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高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列:第3节 由递推公式求通项

第 3 节 由递推公式推通项公式 【基础知识】 如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an ?1 (n ? 2) (或前几项) 间的关系可用一个公式 an ? f (an ?1 ) 来表示,那么这个公式叫数列的递推公式. 【规律技巧】 递推公式推导通项公式方法: (1)累加法: an ?1 ? an ? f (n) (2)累乘法:

an ?1 ? f ( n) an

(3)待定系数法: an ?1 ? pan ? q (其中 p, q 均为常数, ( pq ( p ? 1) ? 0) ) 解法:把原递推公式转化为: a n ?1 ? t ? p (a n ? t ) ,其中 t ? 比数列求解. (4)待定系数法: a n ?1 ? pa n ? q n (其中 p, q 均为常数,( pq ( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ). (或

q ,再利用换元法转化为等 1? p

an ?1 ? pan ? rq n ,其中 p, q, r 均为常数).
解法:在原递推公式两边同除以 q
n ?1

,得:

a an ?1 p an 1 ,得: ? ? n ? , 令 bn ? n n ?1 q q q q qn

bn ?1 ?

p 1 bn ? ,再按第(3)种情况求解. q q

(5)待定系数法: a n ?1 ? pa n ? an ? b ( p ? 1 , 0,a ? 0) 解法:一般利用待定系数法构造等比数列,即令 a n ?1 ? x(n ? 1) ? y ? p (a n ? xn ? y ) ,与已 知递推式比较,解出 x, y ,从而转化为 ?a n ? xn ? y?是公比为 p 的等比数列. (6)待定系数法: an ?1 ? pan ? an 2 ? bn ? c ( p ? 0,1, a ? 0) 解 法 : 一 般 利 用 待 定 系 数 法 构 造 等 比 数 列 , 即 令

an ?1 ? x(n ? 1) 2 ? y (n ? 1) ? z ? p (an ? xn 2 ? yn ? z ) ,与已知递推式比较,解出 x, y ,从而
转化为 an ? xn 2 ? yn ? z 是公比为 p 的等比数列.

?

?

(7)待定系数法: a n ? 2 ? pa n ?1 ? qa n (其中 p, q 均为常数). 解法:先把原递推公式转化为 a n ? 2 ? sa n ?1 ? t (a n ?1 ? sa n ) 其中 s, t 满足 ? (4)种情况求解. (8)取倒数法: an ?1 ?

?s ? t ? p ,再按第 ? st ? ?q

g (n)an f (n)an ? t (n)

解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 a n ?1 ? pa n ? q ,按第(3)种情况求 解. ( g (n)an ? t (n)an ?1 ? f (n)an an ?1 ? 0 ,解法:等式两边同时除以 an ? an ?1 后换元转化为

a n ?1 ? pa n ? q ,按第(3)种情况求解.).
r (9)取对数 a n ?1 ? pa n ( p ? 0, a n ? 0)

解法: 这种类型一般是等式两边取以 p 为底的对数, 后转化为 an ?1 ? pan ? q , 按第 (3) 种情况求解.

【典例讲解】 【例 1】 在数列{an}中, (1)若 a1=2,an+1=an+n+1,则通项 an=________; n+2 (2)若 a1=1,Sn= a ,则通项 an=________. 3 n n(n+1) 【答案】(1) +1 2 n(n+1) (2) 2

规律方法 已知递推关系式求通项, 一般用代数的变形技巧整理变形, 然后采用累加法、 累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式. 【变式探究】 (1)在数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,则它的一个通项公式为 an= ________.
2 2 (2)设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)an an=0(n=1,2,3,…),则 +1-nan+an+1·

它的通项公式 an=________. 【答案】(1)2× 3n 1-1


1 (2) n

【针对训练】

1、已知数列 ?a n ? 满足 a1 =1, an ?1 = 2an ? 1 ( n ? N ? ),则数列 ?a n ? 的通项公式

an ?

.
n

【答案】 an = 2 ? 1 . 2、已知数列 ?a n ? 满足 a n ? 【答案】 an ?

a n ?1 , a1 ? 1, 则数列 ?a n ? 的通项公式 an ? 3a n ?1 ? 1

.

1 3n ? 2

【解析】取倒数

1 3a n ?1 ? 1 1 ? ? 3? an a n ?1 a n ?1

∴?

?1? 1 1 1 . ? 是等差数列, ? ? 3 ? n ? 1? ? 1 ? 3n ? 3 ? 3n ? 2 ,所以 an ? 3n ? 2 an a1 ? an ?
.

3、已知数列 ?a n ? 满足 an ?1 ? 2an ? 3 ? 5n ,a1 ? 6 ,则数列 ?a n ? 的通项公式 an ? 【答案】 an ? 2n ?1 ? 5n 【解析】设 an ?1 ? x ? 5n ?1 ? 2(an ? x ? 5n ) ①

综合点评:这些题都是由递推公式推导通项公式,由 a1 和递推关系求通项公式,可观察其 特点,一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法” 、“构造等比数列” 、“迭代”等方法. 4、已知 f ( x) ?

x , x ? 0 ,若 f1 ( x) ? f ( x), f n ?1 ( x) ? f ( f n ( x)), n ? N ? ,则 f 2014 ( x) 的 1? x

表达式为________. 【答案】

x 1 ? 2014 x

5 、 数 列 ?an ? 满 足 an ?1 ? 3an , n ? N * , 且 前 3 项 之 和 等 于 13 , 则 该 数 列 的 通 项 公 式

an ?
【答案】 3n ?1



【练习巩固】 1.数列{an}中,a1=1,对于所有的 n≥2,n∈N*,都有 a1· a2· a3·…·an=n2,则 a3+a5= ________.

【解析】由题意知:a1· a2· a3·…·an-1=(n-1)2, n 2 3?2 ?5?2 61 ∴an=?n-1? (n≥2),∴a3+a5=? ?2? +?4? =16. ? ? 61 【答案】 16 2.数列{an}中,已知 a1=1,a2=2,an+1=an+an+2(n∈N*),则 a7=________. 【解析】由已知 an+1=an+an+2,a1=1,a2=2, 能够计算出 a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1. 【答案】1
2 3、设 a1=1,an+1= an -2an+2+b(n∈N*).

若 b=1,求 a2,a3 及数列{an}的通项公式. 【解析】a2=2,a3= 2+1. 再由题设条件知 (an+1-1)2=(an-1)2+1. 从而{(an-1)2}是首项为 0,公差为 1 的等差数列, 故(an-1)2=n-1,即 an= n-1+1(n∈N*). 4.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1? ? (1)证明?an+2?是等比数列,并求{an}的通项公式;
? ?

1 1 1 3 (2)证明 + +…+ < . a1 a2 an 2 5、在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 1 ? 【答案】

(?1) n (n ? 2) ,则 a5 =____________. an ?1

2 3


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