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人教A版数学必修五 (2.3.2 《等差数列的前n项和》(二))示范教案

2.3.2 等差数列的前 n 项和(二)? 从容说课 “等差数列的前 n 项和”第二节课的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通 项公式和前 n 项和公式, 进一步去了解等差数列的一些性质, 并会用它们解决一些相关问题; 学会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最值,学会其常用的数学方法和体 现出的数学思想.从而提高学生分析问题、 解决问题的能力.通过本节课的教学使学生对等差 数列的前 n 项和公式的认识更为深刻.? 通过本节例题的教学,使学生能活用求和公式解题,并进一步感受到数列与函数、数列 与不等式等方面的联系, 促进学生对本节内容认知结构的形成, 通过探究一些特殊数学求和 问题的思路和方法,体会数学思想方法的运用.? 在本节教学中,应让学生融入问题情境中,经历知识的形成和发展,通过观察、操作、 探索、交流、反思,来认识和理解等差数列的求和内容,学会学习并能积极地发展自己的能 力.? 教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式.? 教学难点 灵活应用求和公式解决问题.? 教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等?? 三维目标 一、知识与技能? 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式;? 2.了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题;? 3.会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最值.?? 二、过程与方法? 1.经历公式应用的过程,形成认识问题、解决问题的一般思路和方法;? 2.学会其常用的数学方法和体现出的数学思想,促进学生的思维水平的发展.?? 三、情感态度与价值观? 通过有关内容在实际生活中的应用, 使学生再一次感受数学源于生活, 又服务于生活的 实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.?? 教学过程 导入新课 师 首先回忆一下上一节课所学主要内容.? 生 我们上一节课学习了等差数列的前 n 项和的两个公式:? (1) S n ? n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d ;(2) S n ? na1 ? .? 2 2 师 对, 我们上一节课学习了等差数列的前 n 项和的公式, 了解等差数列的一些性质.学会了 求和问题的一些方法, 本节课我们继续围绕等差数列的前 n 项和的公式的内容来进一步学习 与探究.?? 推进新课? [合作探究]? 师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前 n 项和的公式的函数表示,请同学们将 求和公式写成关于 n 的函数形式.? 生 我 将 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 的 公 式 S n ? na1 ? n(n ? 1)d 整理、变形得到: 2 Sn ? d 2 d n ? (a1 ? ) n.(*)? 2 2 师 很好!我们能否说(*)式是关于 n 的二次函数呢?? 生 1 能,(*)式就是关于 n 的二次函数.? 生 2 不能,(*)式不一定是关于 n 的二次函数.? 师 为什么?? 生 2 若等差数列的公差为 0,即 d=0 时,(*)式实际是关于 n 的一次函数!只有当 d≠0 时, (*)式才是关于 n 的二次函数.? 师 说得很好!等差数列{an}的前 n 项和的公式可以是关于 n 的一次函数或二次函数.我来问 一下:这函数有什么特征?? 生 它一定不含常数项,即常数项为 0.? 生 它的二次项系数是公差的一半.? ??? 师 对的,等差数列{an}的前 n 项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问:若一数列的前 n 项和为 n 的一次函数或二次函数,则这数列一定是等差数列吗?? 生 不一定,还要求不含常数项才能确保是等差数列.? 师 说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗?? 生 当 d=0 时,(*)式是关于 n 的一次函数,所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列, 当 d≠0 时,(*)式是 n 的二次函数,它的图象是在二次函数 y ? 的一群孤立的点.这些点的坐标为(n,Sn)(n=1,2,3,?).? 师 说得很精辟.? [例题剖析]? 【例】 (课本第 51 页例 4)? 分析:等差数列{an}的前 n 项和公式可以写成 S n ? d 2 d x ? (a1 ? ) x 的图象上 2 2 d 2 d n ? (a1 ? )n ,所以 Sn 可以看成函数 2 2 y? d 2 d x ? (a1 ? ) x (x∈N *)当 x=n 时的函数值.另一方面,容易知道 Sn 关于 n 的图象是 2 2 一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求 n 的值.(解答见课本第 52 页)? 师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢?请同学们说出这个数列的首项和公差. 生 它的首项为 5,公差为 ? 5 .? 7 师 对,它的首项为正数,公差小于零,因而这个数列是个单调递减数列,当这数列的项出 现负数时,则它的前 n 项的和一定会开始减小,在这样的情况下,同学们是否会产生新的解 题思路呢?? 生 老师,我有一种解法:先求出它的通项,求得结果是 an=a1+(n-1)d= ? 我令 a n ? 5 40 n ? .? 7 7 5 40 n? ≤0,得到了 n≥8,这样我就可以知道 a8=0,而 a9<0.从而便可以发现 7 7 S7=S8,从第 9 项和 Sn 开始减小,由于 a8=0 对数列的和不产生影响,所以就可以说这个等差 数列的前 7 项或 8 项的和最大.? 师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化 情况.? [方法引导]? 师 受刚才这位同学的新解法的启发,我们大家一起来归纳一下这种解法的规律:? ①当等差数列{an}的首项大于零,公差小于零时,它的前 n 项的和有怎样的最值?可通过什 么来求达到最值时的 n 的值?? 生 Sn 有最大值,可通过 ? ?a n ? 0 求得 n 的值.? ?a n ?1 ? 0 师

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