2 + x + ) < f log 1 (2 x 2 x + ) 2 8 2 2
53.解关于 x 的不等式:

log a (ax 2 ) log a 2 (a 2 x) <

1 2

(a > 0 且 a ≠ 1)

54.已知不等式

π 6 π 2(2a + 3) cos(θ ) + 2sin 2θ < 3a + 6 对于 θ ∈ 0, 恒 4 sin θ + cos θ 2

成立,求 a 的取值范围.
55.设函数

f ( x ) 的定义域为 R, 当 x<0 时, f ( x ) >1, 且对于任意的实数 x, y ∈ R , 有
1 ( n∈N* ) f (2 an )

f ( x + y ) = f ( x) f ( y ) 成立. 又数列 {an } 满足 a1 = f ( 0) , 且 f ( an+1 ) =
(1)求证: f ( x ) 是 R 上的减函数; (2)求 a2007 的值; (3)若不等式 (1 + 大值.

1 1 1 * )(1 + ) (1 + ) ≥k 2n + 1 对一切 n ∈ N 均成立, 求 k 的最 a1 a2 an

答案 一,选择题 1.B 2.B 3.B 4.D 5.A 6.B

错误原因:忽视了条件中 x 的取值范围而导致出错.

7.C 8.B 9.D 10.B 11.C 12.B 13.C 14.B

提示:

≥ ma x {x1 + x 2 , x1 + x 4 , x1 + x5 } 1 1 5 ≥ (∑ x i + x 4 ) ≥ 3 i =1 3
取 x1 = x 3 = x 5 =

ma x {x1 + x 2 , x 2 + x3 , x3 + x 4 , x 4 + x5 }

1 , x2 = x4 = 0 则 3 1 3

ma x {x1 + x 2 , x 2 + x3 , x3 + x 4 , x 4 + x5 } =
15.C 16.D 17.D 18.B 19.D 20.A 21.B 22.B 23.答案:C 24.答案:A 答案: 25.答案:B 答案: 26.答案:B 答案: 27.答案:B 答案: 28.答案:C

29.答案:A 答案:

解析: 解析:解 1:∵正数

满足

,∴ 4=

,即

,

当且仅当 a=b=2 时, "="成立;又 4= 成立;综上得 解 2:取 ,且等号成立时 得 时取等号,故选 A.
30.答案:C 答案: 31.答案:A 答案:

,∴ c+d≥4,当且仅当 c=d=2 时, "=" 的取值都为 2,选 A. ,从而淘汰 B,D;又∵当且仅当

解析: 由 解析:

可得

,



代入方程组可得

消去

化简得

,再化简得





代入上式得

可得

解不

等式得
32.答案:C 答案:

因而

解得

.故选 A

解析: 解析:某厂生产甲产品每千克需用原料 料 和原料 分别为 各

和原料

分别为

,生产乙产品每千克需用原 元,月初一次性

千克,甲,乙产品每千克可获利润分别为

够进本月用原料

千克,要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利

润总额达到最大;在这个问题中,设全月生产甲,乙两种产品分别为 千克, 千克,月利 润总额为 元,那么,用于求使总利润 最大的数学模型中,约束条件为

,选 C.
33.答案:A 答案:

解析: (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=12+(b-c)2≥12,当且仅当 b=c 时取 解析: 等号,故选 A 34.答案:D 答案: 解析:若 解析: 且 所以 ,


35.答案:C 答案: 二,填空题( 小题,每小题

,则(
分)

)≥

,选 D.

36. ( ∞, 0 ) ∪ ( 2, +∞ ) 37.

[1,3]

38. (2, 4) 39.

[9,+∞)
a ≤ 1或a ≥ 4 3

40. 0 < 41.[

1 ,1) 2

42.④ 43. a + b + 2

ab

44.(8,+∞) 45.3 三,解答题( 小题,每小题 分)

46.解析 (1)由 解析:

f ' ( x) = 0得(a n +1 a n ) = t (a n a n 1 ), (n ≥ 2)
2

即 {a n +1 a n }是首项为t t , 公比为 t 的等比数列. 当 t ≠ 1 时, a n +1 a n = (t t )t
2 n 1

…………2 分

w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

= t n +1 t n …… a 2 a1 = t 2 t.a n = t n ……5 分

当 t = 1时, 代入f ( x) 可知,函灵敏为常量函灵敏 f ( x ) = 0 ,常量函数没有极值,不符 合题意;

(2)证明:由 bn = g ' ( a n )得bn =

2a n 2t n = . 1 + a 2 n 1 + t 2n
…………8 分



1 1 n 1 = (t + n ) bn 2 t 1 1 1 < t < 2,∴当 < t ≤ 1时, 数列{ } 为递减数列, 2 2 bn



w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

1 1 < t < 2, 数列{ } 为递增数列 bn
当t =

1 1 或2时 取得最在值. 2 bn
…………10 分



1 1 n 1 < (2 + n ) bn 2 2



1 1 1 1 1 1 + + + < [(2 + 2 2 + 2 n ) + + + n ] b1 b2 bn 2 2 2
n

1 1 = 2 n (1 + 2 n ) < 2 n 2 1 2 n = 2 n 2 2 2 2

…………12 分

47.解析 (Ⅰ)点 P 的坐标 ( a, 解析:

y = x c a ) 满足方程组 ,所以 a = a c , ……………1 y = x

分 解得: 分 因为 c ≥ 0 ,所以故 1 + 2c + 1 + 4c ≥ 2 ,故 a = 分 (Ⅱ)由已知 P (b, b ) , Q1 ( b + c, b ) , P2 ( b + c, 1 即: x1 = b , x2 = 所以 x2 x1 =

a=

1 + 1 + 4c 1 ,故 a = (1 + 2c + 1 + 4c ) , 2 2

……………………… 2

1 (1 + 2c + 1 + 4c ) ≥ 1 . ………3 2

b + c) ,
…………………………… 4 分

b +c,

b + c b = b + a a b = ( a b )( a + b 1)
……………………………… 5 分

因为 0 < b < a , a ≥ 1 ,所以 x2 > x1 .

下面用数学归纳法证明 xn < a ( n ∈ N )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
*

1 ○当 n = 1 时, x1 = b < a 成立; 2 ( ○假设当 n = k 时,有 xk < a 成立, k ∈ N )
*

则当 n = k + 1 时, xk +1 = yk + c , ( xk > 0) 分 所以 xk +1 =

………………………………… 6

xk + c = xk + a a < a

…………………………… 7 分

所以当 n = k + 1 时命题也成立, 综上所述由○,○知 xn < a ( n ∈ N )成立.………………………………… 8 分 1 2
*

(注:此问答题如:只是由图可知,而不作严格证明,得分一律不超过 2 分) (Ⅲ)当 c = 0 时, 分 所以 xn

1 ≤ b < a = 1 , xk +1 = yk = xk ( 1 ≤ k ≤ n, k , n ∈ N * ),…………9 2

=x

1 2 n 1

=x

1 ( )2 2 n2

= = x

1 ( ) n1 2 1

=b

1 ( ) n1 2

.………………………………10 分
1

1 1 4 因为 b ≥ ,所以当 k ≥ 1 时,由(Ⅱ)知 xk + 2 ≥ x3 ≥ ,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 2
1 4

所以有

1 xk + 2

≤ 2 = 4 2 .……………………………………………………………12 分
1 ( )k 2

又因为 xk +1 xk = b 所以

b

1 ( ) k 1 2

> 0 , ( xn xn 1 ) + ( x3 x2 ) + ( x2 x1 ) = xn x1

1 1 1 ≤ b = x1 < x2 < < xn < a = 1 , xn x1 < 1 = ,…………………13 分 2 2 2

故有:
4 n x x 2 x2 x1 x3 x2 ….14 + + + n +1 n ≤ 4 2 ∑ ( xk +1 xk ) = 4 2 ( xn +1 x1 ) < x3 x4 xn + 2 2 k =1



48.解析: 解析 (Ⅰ)因为

f ( x) =

1 + ln x ln x , x >0,则 f ′( x ) = 2 , (1 分) x x

当 0 < x < 1 时, f ′( x ) > 0 ;当 x > 1 时, f ′( x ) < 0 . 所以 f ( x ) 在(0,1)上单调递增;在 (1, +∞) 上单调递减,

所以函数 f ( x ) 在 x = 1 处取得极大值.

(1 分)

因为函数 f ( x ) 在区间 ( a, a + ) (其中 a > 0 )上存在极值,

1 2

a < 1, 所以 1 a + 2 > 1,
(Ⅱ)不等式 f ( x ) ≥ 所以 g ′( x) =

解得

1 < a < 1. 2

(2 分)

k ( x + 1)(1 + ln x) ( x + 1)(1 + ln x) , 即为 ≥ k , 记 g ( x) = , x +1 x x

[ ( x + 1)(1 + ln x)]′ x ( x + 1)(1 + ln x) = x ln x
x2
x2 1 , x

(1 分) (1 分)

令 h( x ) = x ln x ,则 h′( x ) = 1

∵ x ≥ 1,

∴ h′( x) ≥ 0,
(1 分)

∴ h( x) 在 [1, +∞) 上单调递增,

∴[ h( x)]min = h(1) = 1 > 0 ,从而 g ′( x) > 0 ,
故 g ( x ) 在 [1, +∞) 上也单调递增, 所以 [ g ( x) ]min = g (1) = 2 ,所以 k ≤ 2 . (Ⅲ)又(Ⅱ)知: f ( x ) ≥ (1 分) (1 分)

2 x 1 2 2 , 恒成立,即 ln x ≥ = 1 > 1 , (1 分) x +1 x +1 x +1 x

令 x = n( n + 1) ,则 ln [ n( n + 1) ] > 1 所以 ln(1× 2) > 1

2 , n(n + 1)
(1 分)

2 , 1× 2 2 ln(2 × 3) > 1 , 2×3 2 ln(3 × 4) > 1 , 3× 4 iii iii ln [ n(n + 1)] = 1 2 , n(n + 1)

(1 分)

叠加得:

1 1 1 ln 1× 22 × 33 ×× n 2 (n + 1) > n 2 + + + n(n + 1) 1× 2 2 × 3

= n 2(1

1 1 ) > n2+ > n2 . n +1 n +1

(2 分)

则 1× 22 × 32 ×× n 2 ( n + 1) > e n 2 , 所以 [ ( n + 1) ] > ( n + 1) e !
n 2

(n ∈ N ) .

(1 分)

49.解法 1:设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm,则 ab=9000.



广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S=(a+20)(2b+25) =2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b ≥18500+2 25a 40b =18500+ 1000ab = 24500. 当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b=

5 a ,代入①式得 a=120,从而 b=75. 8

即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 解法 2:设广告的高为宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20, >20,y>25

y 25 , 其中 x 2

y 25 18000 = 18000 ,由此得 y= + 25, 2 x 20 18000 18000 广告的面积 S=xy=x( + 25 )= + 25 x, x 20 x 20 360000 整理得 S= + 25( x 20) + 18500. x 20
两栏面积之和为 2(x-20) 因为 x-20>0,所以 S≥2

360000 × 25( x 20) + 18500 = 24500. x 20

当且仅当

360000 = 25( x 20) 时等号成立, x 20 18000 +25,得 y=175, x 20

此时有(x-20)2=14400(x>20),解得 x=140,代入 y= 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500,

故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小.
50.解析 解析:f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2

∵x1>0,x2>0,∴x1x2≤(

x1 + x2 2 ) (当且仅当 x1=x2 时取"="号) 2

当 a>1 时,loga(x1x2)≤loga(

x1 + x2 2 x + x2 1 ) ,∴ logax1x2≤loga 1 2 2 2



x + x2 1 [f(x1)+f(x2) ]≤f( 1 ) (当且仅当 x1=x2 时取"="号) 2 2 x1 + x2 2 x + x2 1 ) ,∴ logax1x2≥loga 1 2 2 2

当 0<a<1 时,loga(x1x2)≥loga(



x + x2 1 [f(x1)+f(x2) ]≥f( 1 ) (当且仅当 x1=x2 时取"="号) 2 2
ax 2 ax 2 x >x 得 -x>0 即 >0(2 分) ax 1 ax 1 ax 1

51.解析 解析:由

此不等式与 x(ax-1)>0 同解.(3 分) x>0 x<0 ①若 a<0,则 或 ax-1>0 ax-1<0 得:

x 0 x 0 1 或 x 1 x a a 1 1 即 无解 或 <x<0. ∴解集为( ,0).(4 分) a a ②若 a=0,则-x>0 x<0,∴解集为(-∞,0).(6 分)
x>0 x<0 ax-1<0 或 ax-1>0 得

③若 a>0,则

x 0 x 0 1 或 x 1 x a a

1 1 或 x<0,∴解集为(-∞,0)∪( ,+∞) 分) (9 a a 1 综上所述:①当 a<0 时,不等式的解集是( ,0) a
即:x> ②当 a=0 时,不等式的解集是(-∞,0) ③当 a>0 时,不等式的解集是(-∞,0)∪(

1 ,+∞) (10 分) a

52.解析 解析:∵

1 1 1 log 1 ( x 2 + x + ) = log 1 ( x + ) 2 + ≤ 2 , 2 2 4 2 2

5 1 1 log 1 ( 2 x 2 x + ) = log 1 2( x ) 2 + ≤ 1 , 8 4 2 2 2
又 f(x)在 ( ∞ ,2 ] 上递增, 由原不等式,得: log 1 ( x 2 + x + ) < log 1 ( 2 x 2 x + )
2 2

1 2

5 8

w.w.w.k.s.5 .u. c.o. m

1 2 x + x + 2 > 0 5 2 x 2 x + > 0 8 1 5 2 2 x + x + 2 > 2x x + 8

1

14 14 < x <1+ 4 4

53.解析 解析:原不等式等价于: 1 + 2 log a

x

1 1 2 + log a x < 2 2

1 1 1 时,原不等式可化为: 1 + 2 log a x (2 + log a x ) < ,解得: 2 2 2 1 1 1 log a x < ,故 < log a x < ; 3 2 3 1 1 1 ②当 2 ≤ log a x ≤ 时,原不等式可化为: 1 2 log a x (2 + log a x ) < , 2 2 2 1 解得: log a x > 1 ,故 1 < log a x ≤ ; 2 1 1 ③当 log a x > 2 时,原不等式可化为: 1 2 log a x + (2 + log a x ) < ,解得: 2 2 1 log a x > ,故无解. 3 1 综上可知: 1 < log a x < , 3 1 ∴当 a > 1 时,原不等式的解为 < x < 3 a ;当 0 < a < 1 时,原不等式的解为 a 1 3a <x< a
①当 log a x >
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

54.解析 解析:设 sin θ + cos θ = x ,则 cos(θ

π 2 )= x, sin 2θ = x 2 1, x ∈ 1, 2 4 2

从而原不等式可化为: (2a + 3) x +

6 2( x 2 1) < 3a + 6 x 6 2 2 2 即 2 x 2ax 3 x + 3a + 4 > 0, 2 x ( x + a ) 3( x + a ) > 0 , x x x

2 (2 x 3) x + a > 0 x

( x ∈ 1, 2 ) (1)
( )

∴ 原不等式等价于不等式(1)

∵ x ∈ 1, 2 , ∴ 2 x 3 < 0
(1)不等式恒成立等价于 x +

2 a < 0 x ∈ 1, 2 恒成立. x

从而只要 a > ( x + ) max ( x ∈ 1, 2 ) .

2 x



又容易知道 f ( x ) = x +

所以 a > 3 . 55.解析: (1)由题设, 令 x= 1, y=0, 可得 f(1)=f(1)f(0), ∴ f(0)=1. 故 a1=f(0)=1 解析: 当 x>0 时, x<0, ∴ f(x)>1, 且 1=f(0)=f(x)f(x), 故得 0<f(x)<1 从而可得 f(x)>0, x∈R 设 x1, x2∈R, 且 x1<x2, 则 x2x1>0, 故 f(x2x1)<1, f(x1)>0 从而 f(x1) f(x2)=f(x1) f(x1+x2x1)=f(x1) f(x1)f(x2x1)=f(x1)[1f(x2x1)]>0 即 f(x1)>f(x2), ∴函数 f(x)在 R 上是减函数. (2)由 f(an+1)=

2 2 在 1, 2 上递减,∴ ( x + ) max = 3 ( x ∈ 1, 2 ) . x x

1 , 得 f(an+1)f( 2an)=1, 即 f(an+1an2)=f(0) f (2 a n )
*

由 f(x)的单调性, 故 an+1an2=0 即 an+1an=2 (n∈N ) 因此, {an}是首项是 1, 公差为 2 的等差数列, 从而 an=2n1, ∴ a2007=4013 (3)设 g(n)=
(1 + 1 1 1 )( 1 + ) (1 + ) a1 a2 an 2n + 1

, 则 g(n)>0, 且 k≤g(n)对 n∈N 恒成立.

*

由 g ( n + 1) = g (n)
*

(1 +

1 ) 2n + 1 a n +1 = 2n + 3

2 ( n + 1) 4 ( n + 1) 2 1

>1, 即 g(n+1)>g(n),

∴ g(n)在 N 上为单调递增函数, 故 g(n)≥g(1)= 因此, k≤

2 3

3

2 3

3 , 即 k 的最大值为

2 3

3


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