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全国卷历年数学高考真题汇编 三角函数_图文

全国卷历年数学高考真题汇编 三角函数 2π ? ? 1(2017 全国 I 卷 9 题)已知曲线 C1 : y ? cos x , C2 : y ? sin ? 2 x ? ? ,则下面结论正确的 3 ? ? 是() A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 位长度,得到曲线 C2 B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 单位长度,得到曲线 C2 C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 位长度,得到曲线 C2 D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 单位长度,得到曲线 C2 【答案】D 2π ? ? 【解析】 C1 : y ? cos x , C2 : y ? sin ? 2 x ? ? 3 ? ? π 个 12 1 π 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单 2 6 π 个 12 π 个单 6 首先曲线 C1 、 C2 统一为一三角函数名,可将 C1 : y ? cos x 用诱导公式处理. π π? π? ? ? y ? cos x ? cos ? x ? ? ? ? sin ? x ? ? .横坐标变换需将 ? ? 1 变成 ? ? 2 , 2 2 2? ? ? ? π ? C 1上各点横坐标缩短它原来 1 π? π? ? ? ? 2 ? y ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2 ? x ? ? 即 y ? sin ? x ? ? ????????? 2? 2? 4? ? ? ? 2π ? π? ? ? ?? ? y ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2 ? x ? ? . 3 ? 3? ? ? π π 平移至 x ? , 4 3 π π π π 根据“左加右减”原则,“ x ? ”到“ x ? ”需加上 ,即再向左平移 4 3 12 12 注意 ? 的系数,在右平移需将 ? ? 2 提到括号外面,这时 x ? 2 (2017 全国 I 卷 17 题) △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 △ ABC a2 . 3sin A (1)求 sin B sin C ; (2)若 6 cos B cos C ? 1 , a ? 3 ,求 △ ABC 的周长. 【解析】本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用. 1 a2 .且 S ? bc sin A (1)∵ △ ABC 面积 S ? 2 3sinA 的面积为 a2 1 ? bc sin A 3sin A 2 3 2 2 ∴ a ? bc sin A 2 ∴ 3 2 2 ∵由正弦定理得 sin A ? sin B sin C sin A , 2 2 由 sin A ? 0 得 sin B sin C ? . 3 2 1 (2)由(1)得 sin B sin C ? , cos B cos C ? 3 6 ∵ A? B?C ? π ∴ cos A ? cos ? π ? B ? C ? ? ? cos ? B ? C ? ? sin B sinC? cos B cos C ? 又∵ A ? ? 0 ,π ? 1 2 ∴ A ? 60? , sin A ? 1 3 , cos A ? 2 2 由余弦定理得 a 2 ? b2 ? c2 ? bc ? 9 ① a a ? sin B , c ? ? sin C 由正弦定理得 b ? sin A sin A a2 ? sin B sin C ? 8 sin 2 A 由①②得 b ? c ? 33 ∴ bc ? ② ∴ a ? b ? c ? 3 ? 33 ,即 △ ABC 周长为 3 ? 33 3. (2017· 新课标全国Ⅱ卷理 17)17.(12 分) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 sin( A ? C) ? 8sin 2 (1)求 cos B (2)若 a ? c ? 6 , ?ABC 面积为 2,求 b . 【命题意图】本题考查三角恒等变形,解三角形. B . 2 【 试 题 分 析 】 在 第 ( Ⅰ ) 中 , 利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 可 知 A?C ?? ? B , 将 B 2 B 转化为角 B 的方程, 思维方向有两个: ①利用降幂公式化简 sin , 2 2 2 B 2 2 结合 sin B ? cos B ? 1 求出 cos B ;②利用二倍角公式,化简 sin B ? 8 sin ,两边约去 2 B B sin ,求得 tan ,进而求得 cos B .在第(Ⅱ)中,利用(Ⅰ)中结论,利用勾股定理和 2 2 2 s i nA ( ? C) ? 8s i n 面积公式求出 a ? c、ac ,从而求出 b . (Ⅰ) 【基本解法 1】 由题设及 A ? B ? C ? ? , sin B ? 8 sin 2 B ,故 2 sin B ? ( 4 1-cosB) 上式两边平方,整理得 17cos2 B-32cosB+15=0 解得 cosB=1(舍去),cosB= 【基本解法 2】 由题设及 A ? B ? C ? ? , sin B ? 8 sin 2 15 17 B B B B 2 B ,所以 2 sin cos ? 8 sin ,又 sin ? 0 , 2 2 2 2 2 B 2 ? 15 B 17 1 ? tan2 2 15 8 1 4 ac (Ⅱ)由 cosB= 得 sin B ? ,故 S ?ABC ? ac sin B ? 17 17 2 17 17 又 S ?ABC =2,则ac ? 2 B 1 ? , cos B ? 所以 tan 2 4 1 ? tan2 由余弦定理及 a ? c ? 6 得 b 2 ? a 2

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