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高中物理竞赛(几何光学)


几何光学
§1.1 几何光学基础 §1.2 光的反射 §1.3 光的折射 §1.4、光在球面上的反射与折射 §1.5、透镜成像

§1.1

几何光学基础

1、光的直线传播:光在同一均匀介质中沿 直线传播。 2、光的独立传播:几束光在交错时互不妨 碍,仍按原来各自的方向传播。 3、光的反射定律: ①反射光线在入射光线和法线所决定平面内; ②反射光线和入射光线分居法线两侧; ③反射角等于入射角。

§1.1

几何光学基础

4、光的折射定律: ①折射光线在入射光线和法线所决定平面内; ②折射光线和入射光线分居法线两侧; ③入射角与折射角满足 ④当光由光密介质向光疏介质中传播,且入 射角大于临界角C时,将发生全面反射现象 (折射率为 的光密介质对折射率为 光疏 介质的临界角 )

§1.2 光的反射
1.组合平面镜
用几何的方法不难 证明:这三个虚像 都位于以O为圆心、 OS为半径的圆上。 用这个方法我们可 以容易地确定较复 杂的情况中复像的 个数和位置。

§1.2 光的反射
两面平面镜AO和BO 成60?角放置(图 1-2-2),用上述 规律,很容易确 定像的位置

§1.2 光的反射
双镜面反射
α=15°OA=10cm A点发出的垂直于L2的光 线射向 L1后在两镜间反 复反射,直到光线平行 于某一镜面射出,则从A 点开始到最后一次反射 点,光线所走的路程是 多少?

§1.2 光的反射
根据平面反射的对称性, BC’=BC ∠ BOA=∠ BOC’=? 上述ABC’D’均在一条直线上。 因此,光线在 L1和L2间反复反 射跟光线沿ABC’直线传播等效 设N’为第n次反射的入射点,则 n满足关系:

光线经

L1

取n=5 ∠N’OA=75°

总路程

§1.2 光的反射
2、全反射
全反射光从密度媒质1射向光疏媒质2,当入射角大于临界角 ?=sin-1n21 ,光线将发生全反射。 图1-2-5是光导纤维的示意图。 AB为其端面,纤维内芯材料的折 射率 n1=1.3,n2=1.2,试问入射角在 什么范围内才能确保光在光导纤 维内传播?

r表示光第一次折射的折射角,β表示光第二次的入射角,只要 β大于临界角,光在内外两种材料的界面上发生全反射,光即 可一直保持在纤维内芯里传播。

? ? sin n21
?1

n2 ?1 1.2 ? sin ? sin ? 67.40 n1 1.3
?1

r?

?
2

? ? ? 90o ? 67.4o ? 22.6o

sin i / sin r ? 1.3 /1
只要

sin i ? 0.50, i ? 30o 即可。

§1.2 光的反射
例1 如图1-2-6所示,AB表示一平直的平面镜,P1 P2是水平 放置的米尺(有刻度的一面朝着平面镜)MN是屏,三者 相互平行,屏MN上的ab表示一条竖直的缝(即ab之间是 透光的)。某人眼睛紧贴米尺上的小孔S(其位置如图所 示),可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。试在本题图 上用三角板作图求出可看到的部位,并在 P1 P2上把这部分 涂以标志。

§1.2 光的反射
例2两个平面镜之间的夹角为45?、60?、120?。而 物体总是放在平面镜的角等分线上。试分别求出 像的个数。

§1.2 光的反射
例3横截面为矩形的玻璃棒被弯 成如图1-2-16所示的形状,一束 平行光垂直地射入平表面A上。 试确定通过表面A进入的光全部 从表面B射出的R/d的最小值。 已知玻璃的折射为1.5。

§1.2 光的反射
分析: 如图1-2-17所示,从A外侧入射 的光线在外侧圆界面上的入射角较从A 内侧入射的光线入射角要大,最内侧的 入射光在外侧圆界面上的入射角α最小。 如果最内侧光在界面上恰好发生全反射, 并且反射光线又刚好与内侧圆相切,则 其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上, 而且在后续过程中都能够发生全反射, 并且不与内侧圆相交。因此,抓住最内 侧光线进行分析,使其满足相应条件即 可。

§1.2 光的反射
解: 当最内侧光的入射角α大于或等于反射 临界角时,入射光线可全部从B表面射出而 没有光线从其他地方透出。 即要求 : 而
所以 最后得到

§1.3 光的折射
1.3.1、多层介质折射

§1.3 光的折射
1.3.2、平面折射的视深
在水中深度为d处有一发光点Q,作OQ垂直于水面交于O点,求射出水 面折射线的延长线与OQ交点 Q’的深度 d’与入射角i的关系(水相对于空
气的折射率4/3)。 由折射定律得
令OM=x,则

上式表明,由Q发出的不同光线, 折射后的延长线不再交于同一点, 但对于那些接近法线方向的光线,

光源深度(视深)

§1.3 光的折射
1.3.3、棱镜的折射与色散
入射光线经棱镜折射后改变 了方向,出射光线与入射光 线之间的夹角称为偏向角, 由图1-3-4的几何关系知

?A ? ?

其中

§1.3 光的折射
①当 i1, α很小时,

δ =(n-1)α
②当棱镜中折射光线相对于顶角α对称成等腰三角形时,

这为棱镜的最小偏向 角δ,此式可用来测 棱镜的折射率。

§1.3 光的折射

同一种介质对不同色光有不同的折射率,各种色光的偏折 角不同,所以白光经过棱镜折射后产生色散现象。 虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现 象。阳光在水滴上经两次折射和一次反射如图1-3-6。形成 内紫外红的虹;阳光经小滴两次折射和两次反射如图1-3-7, 形成内红外紫的霓。

1.3.4、费马原理及其运用 A ? 光程:折射率 n 与路程 S 的乘积 ? 费马原理: 光从某点传播到另一点走光程取极值 的路径 光程取极小值 几何光学三定律 B

光程取恒定值
P

透镜成像
P’

? 费马原理在透镜成像中的运用 透镜成像时,物点到像点的光程取恒定值。 P

P’

平行光入射时: ? 平行光垂直面上各点A、B、 C到达焦点F’的光程相等 A B C P Q R

F’

? A、B、C分别到达P、Q、R的光程也彼此相等

例12、设曲面 S 是有曲线 CC’ 绕 X 轴旋转而成的。曲面 两侧的折射率分别为 n 和 n’,如果所有平行于X 轴的平行 光线经曲面折射后都相交于X 轴上一点 F,则曲面成为无 像差曲面,已知OF = f,求曲线所满足的方程。如果 n’ = n,结果如何? C Y 解: B A 折射定律 曲面法线方程 X O n n’ f F

CC’曲线方程。

用等光程原理求解本题更简单

C’

选取一条入射光线AB 和一条沿 X 轴的入射光线 等光程: A

Y

C

B:(x, y)
X

n ? AB ? n '? BF ? n '? OF
几何关系:

AB ? x

O

f
2

F

BF ?
OF ? f

? f ? x?

2

?y

n n’

CC’曲线方程:n '2 ? n 2 x 2 ? n '2 y 2 ? 2n ' ? n ? n ' ? fx ? 0
n’ = - n 时: y 2 ? 4 fx

?

?

C’

抛物型反射镜

椭圆方程

例2、半径为R的半圆柱形玻璃砖,横截面如图1-3-10所示。 2 O为圆心。已知玻璃的折射率为 。当光由玻璃射向空气时, 发生全反射的临界角为45°,一束与MN平面成45°的平行光 束射到玻璃砖的半圆柱面上,经玻璃折射后,有部分光能从 MN平面上射出。求能从MN平面射出的光束的宽度为多少?

解: 图1-3-11中,BO为沿半径方向 入射的光线,在O点正好发生全反 射,入射光线③在C点与球面相切, 此时入射角 i=90°折射角为r,则有

sin i ? n sin r
sin i 2 sin r ? ? n 2



r ? 45

这表示在C点折射的光线将垂直MN射出,与MN相交于E点。 MN面上OE即是出射光的宽度。

2 OE ? R sin r ? R 2

例3、给定一厚度为d的平行平板,其折射率按下式变化
n( x ) ? n0 1? x r

一束光在O点由空气垂直入射平板,并在A点以角α出射(图13-14)。求A点的折射率nA,并确定A点的位置及平板厚度。 (设 n0 ? 1.2, r ? 13cm,? ? 30 )

解: 首先考虑光的路线(图1-3-15)。对于经过一系列不同折射率的平行平 板的透射光,应用斯涅耳定律

sin ?1 n2 ? sin ? 2 n1
更简单的形式是

sin ? 2 n3 ? sin ?3 n2

n1 sin ?1 ? n2 sin ?2 ? n3 sin ?3 ?
对任意薄层都是成立的。在我们的情形里, 折射率只沿x轴变化,即

nx sin ? x ? 常数
在本题中,垂直光束从折射率为n0的点入射,即

n0 x r?x ? 1? ? nx r r 图(1-3-16)表明光束的路径是一个半径为χC=r的圆,从而有

nx ? n0 , ? x ? 90

为常数

nx sin ? x ? n0

sin ? x ?

OC ? x ? sin ? x ?C

按折射定律,当光在A点射出时,有 sin ? sin ? nA ? ? sin(90 ? ? A ) cos ? A

因为 nA sin ? A ? n0 故有
nA ? sin ? n (1 ? 0 ) 2 nA

n sin ? A ? 0 nA
n0 ? 1.2

?n ? cos ? A ? 1 ? ? 0 ? ? nA ?
2 nA ? n0 ? sin 2 ?

2

nA ? 1.3

1.2 根据 nA ? 1.3 ? x 1? 13
得出A点的x坐标为x=1cm。
2 2 2 y ? ( x ? 13) ? r 光线的轨迹方程为

代入x=1cm,得到平板厚度为y=d=5cm

例4、如图1-3-19所示,两个顶角分别为?1=60°和?2=30°的棱 镜胶合在一起 (?C=90 ° )折射率由下式给出: b2 b1 n ? ? ? n1 ? ?1 ? 2 2 2 ?2 ? 其中 ?1 ? 1.1; b1 ? 105 nm2 ?2 ? 1.3; b2 ? 5 ?104 nm2 1、确定使得从任何方向入射的光线在 经过AC面时不发生折射的波长 λ0 。确 定此情形的折射率 n1和n2 2、画出入射角相同的、波长为λ红 、 λ0、λ蓝 的三种不同光线的路径。

3、确定组合棱镜的最小偏向角。 4、计算平行于DC入射且在离开组合棱镜时仍平行于DC的光线 的波长。

解: 1、如果n1=n2则从不同方向到达AC面的波长为 λ0的光线 b b 就不折射,即 b ?b ?1 ? 12 ? ? 2 ? 22 ?0 ? 1 2 ? 500nm ?0 ?0 ? 2 ? ?1 在此情形下
n1 ? n2 ? 1.5

2、对波长比 λ0长的红光n1和n2均小于1.5。反之,对波长比 λ0短的蓝光,两个折射率均比1.5要大。现在研究折射率在 AC面上如何变化。我们已知道,对波长为λ0的光,n2/n1=1 考虑波长为λ红
n2 / n1 ? 1
n2 / n1 ? 1

对蓝光有

3、对波长为的光,组合棱镜可看作顶角为30°、折射率为 n=1.5的单一棱镜。 我们知道,最小偏向在对称折射时发生,即在图 1-3-21中的α 角相等时发生。 根据折射定律,

sin ? ? 1.5 sin15

? ? 22 50?

偏向角为 ? ? 2? ? 30 ? 15 40? 4、利用图1-3-22中的数据,可以写出
sin 30 ? n1 sin ?
sin(60 ? ? ) n2 ? sin 30 n1

消去α后得
2 3n12 ? n2 ? n2 ? 1

经变换后得

2 2 (3?12 ? ?2 ? ?2 ?1)? 4 ? (6?1b1 ? 2a2b2 ? b2 )? 2 ? 3b12 ? b2 ?0

? ? 1.18? m

§1.4、光在球面上的反射与折射
1.4.1、球面镜成像

(1)球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律,法线是球面的半径。 可以证明,球面镜焦距f等于球面半径R的一半,即

R f ? 2

(2)球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球 面镜的成像公式。下面以凹镜为例来推导:

? S A C ? ? S ?A C 根据反射定律 由为SA为近轴光线 A S ? ? S ?O
OS CS ? OS ? CS ?

A S ? SO

AS CS ? AS ? CS ?

u ? OS v ? OS '
C S ? OS ? OC ? u ? 2 f
CS ? ? OC ? OS ? ? 2 f ? ?

u u?2f ? ? 2 f ??

1 1 1 ? ? u ? f

这个公式同样适用于凸镜。使用球面镜的成像公式时要注意: 凹镜焦距f取正,凸镜焦距f取负;实物u取正,虚物u取负;实像 v为正,虚像v为负。 h? ? 成像放大率 m ? ? h u

(3)球面镜多次成像 球面镜多次成像原则:只要多次运用 球面镜成像公式即可,但有时前一个球面镜反射的光线尚 未成像便又遇上了后一个球面镜,此时就要引进虚像的概 念。
如图1-4-4所示,半径为R的凸镜和凹镜主轴相互重合放置 ,两镜顶点O1 、 O2 相距2.6R,现于主轴上距凹镜顶点O1 为0.6R处放一点光源S。设点光源的像只能直接射到凹镜 上,问S经凹镜和凸镜各反射一次后所成的像在何处?

图1-4-4

S在凹镜中成像,
u1=0.6R f1=R/2
1 1 1 ? ? u1 ?1 f1
1 1 2 ? ? 0 .6 R ? 1 R

可解得 又 O 1O 2 ? 2 . 6 R ?1 ? 3 R 根据题意:所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反射, 此时可将凹镜原来要成像 S1作为凸镜的虚物来处理 R u 2 ? ( 2 .6 R ? 3 R ) ? ? 0 .4 R f 2 ? ? 2
1 1 1 ? ? u2 ?2 f2
? 1 1 2 ? ?? 0 .4 R ? 2 R

?2 ? 2R

1.4.2、球面折射成像
(1)球面折射成像公式 (a)单介质球面折射成像
如图1-4-5所示,如果球面 左、右方的折射率分别为1 和n,S‘为S的像。 i、r均很 小(傍轴近似),所以

sin i i ? ?n sin r r



i ?? ??

代入①式可有 r ?? ??
1 n n ?1 ? ? u ? R

? ? ? ? n(? ? ? )

对近轴光线来说,α、θ、β同样很小,所以有

u? ?

x ?? x ??x ?? R ? u
f ? R ?n n ?1

v是焦距f,所以

(b)双介质球面折射成像
如图1-4-6所示,球形折射面两侧的 介质折射率分别n1和n2,C是球心, O是顶点,球面曲率半径为R,S是 物点,是像点,对于近轴光线

n1i1 ? n 2 i 2
i2 ? ? ? ?

i1 ? ? ? ?
A0 ?? u
??

A0 R n n n ?n 联立上式解得 1 ? 2 ? 2 1 u v R
当入射光为平行于主轴的平行光

A0 ?? v

u ??

式中u、υ的符号同样遵循“实正虚 负”的法则,对于R;则当球心C 在出射光的一个侧,(凸面朝向入 射光)时为正,当球心C在入射光 的一侧(凹面朝向入射光)时为负。
f2 ? n 2 ? n1 n2 R

出射光(或其反向延长线)的交点即为第二焦点(像方焦点)
n R f1 ? 1 n ?n 2 1

当出射光为平行光时,入射光(或其延长线)的交点即第一焦点(即物方焦点)

将f1和f2代入成像公式改写成

f1 f 2 ? ?1 u v
反射定律可以看成折射定律在 n2=-n1推导结果
因此,球面镜的反射成像公式可以从球面镜折射成像公式中得 到,由于反射光的行进方向逆转,像距υ和球面半径R的正负规 定应与折射时相反,在上述公式中令 n2=-n1 ? ? ? ? R ? ? R 1 1 2 ? ? u ? R 对于凹面镜 R ? 0 f 1 ? f 2 ? R 对于凸面镜

R?0

2 R f1 ? f 2 ? ? 2

C)厚透镜折射成像
设构成厚透镜材料的折射率为n, 物方介质的折射率为n1 ,像方介质 的折射率为 n2,前后两边球面的曲 率半径依次为 r1和r2;透镜的厚度 为 o o ? ? t 物距 u ? OP 对于球面AOB,物像公式为
n1 n n ? n1 ? ? u ? r1

对于球面AO’B,物像公式为
n n ?n n ? 2' ? 2 ? ?t ? r2

(2)光焦度
折射成像右端仅与介质的折射率及球面的曲率半径有关,因 而对于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量,我 们定义此量为光焦度,用φ 表示:
?? n? ? n r

它表征单折射球面对入射平行光束的屈折本领。φ 的数值越大, 平行光束折得越厉害;φ >0时,屈折是会聚性的;φ <0时,屈 折是发散性的。φ =0时,对应于 r ? ? 即为平面折射。

光焦度的单位是[米-1],或称[屈光度],将其数值乘以100,就 是通常所说的眼镜片的“度数”。

(3)镀银透镜与面镜的等效
有一薄平凸透镜,凸面曲率半径R=30cm,已知在近轴光线时:若将此透 镜的平面镀银,其作用等于一个焦距是30cm的凹面镜;若将此透镜的凸 面镀银,其作用也等同于一个凹面镜,求其等效焦距。

解: 由题意可知,平面镀银,等效 焦距f1eff和等效曲率半径R1eff f1eff ? 30cm
R1eff ? 60cm
由凹面镜的成像性质,当物点置于等效曲率 中心 时任一近轴光线经凸面折射,再经平面 反射后将沿原路返回,再经凸面折射后,光 线过C2点,物像重合。如图1-4-8所示。 h u u? h i ? i ? n i ? i ? u ? i ? n ? 1 ? i? 30 60

n ? 1 .5

凸面镀银,光路如图1-4-9所示。关键寻找等效曲率中心,通 过凸面上任一点A作一垂直于球面指向曲率中心C的光线。此 光线经平面折射后交至光轴于CB点,令CBO=r 则 i ? ni
'

h' i? R

h? i? ? r

R ? 30cm

R r ? ? 20 cm n

由光的可逆性原理知,CB是
等效凹面镜的曲率中心, f=10cm。

例1、如图1-4-10所示,一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半 径均为r,透镜的折射率为n,考察由透镜后表面反射所形成 的实像。试问物放于何处,可使反射像与物位于同一竖直平 面内(不考虑多重反射)。
解: 从物点发出的光经透镜前表面(即 左表面)反射后形成虚像,不合题意,无 须考虑。 从物点发出的光经透镜前表面折射后, 再经透镜后表面反射折回,又经前表面折 射共三次成像,最后是实像,符合题意。 利用球面折射成像公式和球面反射成像公 式,结合物与像共面的要求。就可求解。

球面反射的成像公式为:

1 1 1 ? ? u v f
其中反射面的焦距为f=R/2, (R为球面半), 对凹面镜,f取正值,对凸面镜,f取负值。
球面折射的成像公式为:
n1 n2 n2 ? n1 ? ? u v R

当入射光从顶点射向球心时,R取正值,当入射光从球心射向顶点时,R取负值。 如图1-4-11甲所示,当物点Q发出的光经透镜前表面折射后成像于Q’设物距为 u,像距为v,根据球面折射成像公式:

n1 n2 n2 ? n1 ? ? u v R

n1 ? 1 n 2 ? n

1 n n ?1 ? ? u v r

(1)

第一次成像

第二次成像(凹面镜反射) 1 1 1 2 ? ? ? u 1 v1 f2 r

1 1 2 ? ? ? v v1 r
第三次成像(球面折射)
n1 n2 n2 ? n1 ? ? u v R

(2)

R值取负值 n 1 1 ? ? (1 ? n ) u 2 v2 ?r 玻璃到空气

?

n 1 n ?1 ? ? v1 v2 r

(3)

由(1)、(2)两式可解得
1 n 3n ? 1 ? ? u v1 r
(4)

再把(4)式和(3)式相加,可得
1 1 2 ( 2 n ? 1) ? ? u v2 r
(5)

为使物点Q与像点Q’2在同一竖直平面内,这就要求

u ?? 2
代入(5)是可解得物距为

r u? 2n ? 1

例2、显微镜物镜组中常配有如图1-4-12所示的透镜,它的表 面是球面,左表面 S1的球心为 C1,半径为R1,右表面S2的球 心为 C2,半径为 R2,透镜玻璃对于空气的折射率为n,两球心 间的距离为 R2

C 1C 2 ?

n

在使用时,被观察的物位于 C1处,试证明从物射向此 透镜的光线,经透镜折射后,所有出射光线均相交于一 点Q。 且 QC 2 ? nR 2

解: 首先考虑S1面上的折射,由于物在球心处,全部入射光线无折射地通 过S1面,所以对S2来说,物点就在C1处。 再考虑到S2面上的折射。设入射光线与主轴的夹角为θ,入射点为P, 入射角为i,折射角为r,折射线的延长线与主轴的交点为Q如图1-4-13, 则由折射定律知

sin r ? n sin i

在?C1C2P中应用正弦定理得

C 1C 2 C 2 P ? sin i sin ?
C1C 2 ? R2 n

R2 / n R ? 2 sin i sin ?

sin r ? n sin i

sin ? ? n sin i ? sin r

r ??

设C2P与主轴的夹角为α,则有

? ?? ?i? r?i
θ≠0时,r<α,因此出射线与主轴相交之点Q必在透镜左方。 θ为?QC1P的外角

? ? ? ? ? Q P C 1. ? r ? ( r ? i ) ? i

在?QC2P中应用正弦定理,得
QC 2 R2 ? sin r sin ?

? ?i

sin r QC 2 ? R 2 ? nR 2 sin i

例3、有一薄透镜如图1-4-14, S1面是旋转椭球面(椭圆绕长 轴旋转而成的曲面),其焦点为 F1 和F2,S2是球面,其球 心C与 F2重合。已知此透镜放在空气中时能使从无穷远处 平行于椭球长轴的物点射来的全部入射光线(不限于傍轴 光线)会聚于一个像点上,椭圆的偏心率为e。
(1)求此透镜材料的折射 率n(要论证); (2)如果将此透镜置 于折射率为n’的介质中, 并能达到上述的同样的 要求,椭圆应满足什么 条件?

分析: 解此题的关键在于是正确地运用椭圆的几何性 质及折射定律。
光路图如图1-4-15所示:PA为入射线, AC为经椭球面折射后的折射线,BN为 A点处椭球面的法线,i为入射角,r为 折射角。根据椭圆的性质,法线BN平 分∠F1AF2,由正弦定律可得

F1 A sin i ? ?n F1 B sin r

F2 A sin i ? ?n F2 B sin r

F1 A ? F2 A 2a 1 ? ? 从而可求得 n ? F1B ? F2 B 2c e

2a为长轴的长度,2c为焦点间的距离

(2)如果透镜置于折射率为n’的介质中,则要求
sin i n 1 ? ? sin r n ? e

即椭圆的偏心率e应满足

n' e? n

1

n? ? n

§1.5、透镜成像
1.5.1、透镜成像作图
(1)三条特殊光线 ①通过光心的光线方向不变; ②平行主轴的光线,折射后过焦点; ③通过焦点的光线,折射后平行主轴。 (2)一般光线作图:对于任一光线SA,过 光心O 作轴OO’平行于SA, OO’与焦平 面 MM’交于P点,连接AP或AP的反向延 长线即为SA的折射光线 *像与物的概念:发光物体上的每个发光点 可视为一个“物点”即“物”。一个物 点上发出的光束,经一系列光学系统作 用后,若成为会聚光束,则会聚点为物 的实像点;若成为发散光束,则其反向 延长线交点为物的虚像点;若为平行光 束则不成像。

1.5.2、薄透镜成像公式
1 1 1 ? ? u ? f
式中f、u、v的正负仍遵循“实正、虚负” 的法则。若令

x?u? f
则有

x? ? ? ? f
牛顿公式

xx? ? f 2

从物点到焦点,若顺着光路则x取正,反之取负值;从像点到焦点,若 逆着光路则x’取正值,反之取负值

一个光源以v=0.2m/s的速度沿着焦距f=20cm的凸透镜向光心运 动,当它经过距光心u1=30cm和u1=15cm的两点时,求像所在的 位置及速度。 (有两种方法) 解法一
代入牛顿公式

x1 ? u1 ? f ? 10cm

x2 ? u2 ? f ? ?5cm

xx? ? f 2
? ? ?80cm x2

? ? 40cm x1

x1,x2,x’1,x’2,意义如图1-5-2所示。 设在△t时间内,点光源的位移为△x,像 点的位移为 △x’
f2 f 2 ( x ? ?x) x? ? ?x? ? ? 2 x ? ?x x ? ?x 2
当△t→0时△x→0,略去△x的二阶小量,有

f 2 f 2 ?x f 2 ?x x? ? ?x? ? ? 2 ? x? ? 2 x x x

f 2 ? ?x x? ?x? ? ? ? ?x 2 x x

?x? x? ?x x? ?? ? ? ? ? ?? ?t x ?t x

将 x1,x2,x’1,x’2的值代入 解法二 求

?1? ? 0.8m / s

f x? ? x

2

? ? 3.2m / s ?2

的时间导数,即可以得到像点瞬时速度

f2 v' ? ? 2 v x
*“实正、虚负”法则:凸透镜焦距取正值,凹透镜 焦距取负值;实像像距取正值,虚像像距取负值。 实物物距取正值,虚物物距取负值。 *实物与虚物:发散的入射光束的顶点(不问是 否有实际光束通过此顶点)是实物;会聚的入射 光束的顶点(永远没有实际光束通过该顶点)是 虚物。

1.5.3、组合透镜成像
如果由焦距分别为 f1和f2的A、B两片薄透镜构成一个透镜组(共主轴)将 一个点光源S放在主轴上距透镜u处,在透镜另一侧距透镜v处成一像 S‘(图
1-5-4)所示。

因为A、B都是薄透镜,所以互相靠拢地放在一起仍可 看成一个薄透镜。设这个组合透镜的焦距是f,则应有

1 1 1 ? ? u ? f



S’是S经A、B两个透镜依次成像的结果。如S经A 后成像S1,设 S1位于A右侧距A为处,应有

1 1 1 ? ? u ?1 f1



S1位于透镜B右侧 v1处,对B为一虚物, 所以物距为-v1,再 经B成像,所以有
1 1 1 ? ? ??1 ? f 2


由②、③可解得
1 1 1 1 ? ? ? u ? f1 f 2


比较①、④两式可知组合透镜的焦距
1 1 1 ? ? f f1 f 2

1.5.4、光学仪器的放大率
实像光学仪器的放大率(实像的长度放大率 )
m?

v u

如果有一幻灯机,当幻灯片与银幕相距2.5m时,可在银幕上得到放大率为24 的像;若想得到放大率为40的像,那么,假设幻灯片不动,镜头和银幕应分 别移动多少?

根据第一次放映可知

?u1 ? ?1 ? 2.5 ? ??1 ? m1u1 ? 24u1

?u1 ? 0.1m,?1 ? 2.4m ? u1?1 ? f ? ? 0.096m ? u1 ? ?1 ?

第二次放映

?1 1 1 ? ? ? ? u2 ?2 f ?? ? m u ? 40u ? 2 2 2 2

?u2 ? 0.0984m ? ??2 ? 3.94m

比较u1和u2 ,可知镜头缩回1.6mm;比较 v1和v2 ,可知银幕 应移远1.54m

虚像光学仪器的放大率
望远镜和显微镜是常见的虚像光学仪器。由于此类仪器得 到的是物体的虚像,目的是扩大观察的视角,因此放大率 m一般是指视角放大率。如果直接观察物体的视角为α, 用仪器观察物体的视角为β,那么

m=β/α
先看显微镜的放大率。如果有 一台显微镜,物镜焦距为 f1,目 镜焦距为 f2,镜筒长L,若最后的 像成在离目镜d处,试证明显微 镜的放大率 Ld m? f1 f 2

显微镜的光路如图1-5-5所示,AB经物镜 Ⅰ成一放大实像 A1B1物镜的长度放大率
m1 ? A1 B1 B1O1 ? AB BO1

因f1,f2相对L都较小,而且B很靠近F1.所以 B1O1 ? L 即

BO1 ? f1

m1 ? L / f1

A1B1位于目镜Ⅱ的焦点内,经目镜成一放大的虚像 A2B2.通常让 A2B2成在观察者的明视距离d上)。因为都是近轴光线,所以 此时观察者从目镜中看到A2B2的视角β 为
A2 B2 A1B1 A1B1 ? ? tan ? ? ? ? d B1O2 f2

若观察者不用显微镜,直接观看AB的视角α为

AB ? ? tan ? ? d
则显微镜的放大率m
? A1B1 d Ld m? ? ? ? ? f2 AB f1 f 2

不难看出目镜的长度放大率为 m2 ? d / f 2 所以有

m ? m1m2

下面再看天文望远镜的放大率,如果天文望远镜的物镜焦距为f1, 目镜焦距为f2,试证明天文望远镜的放大率 m ? f1 / f 2
望远镜成像光路如图1-5-6所示,远处物 体AB由物镜Ⅰ成像A1B1,然后再由目镜Ⅱ 在远处成一虚像 A2B2 (图中未画出),观 察者观察A2B2的视角即为图中的β.
? ? A1B1 / f 2
若不用望远镜,观察者直接观察距望远镜S远处的物体AB的视角,近似为 图中的α

? ? AB / S ? A1B1 / f1

因此望远镜的放大率m为

m?

f f ? A1B1 ? ? 1 ? 1 ? f2 A1B1 f 2

1.5.5、常见的光学仪器
投影仪器

电影机、幻灯机、印相放大机以及绘图用的投影仪等
它的主要部分是一个会聚的投 影镜头,将画片成放大的实像 于屏幕上,如图1-5-7。由于 物距u略大于焦距f,画片总在 物方焦平面附近,像距υ?f

m ?? / f

眼睛
眼睛是一个相当复杂的天然光学仪器。从结构上看,类似于照像机
网膜-- ----感光底片 虹膜------ 可变光阑,它中间的圆孔称为瞳孔 晶状体是一个折射率不均匀的透镜

眼睛是一个物、像方介质折射率不等的 例子。聚焦光无穷远时,物焦距 f=17.1mm,像方焦距f=22.8。眼睛是通 过改变晶状体的曲率(焦距)来调节聚 焦的距离。 眼睛肌肉完全松弛和最紧张时所能清楚看到的点,分别称为它调节范围的远 点和近点。(近视,远视,散光)

, 视角、视角放大

物体的两端对人眼光心所张的角度叫做视角,视角的大小跟物体的尺寸及 物体到人眼的距离有关。当两物点(或同一物体上的两点)对人眼视角不 小I’(约2.9 ×10-4)才能被人眼区分。 在看小物体时,为了增大视角就要缩短物眼间距离,但当其小于人眼近点 距离时,视网膜上所成的像反而模糊不清。为此,必须使用光学仪器来增 大视角。 图1-5-11是人眼(E)通过放大 镜观察物体AB的像A’B’。当人眼 靠近光心时视角。
? ? ? ?A?OB? ?
A?B? AB ? B?O BO

若物体很靠近焦点,且 A?B? AB ? ? ? ? 成像于明视距离,则: B?O ? 25cm BO ? f ? BO f 若不用放大镜将物体置于明视距离,如图1-5-12,BE=25cm,则视角: AB AB ? ? ?AEB ?
25cm

用β表示视角放大率,即有

??

?' 25cm f ? ? AB ? f
25cm

显微镜
图1-5-13是显微镜成像原理图。被观察物体AB置于物 镜 L1焦点外很靠近焦点处(u1=f1),成放大实像A’B’于 目镜L2焦点内靠近焦点处(u2=f2).眼睛靠近目镜 L2的光 心可观察到位于明视距离的虚像 A’’B’’. A?B? AB ?1?? f L 显微镜的物镜视角放大率 ?? ? L ? 1 ? AB f1 ?1 AB L L A?B? A??B?? ?? 25 ? f 2 ? 25cm 目镜放大率: ? ? ?2 ? 2 A?B? ?2 A?B? f2 25 25cm 显微镜的视角放大率:
? ? ?1 ? ? 2 ?
25L f1 ? f 2

式中L是镜筒长度。由于 f2 <<L,因此在计算放大率时用L代表物镜像距。物镜 焦距 f2很小多为mm数量级;目镜焦距稍长,但一般也在2cm以内。

望远镜
望远镜用于观察大而远的物体,如图1-5-14,图1-5-15分别表 示开普勒望远镜和伽利略望远镜的光路图。 由图中看出伽利略望远镜观 察到的像是正立的,可用于 观察地面物体,而开普勒望 远镜观察到的像是倒立的, 只适合作为天文望远镜。从 图中的几何关系还可看出两 种望远镜的视角放大率均为


f1 ?? f2

还有一类望远镜的物镜是凹面镜,称为反射式望远镜。大型的天文望远镜都是 反射式望远镜。

例1、如图1-5-16。AB为一线状物体,为此物经透镜所成的像 。试用作图法确定此镜的位置和焦距,写出作图步骤。 分析:像 A1B1是倒像,所以透镜 应是凸透镜。物AB和像不平行 ,所以物相对于透镜的主轴是斜 放的,沿物体AB和其像 A1B1所 引出的延长线的交点必在过光心 且垂直于主轴的平面上,这条特 殊光线是解答本题的关键光线。

例2、如图1-5-18,MN是凸透镜主光轴,O为光心,F为焦点 ,图中所画两条光线为点光源S经凸透镜折射的两条光线 。用作图法确定光源S与像点的位置。

分析: 经凸透镜折射后的两条出射光线它们看上去是由像点发出来的,所以 两条出射光线的反向延长线的交点就是像点S’的所在位置。由于物点发出的 过光心的光线不改变方向,由此可以确定物点S落在SO’直线上,S’与凸透 镜右焦点F的连线交凸透镜于P点,由于物点发出的平行于主光轴的光线经 凸透镜折射后过F焦点,所以过P点作与主光轴MN的平行线与S’O相交处就 是物点S所在位置。如图1-5-19所示。

例3、在斯涅耳的档案中有一张光学图(见1-5-20),由于墨水褪色只留 下三个点;一个薄透镜的焦点F,光源S和透镜上的一点L。此外还留 下一部分从光源S画到其像S’的直线a。且知道S’点比S更靠近透镜,有 可能恢复这张图吗?如果可能,把它画出来,并确定图中透镜的焦距 。

解: 1、令O为透镜的光学中心; 2、F和O点应位于垂直于透镜的光轴上,因此 ∠FOL是直角; 3、连接光源及其像的直线总是通过透镜的光学中心; 4、连接F,L点并以线段FL的中点C为圆心,画一通过F及L点的圆; 5、由于一个圆的直径所对着的圆周角总是直角,可以判定O点位于圆和 直线a的交点上; 6、从圆中找到O点的两个可能的位置(O1和O2) 7、由于光源S比S’更远离靠近透镜,所以O1 合题意

例4、焦距均为f的二凸透镜L1、L2与两个圆形平面反射镜M1、M2放置 如图1-5-22。二透镜共轴,透镜的主轴与二平面镜垂直,并通过二 平面镜的中心,四镜的直径相同,在主轴上有一点光源O。

1、画出由光源向右的一条光线OA(如图1-5-22所示)在此光学系统 中的光路。 2、分别说出由光源向右发出的光线和向左发出的光线各在哪些位置 (O点除外)形成光源O的能看到的像,哪些是实像?哪些是虚像。 3、现在用不透明板把L1和L2的下半部(包括透镜中心)都遮住,说出 这些像有什么变化。

解:1、光线OA的第一次往返光路如图1-5-23所示。当光线由图中左方返 回经O点后,将继续向右下方进行,作第二次往返。第二次往返的光 路在图中未画出,可按图中光路对称于主轴画出。以后,光线重复以 上两种往返光路。

2、向右发出的光线:F’2处成实像,右方无限远处成虚像;右方无限远处成 虚像;F1处成实像;P(M1左方f/2处主轴上)处成虚像。 向左发出的光线:F1处成实像;左方无限远处成虚像;F’2处成实像;Q (M2右方f/2处主轴上)处成虚像。 3、向右发出的光线只在F’2处成实像。向左发出的光线只在F1处成实像。两 像均比未遮住时暗。

例5、一平凸透镜焦距为f,其平面上镀了银,现在其凸面一侧 距它2f处,垂直于主轴放置一高为H的物,其下端在透镜 的主轴上(图1-5-24)。
(1)用作图法画出物经镀银透镜所成的像,并标明该像是 虚、是实。 (2)用计算法求出此像的位置和大小。

分析: 这道题实质是一个凸透镜与一紧密接合的平面镜的组 合成像问题。虽然我们画不出光线经透镜折射后射向平面 镜的光路,但光路仍然遵守凸透镜与平面镜成像规律,这 是我们在具体分析光路时必须牢牢抓住的一点。成像的计 算也是遵守凸透镜与平面镜的成像计算方法的。
解: (1)用作图法求

(2)按陆续成像计算物AP经LM组合所成像的位置、大小。
①物AP经透镜L成的像为第一像,由公式

u1 ? 2 f

?1 ? 2 f

H? ? H

②第一像作为物经反射镜M成的像为第二像。第一像在反射镜M后2f处,对 M来说是虚物,成实像于M前2f处。像的大小也与原物相同, H ?? ? H ? ? H ③第二像作为物,再经透镜L而成的像为第三像。且物(第二像)位于L 左方,故为虚物。取物距

1 1 1 ? ? 由透镜公式 u3 ?3 f
像的大小

u3 ? ?2 f

2 ?3 ? f 3
H ??? ? 1 1 H ?? ? H 3 3

H ??? ?3 1 ? ? ?? H u3 3

例6、如图1-5-26所示,凸透镜焦距f=15cm,OC=25cm,以C为圆心 、r=5cm为半径的发光圆环与主轴共面。试求出该圆环通过透镜 折射后所成的像。
解:如图1-5-27所示,以O点为直角 坐标系原点建立坐标系xOy 。 考虑发光圆环上任一点P(x,y),则有
① ( x ? 25)2 ? y2 ? 52 发光点P(x,y)的像为P’(x’,y’)

,根据透镜成像公式及放大率关系可 有 1 1 1 ? ? ② x x? f
y? x? ? y x

联立②、③式解得 x ?

15 x? x? ? 15





y?

15 y ? x? ? 15



将④、⑤式代入①式中并整理得

( x? ? 45)2 y ?2 ? ?1 2 2 15 (5 3)

例7、照相机镜头L前2.28m处的物体被清晰地成像在镜头后面12.0cm处的最 相胶片P上,两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之间,与光轴垂直,位 置如图1-3-29所示。设照相机镜头可看作一个简单薄凸透镜,光线为近轴 光线。 1、求插入玻璃板后,像的新位置。 2、如果保持镜头、玻璃板、胶片三者间距离不变,若要求物体仍然清晰地 成像于胶片上,则物体应放在何处?

解: 解法1 1、折射率为n,厚度为d 两面平行的玻璃板 ,对于会聚在像点P’的傍轴光束的折射作用 可如下方法求出:如图1-3-30.
DFP’P’’为平行四边形,则

P?P?? ? DF ? b / tan ? ? b / tan i
平行板厚度

d ? b / tan ?

P?P?? ? d (1 ? tan ? / tan i)

P?P?? ? d (1 ? tan ? / tan i)
因为i与r都很小,所以

tan ? / tan i ? sin ? / sin i ? 1/ n

1? ? P?P?? ? d ?1 ? ? ? n?
以上结果对任何会聚于 P’点的傍轴光线均成立。在这种情形下,平行玻璃 板的作用是使像点向远离平板方向移动距离 P’P’’.由题给数据得

P?P?? ? 0.9 ? (1 ?1/1.5) ? 0.3(cm)
故像成在镜头后面12.0+0.3=12.3(cm)处。
2、设照像机镜头焦距为f, 不放玻璃板时有 1/228+1/12=1/f f=11.4cm

插入玻璃板时,若要像仍成在离镜头12cm处的胶片上,应改变物距使 不放玻璃板时成像在镜头后面v处,即 v=12.0-0.3=11.7(cm)。 设这时物距为u,则

1/u+1/11.7=1/11.4

u≈4.45m。

例8、有两个焦距分别为f1和f2的凸透镜。如果把这两个透镜做适 当的配置,则可使一垂直于光轴的小物体在原位置成一等大、 倒立的像,如图1-5-33所示。试求出满足上述要求的配置方案 中各透镜的位置。

解: 设光线由左向右,先后经过两个凸透镜而成像于题目所要求的位置。 反回去考虑,光线经过第2个透镜后将继续向右传播,所以最后成的像 必为虚像才能满足题设要求。光线系统的配置如图1-5-28所示。

根据图上标明的两透镜位置 和物距、像距,有
1 1 1 ? ? u ? f1


因最后像为虚像,则
1 1 1 ? ? d ?? d ? u f2



又因物、像大小相等,则

u

ud 由③得 ? ? 2u ? d

? d ? 2 f1 f 2 ? 代入①②并经过化简可得 ? ? 2 f1 f 2 u ? ? f 2 ? f1 ? ?

?

?

u?d d ??

③ (三角形相似)

因题图中要求 u>0,故必须 f2 >f1

例9、焦距为20cm的薄凸透镜和焦距为18cm的薄凹透镜,应如何放 置,才能使平行光通过组合透镜后成为 1、平行光束;2、会聚光束;3、发散光束;(所有可能的情况均绘 图表示)。
解: 设凸透镜主焦点为F1,F’1,凹透镜主焦点为F2,F’2. 1、平行光束

(1)凸透镜在前时,d=2cm,d为 两透镜间距离(见图1-5-34)。 (2)凹透镜在前时,d=2cm,根 据光路可逆性原理,这相当于把前 面的系统反过来。

2、会聚光束。 (1)凸透镜在前时,20cm>d>2cm(图1-5-35)。 (2)凹透镜在前时d>2cm(图1-5-36)。

..

3、发散光束
(1)凸透镜在前时,d>2cm(图1-5-37) (2)凸透镜在前时,20cm>d>2cm(图1-5-38) 凹透镜在前时,20cm>d>2cm(图1-5-39)


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