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2012年高考数学一轮复习 第7章《立体几何》空间点、平面、直线之间的位置关系精品课件


空间点、直线、 学案2.1 空间点、直线、平面 之间的位置关系







一、平面 1.三个公理 1.三个公理 公理1 公理 如果一条直线上的 两点 在一个平面内, 在一个平面内,

那么这条直线在此平面内. 那么这条直线在此平面内 公理2 公理 过不在一条直线上的三点 ,有且只有一个 有且只有一个

平面,也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面 平面,也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面.

公理3 公理 如果两个不重合的平面 有一个公共点 , 一条过该点的公共直线 . 那么它们有且只有 2.符号语言与数学语言的关系 符号语言与数学语言的关系 数学符号语言 A∈a ∈ A?a ? ∈ A∈a ∈ A?a ? ∈ a?α ? ? a∩b=A α∩β=a 数学表达语言 在直线a 点A在直线a上 在直线a 点A在直线a外 在平面α 点A在平面α内 在平面α 点A在平面α外 直线a在平面α 直线a在平面α内 直线a,b相交于点A a,b相交于点 直线a,b相交于点A 平面α,β相交于直线a 平面α,β相交于直线a α,β相交于直线

二、空间两条直线的位置关系 1.空间两条直线的位置关系有三种:相交、平行、异面 空间两条直线的位置关系有三种:相交、平行、 空间两条直线的位置关系有三种 (1)相交直线 在同一平面内,有且只有一个公共点 ; 相交直线: 在同一平面内, 相交直线 (2)平行直线 平行直线: 平行直线 在同一平面内, 在同一平面内,没有公共点 ;

不同在任何一个平面内(或者说, 不同在任何一个平面内(或者说,异面直线既 ),没有公共点 (3)异面直线 不相交又不平行的两条直线),没有公共点. 异面直线: 不相交又不平行的两条直线), 异面直线

2.判定异面直线的方法 判定异面直线的方法 (1)利用定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平 利用定理: 利用定理 面内不经过该点的直线是异面直线. 面内不经过该点的直线是异面直线

(2)利用反证法:假设两条直线不是异面直线,推导出矛 利用反证法:假设两条直线不是异面直线, 利用反证法 盾. 3.公理 公理4 公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行 行线的传递性. 行线的传递性 4.等角定理 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行, 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个 角 相等或互补 . ——空间平 空间平

5.异面直线所成的角 异面直线所成的角 是异面直线, 设a,b是异面直线,经过空间任一点 ,分别作直线 是异面直线 经过空间任一点O, 锐角(或直角 或直角) 锐角 或直角 a′∥a,b′∥b,把直线 与b′所成的 ∥ ∥ ,把直线a′与 所成的 叫做异面 直线a与 所成的角 或夹角). 所成的角(或夹角 直线 与b所成的角 或夹角 三、空间直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种: 直线与平面的位置关系有且只有三种: (1)直线在平面内: )直线在平面内: 有无数个公共点 ;

(2)直线与平面相交: 有且只有一个公共点 ; )直线与平面相交: (3)直线与平面平行: )直线与平面平行: 没有公共点 ,

直线与平面相交或平行的情况统称 直线在平面外 四、平面与平面的位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有两种: 两个平面之间的位置关系有且只有两种: (1)两个平面平行: )两个平面平行: (2)两个平面相交: )两个平面相交: 没有公共点 ; 有一条公共直线 .

.

考点一 证明共点问题 如图所示,空间四边形 分别在AB, 如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在 , 中 , , 分别在 BC,CD上,且满足 , 上 且满足AE:EB=CF:FB=2:1,CG:? , ? GD=3:1,过E,F,G的平面交 于H,连接 的平面交AD于 ,连接EH. , , , 的平面交 (1)求AH:HD; ) ; 三线共点. (2)求证:EH,FG,BD三线共点 )求证: , , 三线共点

【分析】证明线共点的问题实质上是证明点在线上的 分析】 问题,其基本理论是把直线看作两平面的交线, 问题,其基本理论是把直线看作两平面的交线,点看 作是两平面的公共点,由公理 得证 得证. 作是两平面的公共点,由公理3得证

AE CF 解析】 =2,∴EF∥AC. 【解析】(1)∵ ) , ∥ = EB FB

∴EF∥平面 ∥平面ACD. 而EF?平面EFGH,且平面EFGH∩平面 ?平面 ,且平面 平面ACD=GH, , 平面 ? ∴EF∥GH.而EF∥AC,∴AC∥GH. ∥ 而 ∥ , ∥ ∴
AH CG =3,即AH:HD=3:1. , = HD GD

(2)证明:∵EF∥GH,且 )证明: ∥ ,

EF 1 GH 1 = , = , AC 3 AC 4

为梯形. ∴EF≠GH,∴四边形 ∴四边形EFGH为梯形 为梯形 令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH? 平面 则 ∈ 而 ? 平面ABD, , ? P∈FG,FG? 平面 ∈ , ? 平面BCD,平面 平面BCD=BD, ,平面ABD∩平面 平面 , ? ∴P∈BD.∴EH,FG,BD三线共点 ∈ ∴ , , 三线共点. 三线共点

【评析】 所谓线共点问题就是证明三条或三条以 评析】 上的直线交于一点. 上的直线交于一点 (1)证明三线共点的依据是公理 )证明三线共点的依据是公理3. (2)证明三线共点的思路是:先证两条直线交于 )证明三线共点的思路是: 一点,再证明第三条直线经过该点,把问题转化为证 一点,再证明第三条直线经过该点, 明点在直线上的问题.实际上,点共线、 明点在直线上的问题 实际上,点共线、线共点的问题 实际上 都可以转化为点在直线上的问题来处理. 都可以转化为点在直线上的问题来处理

*对应演练* 对应演练*
如图所示,已知空间四边形 分别是AB, 如图所示,已知空间四边形ABCD,E,F分别是 , , , 分别是 1 AD的中点,G,H分别是 ,CD上的点 且CG= BC, 的中点, , 分别是 分别是BC, 上的点 上的点.且 的中点 , 3 1 CH= DC.求证: 求证: 求证 3 (1)E,F,G,H ) , , , 四点共面; 四点共面; (2)三直线 ,EG, )三直线FH, , AC共点 共点. 共点

(1)连接 ,GH. )连接EF, 分别为AB,AD中点, 中点, 由E,F分别为 分别为 中点 1 1 ∥ ∴EF= BD,由CG= BC 由 2 3 1 CH= DC, , 3 1 ∥ ∴HG = BD, , 3 ∴EF∥HG且EF≠HG. ∥ 且 可确定平面α, ∵EF,HG可确定平面 可确定平面 四点共面. ∴E,F,G,H四点共面 四点共面

为平面图形, (2)由(1)知,EFHG为平面图形,且EF∥HG, ) ) 为平面图形 ∥ , EF≠HG. 为梯形, 直线EG=O, ∴四边形EFHG为梯形,设直线 四边形 为梯形 设直线FH∩直线 直线 , ∵点O∈直线 ,直线 ∈直线FH,直线FH ?面ACD, ,

?

同理点O∈平面ABC. ∴点O∈平面 ∈平面ACD.同理点 ∈平面 同理点 又面ACD∩面ABC=AC,∴点O∈直线 (公理 ). 面 又面 , ∈直线AC(公理2) 共点. ∴三直线FH,EG,AC共点 三直线 , , 共点

考点二

点共线问题

在正方体ABCD—A1B1C1D1中,对角线 1C与平面 对角线A 与平面 在正方体 对角线 BDC1交于点 交于点O,AC,BD交于点 求证 点C1,O,M共线 交于点M,求证 共线. 交于点 求证:点 共线

【分析】证明三点共线常用方法是取其中两点确定一 分析】 直线,再证明其余点也在该直线上 直线 再证明其余点也在该直线上. 再证明其余点也在该直线上

【证明】如图,∵A1A∥C1C, 证明】如图 ∵ ∥ 确定平面A ∴A1A,C1C确定平面 1C. 确定平面 ∵A1C? 平面 1C,O∈A1C, ? 平面A ∈

?
平面BDC1∩线A1C, ∴O∈平面 1C,而O=平面 ∈平面A 而 平面 线 ∴O∈平面 ∈平面BDC1, ∴O在平面 在平面BDC1与平面 1C的交线上 与平面A 的交线上 的交线上. 在平面 ∵AC∩BD=M, ∴M∈平面 ∈平面BDC1且M∈平面 1C, ∈平面A 平面A ∴平面BDC1∩平面 1C=C1M, 平面 平面 三点共线. ∴O∈CM,即M,O,C1三点共线 ∈ 即

【评析】 证 明若干点共线也可用基本性质 为依 评析】 明若干点共线也可用基本性质3 据,找出两个平面的交线 然后证明各个点都是这两平面 找出两个平面的交线,然后证明各个点都是这两平面 找出两个平面的交线 的公共点. 的公共点

*对应演练* 对应演练*
如图所示,已知△ 如图所示 已知△ABC在 已知 在 平面α外 平面 外,AB,BC,AC的 的 延长线分别交平面α于 延长线分别交平面 于 P,Q,R三点.求证 P,Q,R三点.求证:P,Q,R 三点 求证:P,Q,R 三点共线. 三点共线 证明:设 证明 设△ABC所在平面为 因为 所在平面为β,因为 所在平面为 因为AP∩α=P,AP?β,所以 ?? 所以 β与α相交于过点 的直线 即P∈l.因为 与 相交于过点 的直线l,即 ∈ 因为 相交于过点P的直线 因为BQ∩α=Q,BQ? ? β,所以 ∈β,Q∈α.所以 ∈l.同理可证 ∈l.所以 所以Q∈ 所以Q∈ 同理可证 同理可证R∈ 所以 所以P,Q,R 所以 ∈ 所以

?

三点共线. 三点共线

考点三 共面问题

证明:空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内 证明:空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.

【分析】四条直线两两相交且不共点,有两种情况 分析】四条直线两两相交且不共点 有两种情况 有两种情况: 一是恰有三条直线共点;二是任意三条直线均不共点 故 一是恰有三条直线共点 二是任意三条直线均不共点,故 二是任意三条直线均不共点 应分两种情况证明. 应分两种情况证明

【解析】 (1)如图 设直线 解析】 如图 设直线a,b,c 如图,设直线 相交于O点 直线 直线d和 相交于 点,直线 和a,b,c分别 分别 交于M,N,P三点 份直线 和点 三点,份直线 交于 三点 份直线d和点 O确定平面 确定平面α. 确定平面 ∵O∈直线 ∈直线a,M∈直线 ∈直线a, ∴直线a?平面 直线 ? ?平面α. 同理b?平面α,c?平面 ?平面 ?平面α. 同理 ? ? 四线共面. ∴a,b,c,d四线共面 四线共面

(2)如图 设直线 如图,设直线 两两相交,且任意三条不共点 如图 设直线a,b,c,d两两相交 且任意三条不共点 两两相交 且任意三条不共点. 确定平面α. ∵直线a∩b=M,∴直线 和b确定平面 直线 ∴直线a和 确定平面 都在平面α内 ∵a∩c=N,b∩c=Q,∴N,Q都在平面 内. ∴ 都在平面 ∴直线a,b,c,d共面于 共面于α. 直线 共面于 综合( ),( ),(2) 两 综合(1),( )知,两 两相交而不过同一点的 四条直线必在同一平面内. 四条直线必在同一平面内

【评析】所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线 评析】 在同一个平面内的问题.( )证明点线共面的主要依据: 在同一个平面内的问题 (1)证明点线共面的主要依据: 如果一条直线上的两点在一个平面内, ①如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上 的所有点都在这个平面内(公理1) ② 的所有点都在这个平面内(公理 ).②经过不在同一条直 线上的三点,有且只有一个平面(公理2) ( ) 线上的三点,有且只有一个平面(公理 ).(2)证明点线 共面的常用方法:①纳入平面内:先确定一个平面, 共面的常用方法 ①纳入平面内:先确定一个平面,再证明 有关点、线在此平面内.②辅助平面法:先证明有关的点、 有关点、线在此平面内 ②辅助平面法:先证明有关的点、 线确定平面α,再证明其余元素确定平面β, 线确定平面 ,再证明其余元素确定平面 ,最后证明平面 α,β重合 ③反证法 (3)具体操作方法:①证明几点共面 重合.③ 重合 反证法.( )具体操作方法: 的问题可先取三点(不共线的三点)确定一个平面, 的问题可先取三点(不共线的三点)确定一个平面,再证 明其余各点都在这个平面内.② 明其余各点都在这个平面内 ②证明空间几条直线共面问题 可先取两条(相交或平行)直线确定一个平面, 可先取两条(相交或平行)直线确定一个平面,再证明其 余直线均在这个平面内. 余直线均在这个平面内

*对应演练* 对应演练*
如图,正方体 如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中, 判断下列命题是否正确,并说明理由 判断下列命题是否正确,并说明理由. 平面CC (1)直线 1? )直线AC ?平面 1B1B; ; (2)设正方形 )设正方形ABCD与A1B1C1D1 与 的中心分别为O,O1,平面 1C1C 平面AA 的中心分别为 ,

∩ 平面BB 平面 1D1D=OO1;
可以确定一个平面; (3)点A,O,C可以确定一个平面; ) , , 可以确定一个平面 确定的平面是ADC1B1; (4)由点 ,C1,B1确定的平面是 )由点A, (5)由A,C1,B1确定的平面和由A,C1, ) , 确定的平面和由 , D确定的平面是同一平面 确定的平面是同一平面. 确定的平面是同一平面

(1)错误,若AC1? 错误, 平面CC 错误 ?平面 1B1B,则A∈平面 , ∈ CC1B1B,这与 ∈ 平面 1B1B的几何事实矛盾 平面CC 的几何事实矛盾. ,这与A 的几何事实矛盾 (2)正确,O,O1是这两个平面的两个公共点 正确, , 是这两个平面的两个公共点. 正确 (3)错误 点A,O,C在同一直线上 错误,点 , , 在同一直线上. 错误 在同一直线上 (4)正确,∵A,C1,B1不共线,∴确定平面 正确, 不共线, 确定平面α. 正确 , 是平行四边形, ∵AB1C1D是平行四边形,过AD与B1C1两平行线确定 是平行四边形 与 一平面β, 一平面 都过不共线三点A,C1,B1,∴α与β重合 重合. 又α,β都过不共线三点 都过不共线三点 与 重合 ∴点D∈平面AC1B1,即A,C1,B1确定的平面是ADC1B1. ∈平面 确定的平面是 (5)正确,同(4). 正确, 正确 )

考点四

异面直线的判定和证明

如图所示,正方体 如图所示,正方体ABCD —A1B1C1D1中,M,N分别是 , 分别是 A1B1,B1C1的中点 问: 的中点.问 是否是异面直线? (1)AM和CN是否是异面直线? ) 和 是否是异面直线 (2)D1B和CC1是否是异面直 ) 和 线?请说明理由. 请说明理由 【分析】(1)由于 分析】 分别是A 的中点, )由于M,N分别是 1B1和B1C1的中点,可 分别是 证明MN∥AC,因此 ∥ ,因此AM与CN不是异面直线 (2)由空 不是异面直线.( ) 证明 与 不是异面直线 间图形可感知D 和 为异面直线的可能性较大, 间图形可感知 1B和CC1为异面直线的可能性较大,判 断的方法可用反证法. 断的方法可用反证法

【解析】(1)不是异面直线 理由如下: 解析】 理由如下: )不是异面直线.理由如下 ∵M,N分别是 1B1,B1C1的中点, 分别是A 的中点 分别是 ∴MN∥A1C1, ∥ ∥ ∥ 又∵A1A= D1D,而D1D= C1C, 而 , ∥ 为平行四边形. ∴A1A=C1C,∴四边形 1ACC1为平行四边形 , 四边形A ∴A1C1∥AC,得到 ,得到MN∥AC, ∥ , 在同一个平面内, 不是异面直线. ∴A,M,N,C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线 在同一个平面内 和 不是异面直线

(2)是异面直线,证明如下: )是异面直线,证明如下: 假设D 与 在同一个平面D 假设 1B与CC1在同一个平面 1CC1内, 则B∈平面 1D1,C∈平面 1D1. ∈平面CC ∈平面CC ∴BC?平面 1D1, ?平面CC ? 这与正方体ABCD—A1B1C1D1中BC⊥面CC1D1相矛盾 相矛盾. 这与正方体 ⊥ 是异面直线. ∴假设不成立,故D1B与CC1是异面直线 假设不成立, 与

【评析】判定异面直线的常用方法有:( )定义法; 评析】判定异面直线的常用方法有:(1)定义法; :( ;(3)判定定理法, (2)反证法;( )判定定理法,应用异面直线判定定 )反证法;( 理来判定时,应注意是否满足它的“四要素” 理来判定时,应注意是否满足它的“四要素”,即①点 A∈平面α,②B ∈α,③直线 ?α,④A ∈a,则直线 与a ∈平面 ② 则直线AB与 ③直线a? ④ 则直线 ? ≠ 异面. 异面

*对应演练* 对应演练*
如图所示, 如图所示,E,F在AD上, 在 上 G,H在BC上, 图中 条线 在 上 图中8条线 段所在的直线, 段所在的直线,哪些直线 互 为 异 面 直 线 ? 先找规律性较强的直线, 先找规律性较强的直线,如AB与CD,AC与BD,AD与 与 , 与 , 与 BC互为异面直线,然后再把EG添入,那么易得 分别 互为异面直线,然后再把 添入 那么易得EG分别 添入, 互为异面直线 成异面直线.同理 与AB,AC,BD,DC成异面直线 同理,FH也与它们分别成 成异面直线 同理, 也与它们分别成 异面直线, 与 也互为异面直线 也互为异面直线.每两条异面直线称 异面直线,EG与FH也互为异面直线 每两条异面直线称 对异面直线. 为“一对”,则共有12对异面直线 一对” 则共有 对异面直线

考点五 异面直线所成的角 在空间四边形ABCD中, 中 在空间四边形 AB=CD且其所成的角 且其所成的角 是 60°, 点 M,N分别是 ° 分别是 BC,AD的中点 求直线 的中点.求直线 的中点 AB与MN所成的角.

【分析】 本题首先要考虑将题目中的直线 与 分析】 本题首先要考虑将题目中的直线AB与 CD所成的角是 °反映在图形上 ,故要考虑添加辅 所成的角是60° 所成的角是 助线,通常取中点将其中的直线进行平移,从而得解 助线,通常取中点将其中的直线进行平移,从而得解.

【解析】取AC的中点 ,连结 解析】 的中点P,连结PM,PN,则有 的中点 ,
1 1 PM∥AB,且PM= AB.PN∥CD,且PN= CD. ∥ , ∥ , 2 2

且其所成的角是60° 又AB=CD且其所成的角是 °, 且其所成的角是 ∴PM=PN,∠MPN=120°或60°. , ° ° ∴∠MPN=60°或30°,即直线 与MN所成的角为 ° ∴∠ ° 即直线AB与 所成的角为 60°或30°. ° °

【评析】求异面直线所成的角主要有定义法(平移法 评析】求异面直线所成的角主要有定义法 平移法 平移法) 和向量法. 和向量法 利用定义法(平移法 求异面直线所成角的一般步骤为 利用定义法 平移法)求异面直线所成角的一般步骤为 平移法 求异面直线所成角的一般步骤为: (1)平移 选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条 平移:选择适当的点 平移异面直线中的一条或两条 平移 选择适当的点 成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点 这里的点通常选择特殊位置的点,如线段的 成为相交直线 这里的点通常选择特殊位置的点 如线段的 中点或端点,也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点 也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点. 中点或端点,也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点. (2)证明 证明所作的角是异面直线所成的角 证明:证明所作的角是异面直线所成的角 证明 证明所作的角是异面直线所成的角. (3)寻找 在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形 寻找:在立体图形中 寻找或作出含有此角的三角形, 寻找 在立体图形中 寻找或作出含有此角的三角形 并解之. 并解之 (4)取舍 因为异面直线所成角θ的取值范围是 取舍:因为异面直线所成角 的取值范围是 取舍 因为异面直线所成角 0°<θ≤90°,所以所作的角为钝角时 应取它的补角作为异 所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异 ° ° 所以所作的角为钝角时 面直线所成的角. 面直线所成的角

*对应演练* 对应演练*
如图所示,在四棱锥 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为 的菱 中 底面是边长为2的菱 对角线AC与 交于点 交于点O, ⊥ 形,∠DAB=60°,对角线 与BD交于点 ,PO⊥平 ° 对角线 与平面ABCD所成角为 °. 所成角为60° 面ABCD,PB与平面 , 与平面 所成角为 (1) 求四棱锥的体积; 求四棱锥的体积; (2) 若E是PB的中点, 的中点, 是 的中点 求异面直线DE与 求异面直线 与PA 所成角的余弦值. 所成角的余弦值

(1)在四棱锥 )在四棱锥P—ABCD中, 中 ∵PO⊥平面 ⊥平面ABCD, , ∴∠PBO是PB与平面 是 与平面 与平面ABCD所成的角, 所成的角, ∴∠ 所成的角 即∠PBO=60°, ° 在Rt△POB中, △ 中 ∵BO=AB·sin30°=1, ° 又PO⊥OB,∴PO=BO·tan60°= 3 , ⊥ , ° ∵底面菱形的面积S=2× 底面菱形的面积 ×
1 2
3 2

×2×2× × ×

=2

3,

∴四棱锥P—ABCD的体积 四棱锥 的体积
1 VP—ABCD= 3 ×2 3× 3 =2.

(2)取AB的中点 ,连接 ,DF, 取 的中点 的中点F,连接EF, , 中点, ∵E为PB中点,∴EF∥PA. 为 中点 ∥ ∴∠DEF为异面直线 与PA所成角(或其补角). 为异面直线DE与 所成角 或其补角) 所成角( ∴∠ 为异面直线 在Rt△AOB中,AO=AB·cos30°= 3 =OP, △ 中 ° ∴在Rt△POA中,PA= 6,∴EF= △ 中
6 2

.

在正三角形ABD和正三角形 2 中2,DF=DE= 在正三角形 和正三角形PDB中 和正三角形 2
DE + EF - DF 由余弦定理得cos∠DEF= 由余弦定理得 ∠ 2DE·EF
( 3)2 + ( 6 2 6 ) - ( 3)2 2 4 = 2. = = 4 6 3 2 2× 3 × 2 2 异面直线DE与 所成角的余弦值为 . ∴异面直线 与PA所成角的余弦值为 4

3,

1.对于平面的三个公理,要深刻理解其含义, 1.对于平面的三个公理,要深刻理解其含义,并能 对于平面的三个公理 用符号准确地表述. 用符号准确地表述. 2.主要题型的解题方法 2.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分 要证明“线共面” 点共面” 直线或点确定一个平面, 直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也在这个平 面内( 纳入法” 面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线, 要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线, 只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3 只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3可 知这些点在交线上,因此共线. 知这些点在交线上,因此共线.

3.判定空间两条直线是异面直线的方法 3.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理.平面外一点A与平面内一点B的连线和 判定定理.平面外一点A与平面内一点B 平面内不经过该点B的直线是异面直线. 平面内不经过该点B的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线平行、相交不可能或证明两 反证法:证明两线平行、 线共面不可能,从而可得两线异面. 线共面不可能,从而可得两线异面. 4.求两条异面直线所成角的大小, 4.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过 求两条异面直线所成角的大小 平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决. 平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决.根据 空间等角定理及推理可知,异面直线所成角的大小与顶点 空间等角定理及推理可知, 位置无关,往往将角的顶点取在其中的一条直线上,特别 位置无关,往往将角的顶点取在其中的一条直线上, 地,可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或 异面线段的端点. 异面线段的端点.


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