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关于新旧教材中“数学归纳法”编写的比较研究

关于新旧教材中“数学归纳法”编写的比较研究 合情推理和演绎推理是两种基本的逻辑推理, 而数学归纳法充分体现了合情 推理与演绎推理的基本思想. 由于它对帮助学生体会证明的功能和特点,养成言 之有理、 论证有据的思维习惯具有非常重要的作用,所以不论是全日制普通高级 中学教科书《数学》 (以下简称旧教材) ,还是普通高中课程标准实验教科书《数 学(A) 》 (以下简称新教材)都把它列为学生必须选修的重要内容之一.由于新 旧教材在处理数学归纳法这一内容时出发点不同,因而方法也不同,为帮助教师 更好地分析教材、 理解教材和创造性地使用教材,促使教师的课堂教学较好地体 现课程理念和达成课程目标,本文将对其进行如下比较分析. 一、教材内容安排的比较分析 旧教材把数学归纳法作为“极限”中的一个小节,新教材则把它作为“推理与 证明”中的一个小节.尽管由于数学归纳法中蕴涵有无限的思想,但它是一种数 学证明方法,与极限几乎毫无关系,所以新教材在“推理与证明”中首先让学生学 习“合情推理与演绎证明”,然后让学生学习“直接证明与间接证明”,最后才让学 生学习“数学归纳法”.这种安排注重了知识的逻辑关系,体现了数学归纳法是一 种数学证明方法的基本属性. 因此,在数学归纳法内容的安排上,新教材比旧 教材处理得更恰当,更符合知识的特点和《课标》中“注重联系,提高对数学整 体认识”的教学建议. 二、教材编写特点的比较分析 由于数学归纳法是数学家对与正整数有关的数学问题求解方法的研究, 并由 一代又一代数学家经过长期的实践、 探索之后总结提炼出来的一种特殊的数学方 法,所以《课标》要求“数学方法教学应该返璞归真,注重方法的提炼过程,使 学生获取的方法成为在教师引导下的‘再创造’过程,提高学生的探索能力、创 造能力和创新意识.”那么,教材是否真正达成了《课标》的这一要求呢?下面 笔者就这个问题做简要剖析. 1. 新教材的编写特点 新教材首先以“数列{an} ,其中 a1=1,an+1=an/(1+an)(n=1,2,3…)” 的通项公式的推导为问题情境, 引导学生对通项公式获得的过程进行分析,发现 这种用不完全归纳法所得的结论不一定正确,从而提出本节课将要研究的问题 “寻求一种证明与正整数有关的数学命题的方法”.问题的提出自然、合情合理, 学生学习的任务清楚、目标明确.在这个过程中,既关注了学生已有知识经验, 又注重了知识的前后联系, 符合学生的认知特点;问题情境的创设注意了知识背 景,体现了《课标》中“数学教学设计要讲背景”的课程理念. 然后教材从学生 解决问题的常规思维习惯出发, 提出了一种逐个验证的自然想法,引导学生对这 种方法进行分析与讨论,发现它存在缺陷. 在此基础上,进一步引导和启发学 生发现解决猜想是否正确的关键是“如何将这种无限的推理过程转化为有限的推 理”,使得“寻求一种方法:通过有限步骤的推理,证明取所有正整数都成立 ”想 法的出现顺理成章, 为后面的研究明确了方向.这种编写方式符合学生的认知特 点和规律.在这个过程中,既培养了学生的分析问题和解决问题的能力,又注重 了有限与无限、 转化等数学思想方法的渗透,学生的数学地研究问题的能力得到 潜移默化的培养. 最后,教材从生活实例出发,引导学生对“多米诺骨牌游戏” 进行分析, 寻求其中蕴涵的规律,并采用类比的方法将其规律运用于数学问题的 求解过程中, 从而抽象概括出数学归纳法. 这种处理方式关注了学生的生活经验, 符合教学的直观性原则, 降低了学生思维的难度,学生易于直观理解数学归纳法 的实质. 2. 旧教材的编写特点 教材首先展示等差数列通项公式的推导过程.我们知道,“等差数列的通项 公式及其推导方法”的内容,教材是放在第一册(上)的,也就是说,这个知识 是学生的已有知识经验. 学生在学习这个知识时,教材一方面只求学生会用不完 全归纳法推导公式, 承认公式是正确的并会运用即可;另一方面对这种推导方法 是否就是公式的一种证明方法?如果不是, 公式的正确性又应该如何证明?教材 采取了一种回避的态度. 而数列的通项公式是一个与正整数有关的问题,数学归 纳法就是证明这种与正整数有关的命题的正确性的一种特殊方法. 由此可见, 教材首先向学生展示等差数列的通项公式及其推导过程的意图: 一是要求教师在 教学时要关注学生的已有知识经验, 注重知识的前后联系, 完善学生的知识结构, 提高学生对数学的整体认识;二是结合数列 an=(n2-5n+5)2 通项公式的讨论, 让学生明确以往经常使用的不完全归纳法只能帮助我们从具体事例中发现一般 规律,由它所得的结论不一定正确,其正确性必须用其他方法加以证明. 它只 是一种推理方法,而不是一种证明方法.使得问题“那么,怎样判断用归纳方法 得到的某些与正整数有关的数学命题的真假呢?”的提出自然, 合情合理. 此外, 如果我们仔细分析很容易发现, 数学归纳法的原理就蕴涵在等差数列通公式的推 导过程之中.因此,教材这样处理还有另一个意图,也是最为重要的意图,那就 是要求教师在教学时要引导学生对等差数列通公式的推导过程进行分析与研究, 从中提炼并总结出数学归纳法. 而教材的这一意图往往被教师们忽略,常常另辟 蹊径,结果是得不偿失.最后采用旁白的方式呈现多米诺骨牌现象.从教材中旁 白的表述方式可以看出, 教材安排旁白的意图是要求教师在教学时,应首先让学 生认识数学归纳法,然后再引导学生联系 “多米诺骨牌”的玩法来认识数学归纳 法, 直观地理解数学归纳法原理的本质,从而理解为什么一个与正整数有关的命 题只要用数学归纳法证明之后必定是正确的道理. 总之, 教材的这种编写方式既关注学生的已有知识经验,又注重知识产生的 背景,即从学生已有知识经验出发,逐步提炼总结出方法,让学生经历方法的形 成与获取过程,同时也正确地处理了数学与生活的关系. 3. 两种数学观的比较分析 根据以上分析不难看出,尽管两种教材都关注“数学与生活的联系”,但视角 不同.新教材从“多米诺骨牌”的

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