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内蒙古包头一中2012届高三数学第三次模拟考试试题 理【会员独享】

包头一中 2011~2012 学年校三模考试 高三数学理科试题
一、选择题(下列每小题所给选项只有一项符合题意,每小题 5 分,共 60 分。) 1.设 P ? ? m ? 1 ? m ? 0 ? , Q ? ? m ? R m x ? 4 m x ? 4 ? 0 对 任 意 实 数 x 恒 成 立 ? ,则下列
2

关系中成立的是 ( A. P ? Q

) C. P ? Q
z z

B. Q ? P

D. P ? Q ? Q

2.设 z 的共轭复数是 z ,若 z ? z ? 4, z ? z ? 8, 则

?(



A. i

B.- i

C. ? 1

D. ? i )

3.设 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? a 的图象关于直线 x ? 1 对称,则 a 的值为( A. 3 B. 2
? ?

C. 1
? ?

D. -1
4 3 5
7? ? ? , 则 sin ? ? ? ? 的值是 6 ? ?
4 5 4 5

4.已知 co s ? ? ?

? ? sin ? ? 6 ?
2 3 5

(

)

A. ?

2 3 5

B.

C. ? ) C.7

D.

n=10 s=10

5.右边程序运行结果为 ( A.5 B.4

D. 6

WHILE s<40 s=s+n n=n-1 WEND PRINT n END

6.若函数 y ? f ? x ? 1 ? 的图象与函数 y ? ln ( A. e )
2 x ?1

x ? 1 的图象关于直线 y ? x 对称,则 f

?x? ?

B. e
x

2x

C. e

2 x ?1

D. e )

2 x?2

7. 1 ? A.-4

?

? ?1 ?
6

x

?

4

的展开式中 x 的系数是( C.3 D.4

B.-3

1

8.若直线

x a

?

y b

? 1 通过点 M ? cos ? , sin ? ? ,则(


1 a
2

A. a ? b ? 1
2 2

B. a ? b ? 1
2 2

C.

1 a
2

?

1 b
2

?1

D.

?

1 b
2

?1

9.为得到函数 y ? co s ? 2 x ?
?

?

? ?

? 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象( 3 ?



A. 向左平移 C. 向左平移

5? 12 5? 6

个长度单位 个长度单位

B.向右平移 D.向右平移

5? 12 5? 6

个长度单位 个长度单位 )

10.设曲线 y ? A.2

x ?1 x ?1

在点 ? 3, 2 ? 处的切线与直线 a x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a 等于(
1 2

B.

C. ?

1 2

D. ? 2

11. 已知三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 A B C 内的射影为
? A B C 的中心,则 A B1 与底面 A B C 所成角的正弦值等于(
1 3


2 3

A.

B.

2 3

C.

3 3

D.

[

12.设 F1 、 F2 分别为双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点.若在双曲线右支上存

在点 P ,满足 P F2 ? F1 F2 ,且 F2 到直线 P F1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的 渐近线方程为 A. 3 x ? 4 y ? 0 B. 3 x ? 5 y ? 0 C. 4 x ? 3 y ? 0 D. 5 x ? 4 y ? 0

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.在 ? A B C 中,
? ?

?
?

3 b ? c co s A ? a co s C ,则 cos A ? ?

?

. .

14.已知 a ? 1, b ? a ? b ? 0, 则 b 的取值范围为 15.一个几何体的三视图(单位: cm )如图所示, 则该几何体的体积为
cm .
3

?

?

?

2

? 16.过抛物线 x ? 2 p y ? p ? 0 ? 的焦点 F 作倾斜角 30 的直线,与抛物线分别交于 A , B 两

2

点(点 A 在 y 轴左侧) ,则

AF FB

?



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 12 分)在数列 ? a n ? 中, a1 ? 1 , a n ? 1 ? 2 a n ? 2 (1)设 b n ?
an 2
n ?1

n

, 证明 ? b n ? 是等差数列

(2)求数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n 18.(本题满分 12 分)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜 利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果 相互独立,已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。 (1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设 ? 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ? 的分布列及数学期望。 19.(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, A B ? A C , D 、 E 分别为 A A1 、
B1C 的中点, D E ? 平面 B C C 1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1)证明: A B ? A C (2)设二面角 A ? B D ? C 为 60°,求 B1C 与平面 B C D 所成的角的大小。

20.(本小题满分 12 分)设 f ? x ? ? x ? 3 a x ? ? 3 ? 6 a ? x ? 1 2 a ? 4 ? a ? R ? ,若 f ? x ? 在
3 2

x ? x 0 处取得极小值, x 0 ? ? 1, 3 ? ,求 a 的取值范围.

21. (本题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与它到
3

直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d.当点 P 运动时,d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 21 世纪教育网 (1)求点 P 的轨迹 C; (2)设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度的最大值。

.

四、选考题(本小题满分 10 分)请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做, 则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.选修 4—1:平面几何 AB 是⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点,过点 D 作⊙O 的切线交 AB 延长线于 C,若 DA=DC,求证: AB=2BC
D

A O

B

C

23.选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xO y 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为 ?
?x ? ? 3 cos a

? y ? s in a ?

.

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴 正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,
π 2

) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 24.选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? | x ? a | 。

? x | ? 1 ? x ? 5? ,求实数 a 的值; (1)若不等式 f ( x ) ? 3 的解集为
(2)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x ) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范 围。

包头一中 2011~2012 学年校二模考试
4

高三数学理科试题

一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意, ) 1 A 2 D 3 A 4 C 5 D 6 B 7 B 8 D 9 A 10 D 11 B 12 C

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.
3 3

14. ? 0,1 ?

15.18

16.

1 3

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17. 解: (Ⅰ) 证明:? a n ? 1 ? 2 a n ? 2
? a n ?1 2
n
n

?

an 2
n ?1

?1

? bn ?1 ? bn ? 1

又 b1 ? a1 ? 1
? ? b n ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列

(Ⅱ)由(1)知 a n ? n ? 2
?
0

n ?1

S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? ? n ? 1 ? ? 2
1 1 2

n ?1

? n?2

n ?1

? 2Sn ?

1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? ? n ? 1 ? ? 2

n ?1

? n?2

n

所以两式相减得
? S n ? 1 ? 2 ? ... ? 2
n
n ?1

? n?2 ?
n

1? 2

n

1? 2

? n?2

n

? S n ? ? n ? 1? ? 2 ? 1

18. 记 Ai 表示事件:第 i 局甲获胜, i ? 3, 4, 5
B j 表示事件:第 j 局甲获胜, i ? 3, 4

(Ⅰ)记 B 表示事件:甲获得这次比赛的胜利 因前两局中,甲,乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中甲先 胜两局,从而
B ? A3 A 4 ? B 3 A 4 A5 ? A 3 B 4 A5

5

由于各局比赛结果相互独立,故
P ? B ? ? P ? A3 A 4 ? ? P ? B 3 A 4 A 5 ? ? P ? A 3 B 4 A 5 ? ? P ? A3 ? P ? A 4 ? ? P ? B 3 ? P ? A 4 ? P ? A 5 ? ? P ? A 3 ? P ? B 4 ? P ? A 5 ? ? 0 .6 ? 0 .6 ? 0 .4 ? 0 .6 ? 0 .6 ? 0 .6 ? 0 .4 ? 0 .6 ? 0 .6 4 8

(Ⅱ) ? 的可能取值为 2,3 由于各局比赛结果相互独立,所以
P ? ? ? 2 ? ? P ? A3 A 4 ? B 3 B 4 ? ? P ? A3 A 4 ? ? P ? B 3 B 4 ? ? P ? A3 ? P ? A 4 ? ? P ? B 3 ? P ? B 4 ? ? 0 .6 ? 0 .6 ? 0 .4 ? 0 .4 ? 0 .5 2
P ? ? ? 3 ? ? 1 ? P ? ? ? 2 ? ? 0 .4 8

? 的分布列为 ?

2 0.52
E ??

3 0.48

P

??

2 ? P ?? ? 2 ? ? 3 ? P ?? ? 3 ?

? 2 ? 0 .5 2 ? 3 ? 0 .4 8 ? 2 .4 8

19 解法一: (Ⅰ)取 BC 中点 F,连接 EF,则 EF A1 B1 D A C B E C1

1 2

B 1 B ,从而 EF

DA。

连接 AF,则 ADEF 为平行四边形,从而 AF//DE。又 DE⊥平面 B C C 1 ,故 AF⊥平面 B C C 1 , 从而 AF⊥BC,即 AF 为 BC 的垂直平分线,所以 AB=AC。 (Ⅱ)作 AG⊥BD,垂足为 G,连接 CG。由三垂线定理知 CG⊥BD,故∠AGC 为二面角 A-BD-C 的平面角。由题设知,∠AGC=60 .
0.

6

设 AC=2,则 AG=

2 3

。又 AB=2,BC= 2 2 ,故 AF= 2 。

由 A B ? A D ? A G ? B D 得 2AD=

2 3

. A D ? 2 ,解得 AD=
2 2

2 。

故 AD=AF。又 AD⊥AF,所以四边形 ADEF 为正方形。 因为 BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故 BC⊥平面 DEF,因此平面 BCD⊥平面 DEF。 连接 AE、DF,设 AE∩DF=H,则 EH⊥DF,EH⊥平面 BCD。 连接 CH,则∠ECH 为 B 1 C 与平面 BCD 所成的角。 因 ADEF 为正方形,AD= 2 ,故 EH=1,又 EC=
0

1 2

B 1 C =2,
0

所以∠ECH=30 ,即 B 1 C 与平面 BCD 所成的角为 30 . 解法二: (Ⅰ)以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的 直角坐标系 A—xyz。 设 B(1,0,0) ,C(0,b,0) ,D(0,0,c) ,则 B1 (1,0,2c),E (
1 2
?



b 2

,c).
?

于是 D E =(

1 2



b 2

,0) B C =(-1,b,0).由 DE⊥平面 B C C 1 知 DE⊥BC, D E ? B C =0, , AB=AC。
?

?

?

求得 b=1,所以

(Ⅱ)设平面 BCD 的法向量 A N ? ( x , y , z ), 则 A N ? B C ? 0, A N ? B D ? 0 .
?

?

?

?

?

又 B C =(-1,1, 0) ,
? ?? x ? y ? 0 B D =(-1,0,c),故 ? ? ? x ? cz ? 0

令 x=1, 则 y=1, z=

1 c

?

, A N =(1,1,

1 c

).

又平面 ABD 的法向量 AC =(0,1,0)
AC =60°, 由二面角 A ? BD ? C 为 60°知, AN ,

7



AN ? AC ? AN ? AC ? cos 60 °,求得 c ?

1 2

于是

AN ? 1, 2) , ( 1,
cos AN , 1 ? CB

CB 1 ? (1, 1, 2) ?

AN ? CB 1 AN ? CB 1

?

1 2



AN , 1 ? 60 ° CB

所以 B 1 C 与平面 BCD 所成的角为 30°
2 20 由 f ?( x ) ? 0 得 x ? 2 ax ? 1 ? 2 a ? 0

(i)当 ? 2 ? 1 ? a ? (ii)当 a ?
x1 ? ? a ?

2 ? 1 时, f ( x ) 没有极小值;

2 ? 1 或 a ? ? 2 ? 1 时,由 f ? ( x ) ? 0 得
a ? 2 a ? 1, x 2 ? ? a ?
2

a ? 2a ? 1
2

故 x 0 ? x 2 。由题设知 1 ? ? a ? 当a ?

a ? 2a ? 1 ? 3 ,
2

2 ? 1 时,不等式 1 ? ? a ?

a ? 2 a ? 1 ? 3 无解;
2

当 a ? ? 2 ? 1 时,解不等式 1 ? ? a ? 综合(i)(ii)得 a 的取值范围是 ( ? 21. 由题设 当 x>2 时,由①得 ( x ? 3) ? y ? 6 ?
2 2

a ? 2a ? 1 ? 3 得 ?
2

5 2

? a ? ?

2 ?1

5 2

,?

2 ? 1) 。
2 2

(Ⅰ)设点 P 的坐标为(x,y) ,则 d ? 4 ( x ? 3) ? y ? 3︳x-2︳

1 2

x,

化简得

x

2

?

y

2

? 1.

36

27
2 2

当 x ? 2 时 由①得 (3 ? x ) ? y ? 3 ? x , 化简得 y ? 1 2 x
2

故点 P 的轨迹 C 是椭圆 C 1 :

x

2

?

y

2

36

27

? 1 在直线 x=2 的右侧部分与抛物线 C 2 : y ? 1 2 x 在直
2

线 x=2 的左侧部分(包括它与直线 x=2 的交点)所组成的曲线,参见图 1
8

(Ⅱ)如图 2 所示,易知直线 x=2 与 C 1 , C 2 的交点都是 A(2, 2 6 ) , B(2, ? 2 6 ) ,直线 AF,BF 的斜率分别为 k A F = ? 2 6 , k B F = 2 6 . 当点 P 在 C 1 上时,由②知
PF ? 6 ? 1 2 x.



当点 P 在 C 2 上时,由③知
PF ? 3 ? x



若直线 l 的斜率 k 存在,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) (i)当 k≤ k A F ,或 k≥ k B F ,即 k≤-2 N( x , y )都在 C
2 2

6 时,直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M( x 1 , y 1 ) ,

1

上,此时由④知 ∣NF∣= 6 1 2 1 2
x
2

∣MF∣= 6 -

1 2

x1

从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= (6 -

x 1 )+ (6 -

1 2

x )=12 2

1 2

( x1 + x )
2

? y ? k ( x ? 3) ? 2 2 2 2 2 由? x2 得 (3 ? 4 k ) x ? 2 4 k x ? 3 6 k ? 1 0 8 ? 0 则 x1 , y 1 是这个方程的两根, y ? ?1 ? ? 36 27

所以 x1 + x =
2

24k

2 2

3 ? 4k

*∣MN∣=12 -

1 2

( x1 + x )=12 2

12k

2 2

3 ? 4k

因为当 k ? 2 6 , 或 k ? 2 6时 , k ? 2 4,
2

M N ? 12 ?

12k

2 2

3 ? 4k

? 12 ?

12 1 k
2

?

100 11

.

?4

当且仅当 k ? ? 2 6 时,等号成立。 (2) k E ?k ?k N 当 A A
? , 2 6? k? 2 6

时, 直线 L 与轨迹 C 的两个交点 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 )

分 别 在 C 1 , C 2 上 , 不 妨 设 点 M 在 C1 上 , 点 C 2 上 , 则 ④ ⑤ 知 ,
MF ? 6 ? 1 2 x1 , N F ? 3 ? x 2

设直线 AF 与椭圆 C 1 的另一交点为 E ( x 0 , y 0 ), 则 x 0 ? x1 , x 2 ? 2.
9

MF ? 6 ?

1 2

x1 ? 6 ?

1 2

x0 ? E F , N F ? 3 ? x2 ? 3 ? 2 ? A F

所以 M N ? M F ? N F ? E F ? A F ? A E 。而点 A,E 都在 C 1 上,且
k A E ? ? 2 6 , 有(1)知 A E ?
100 11 ,所 以 MN ? 100 11

若直线 ? 的斜率不存在,则 x1 = x 2 =3,此时
M N ? 12 ? 1 2 ( x1 ? x 2 ) ? 9 ? 100 11 100 11

综上所述,线段 MN 长度的最大值为

选考题 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (方法一)证明:连结 OD,则:OD⊥DC, 又 OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO, ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO, 所以∠DCO=300,∠ DOC=600, 所以 OC=2OD,即 OB=BC=OD=OA,所以 AB=2BC。 (方法二)证明:连结 OD、BD。 因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ADB=900,AB=2 OB 。 因为 DC 是圆 O 的切线,所以∠CDO=900。 又因为 DA=DC,所以∠DAC=∠DCA, 于是△ADB≌△CDO,从而 AB=CO。 即 2OB=OB+BC,得 OB=BC。故 AB=2BC。
? ?

23. 【解析】 (Ⅰ)把极坐标系下的点 P ? 4 ,
P ? 0, 4 ?

? ?

? 化为直角坐标,得 2 ?

因为点 P 的直角坐标 ? 0, 4 ? 满足直线 x-y+4=0,所以点 P 在直线 l 上。 (Ⅱ)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 从而点 Q 到直线 l 的距离为
3 co s ? ? sin ? ? 4 2

?

3 co s ? , sin ? ,

?

d ?

?

? ? ? 2 co s ? ? ? ? ? 4 6 ? ?
2

?

? ? ? 2 co s ? ? ? ? ? 2 2 6 ? ?

由此得,当 co s ? ? ?
?

?

? ?

? ? ? 1 时, d 取得最小值,且最小值为 6 ?

2

24. 【解析】 (Ⅰ)由 f ( x ) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 ? x ? a ? 3 ,

10

?a ? 3 ? ?1 ? ? x | ? 1 ? x ? 5? ,所以 ? a ? 3 ? 5 ,解得 a ? 2 。 又已知不等式 f ( x ) ? 3 的解集为

(Ⅱ)当 a ? 2 时, f ( x ) ? | x ? 2 | ,设 g ( x )= f ( x ) ? f ( x ? 5) ,于是
? ? 2 x ? 1, x < ? 3 ? ? 5, ? 3 ? x ? 2 ? g ( x )= |x-2|? | x ? 3 | ? 2 x ? 1, x > 2 = , 所 以 当 x< -3 时 , g ( x ) > 5; 当 - 3 ? x ? 2时 , g(x)>5 g (x )> 5 x>2

;当

时,



11


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