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等差数列性质经典题


等差数列的性质 例 1.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , s2m?1 ? 38 ,则 m ? (
2

)

A 38

B 20

C 10

D 9 ,列方程解题 , 又 s2m?1 ? 38 , a ? 0 或者 am ? 2 , , 得 m ,
1 ? ? 2m ? 1? am ? ? 2m ? 1??2 ? 38

分析:根据等差中项的性质 am?1 ? am?1 ? 2am 解: 由得 am?1 ? am?1 ? am ? 0
2



am?1 ? am?1 ? 2am



am ? 2



S2 m?1 ?

? 2m ? 1?? a1 ? a m? ? ? ? 2m ? 1? 2a2m
2 2

? m ? 10
总结:找到 S2 m?1 和 am 的关系是解题的关键 例 2.若 a1 ? a9 ? a12 ? a20 ? 20 ,则 S20 ;

分析:利用等差数列的下标和公式: ap ? aq ? am ? an ? p ? q ? m ? n ? 解:由

a1 ? a9 ? a12 ? a20 ? 2 ? a1 ? a20 ? ? 20 ,所以 a1 ? a20 ? 10 。
20 ? a1 ? a20 ? 2 ? 10 ? a1 ? a20 ? ? 100

S20 ?

总结:等差数列的求和公式有两个: 公式去解题。

Sn ?

n ? a1 ? an ? 2



Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? 2

d

,要选择合适的

例 3.等差数列 ?an ? 、 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn 、 Tn .若 分析:将项的比值转化为前 n 和的比值;

Sn a 7n ? 1 ? n? N? ? 求 7 ; ? Tn 4n ? 27 b7

1 a7 a1 ? a13 2 ? a1 ? a13 ? 解: ? ? ? b7 b1 ? b13 1 b ? b ? 1 13 ? 2

n ? a1 ? a13 ? S 7? 13 ? 1 92 2 ? 13 ? ? n T 4 ? 13 ? 27 79 13 ? b1 ? b13 ? 2


总 结 : 要 注 意 用 的 差 数 列 的 等 差 中 项 的 性 质 以 及 an

Sn

之间的转换



n ? a1 ? a2n?1 ? S 1 an ? ? a1 ? a2 n?1 ? ? 2 ? n 2 n n

例 4. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项之和记为 Sn , 则 S40 等于 S10 ? 10,S30 ? 70 ,



分析: Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项之和,则有 Sm, S2m, ? Sm, S3m, ? S2m, 也是等差数列; 解:设 S20 ? x ,则 S10, S20, ? S10, S30, ? S20, 也是等差数列;

? 2 ? S20 ? S10 ? ? S10 ? ? S30 ? S20 ? ? 2 ? x ?10? ? 10 ? ? 70 ? x ? ?x?

100 100 S 20 ? 3 也即是 3

? 2 ? S30 ? S20 ? ? ? S20 ? S10 ? ? ? S40 ? S30 ? ? S40 ? 120

2 10 ? 9 ? ? a ? 10 a ? d ? 10 1 1 ? ? ? ? 5 2 ?? 法二:由题意: ? 30 ? 29 2 ?30a ? d ? 70 ?d ? 1 ? ? ? 2 15 ?
代入得 S40 ? 40a1 ?

40 ? 39 d ? 120 。 2

总结:题目有时候不一定只有一种情况,要注意思考其他的解题思路

例 5 已知数列 ?an ? 为等差数列,若 的 n 的最大值为多少? 分析:要估计数列 ?an ? 负。

a11 ? ?1 ,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn ? 0 a10

从哪一项开始正负变化了。然后用

an

去表示

Sn

,从而推知

Sn

的正

解:由前 n 项和 Sn 有最大值可知 a1 ? 0, d ? 0

a11 ? ?1 ,所以 a10 ? 0, a11 ? 0 ,且 ,又因为 a 10

a10 ? a11 , a11 ? a10 ? 0

S19 ?

19 ? a1 ? a19 ? 19 ? 2a10 ? ? 19a10 ? 0 2 2 20 ? a1 ? a20 ? 20 ? a10 ? a11 ? ? ? 10 ? a10 ? a11 ? ? 0 2 2

S20 ?

所以使得 Sn>0 的 n 的最大值 n ? 19 , 故答案为 19. 总结:要结合等差数列的等差中项性质和下标和公式去解题。

例 6.设等差数列前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? 12,S12 > 0,S13< 0, (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1,S2,S3, ?,S12 中哪一个值最大,并说明理由。 分析:由 S12 > 0,S13< 0 列出有关于 a1 和 d 的不等式去解题 解: (1) a3 ? 12 ? a1 ? 2d ? 12 ? a1 ? 12 ? 2d ,

12 ?11 d ? 12 ?12 ? 2d ? ? 66d ? 0 2 13 ?12 S13 ? 13a1 ? d ? 13 ?12 ? 2d ? ? 78d ? 0 , 2 24 ? d ? ?3 ; 求出 ? 7 S12 ? 12a1 ?
(2) S13 ?

13 ? a1 ? a13 ? 13 ? 2a7 ? ? 13a7 ? 0 ? a7 ? 0 2 2

S12 ?

12 ? a1 ? a12 ? 12 ? a6 ? a7 ? ? ? 6 ? a6 ? a7 ? ? 0 ? a6 ? a7 ? 0 ,又因为 a7 ? 0 2 2

所以 a6 ? 0 , a7 ? 0 所以 S6 最大。

总结:解不等式的时候要注意不等式不可以相减,不等式只具有同向可加性

配套练习:

1.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a9 ? 10 ,则 a5 的值为 (A) 5 (B) 6 [ (C) 8 (D) 10

2. 如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a42 ? ....a7 ?

(A) 14

(B) 21

(C) 28

(D) 35
An 7n ? 45 a ,则使得 n 为整数的正整数 ? Bn n?3 bn

3. 已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且

n 的个数是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? A. 63 B. 45 C. 36 D. 27

5.若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 .a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是 A. 4005 B. 4006 C. 4007 D. 4008 项

6. 在等差数列 ?an ? 中,Sn 为前 n 项和: 若已知首项 a1 ? 13 , 且 S3 ? S 则此数列前 1 1 , 的和最大

7


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