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河北省2011届高考数学一轮复习知识点攻破习题:函数的奇偶性与周性


函数的奇偶性与周期性
一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.下列函数中是偶函数的是 ①f(x)=lg(1+x2) ②g(x)=2-|x| ③h(x)=tan2x ( )

?x+2,x<-1, ? ④s(x)=?0,|x|≤1, ?-x+2,x>1. ?

A.①② B.①④ C.②④ D.①②④ 解析:f(x),g(x),h(x)显然为偶、偶、奇函数. 对于 s(x),当 x<-1 时,s(x)=x+2,s(-x)=x+2=s(x). 当 x>1 时,s(x)=-x+2,s(-x)=-x+2=s(x); |x|≤1 时,s(x)=0,s(-x)=0=s(x). ∴s(x)也为偶函数.答案:D 2.设 f(x)是增函数,则下列结论一定正确的是 ( ) 1 A.y=[f(x)]2 是增函数 B.y= 是减函数 f(x) C.y=-f(x)是减函数 D.y=|f(x)|是增函数 解析:根据函数单调性定义判定,设 x1<x2, 1 1 则 f(x1)<f(x2),则-f(x1)>-f(x2),但[f(x1)]2<[f(x2)]2, > , f(x1) f(x2) |f(x1)|<|f(x2)|,三个关系式不一定成立.答案:C 3.已知 f(x)=lg( x2+1-ax)是一个奇函数,则实数 a 的值是 ( ) A.1 B.-1 C.10 D.± 1 解析:据题意知:f(x)+f(-x)=lg( x2+1-ax)+lg( x2+1+ax)=0, 即 lg[( x2+1)2-(ax)2]=lg[(1-a2)x2+1]=0,即(1-a2)x2=0,而 x 不恒为 0, 则必有 1-a2=0?a=± 1,代入检验,函数定义域均关于原点对称.答案:D 4.(2008· 福建高考)函数 f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析:∵f(a)=a3+sina+1=2,∴a3+sina=1,而 f(-a)=-a3-sina+1=-1+1=0, 故选 B. 5.(2009· 全国卷Ⅰ)函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数 解析:由 f(x+1)为奇函数,可知 f(x)关于点(1,0)对称, f(x-1)为奇函数,可知 f(x)关于点 (-1,0)对称,则 f(x)为周期函数且 T=4,则 f(x+3)=f(x-1),故选 D. 6.(2009· 四川高考)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实 5 数 x 都有 xf(x+1)=(1+x)f(x),则 f(f( ))的值是 ( ) 2 1 5 A.0 B. C.1 D. 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 解析:由已知令 x=0,则 f(0)=0,由已知令 x=- ,得- f( )= f(- )= f( ),∴f( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 3 1 1 3 =0. 又令 x= ,得 f( )= f( ), 又∵f( )=0,∴f( )=0. 2 2 2 2 2 2 2 3 3 5 5 3 3 5 5 再令 x= ,得 f( )= f( ), ∵f( )=0,∴f( )=0. ∴f(f( ))=f(0)=0. 答案:A 2 2 2 2 2 2 2 2 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 1 7.(2009· 重庆高考)若 f(x)= x +a 是奇函数,则 a=________. 2 -1 1 1 解析:∵f(x)是{x|x≠0}上的奇函数, ∴f(-1)=-f(1).∴a= . 答案: 2 2 8.(2008· 上海高考)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数.若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,
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则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是__________.

图1 解析: 根据题意画出函数 f(x)的草图, 由图象可知 f(x)>0 的 x 的取值范围是-1<x<0 或 x>1. 答案:(-1,0)∪(1,+∞) 9.设周期为 4 的奇函数 f(x)的定义域为 R,且当 x∈[4,6)时,f(x)=2-x2,则 f(-1)的值 为__________.解析:∵f(-1)=-f(1)=-f(1+4)=-f(5)=-(2-52)=23.答案:23 10.已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对于 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,且 f(-4) f(x1)-f(x2) =-2,当 x1,x2∈[0,3],且 x1≠x2 时,都有 >0.则给出下列命题: x1-x2 ①f(2008)=-2; ②函数 y=f(x)图像的一条对称轴为 x=-6; ③函数 y=f(x)在[-9,-6]上为减函数; ④方程 f(x)=0 在[-9,9]上有 4 个根. 其中所有正确命题的序号为________. 解析:当 x=-3 时,f(-3+6)=f(-3)+f(3)=2f(3),∴f(3)=0,∴f(x+6)=f(x),即函数 y=f(x)是周期为 6 的偶函数,∴x=-6 为其一条对称轴;又 f(-4)=-2,∴f(2008)=f(334×6 +4)=f(4)=f(-4)=-2;由题意函数 y=f(x)在区间[0,3]上单调递增,又函数 y=f(x)是周期为 6 的偶函数,∴y=f(x)在[-9,-6]上单调递减;∵f(3)=f(9)=f(-3)=f(-9)=0,∴f(x)=0 在 区间[-9,9]上有 4 个根,综上应填①②③④. 答案:①②③④ 三、解答题(共 50 分) 11. 分)已知函数 y=f(x)(x∈R 且 x≠0), (15 对任意非零实数 x1,2 恒有 f(x1·2)=f(x1)+f(x2), x x 试判断函数 f(x)的奇偶性. 解:令 x1=-1,x2=x 得: f(-x)=f(-1)+f(x) ① 再令 x1=1,x2=-1 得: f(-1)=f(1)+f(-1),即 f(1)=0 ② 再取 x1=x2=-1 得: f(1)=f(-1)+f(-1) ③ 由②、③得:f(-1)=0,代入①得:f(-x)=f(x)∴f(x)为偶函数. 12.(15 分)设 f(x)是周期函数,且最小正周期为 2,且 f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0 时, f(x)=-x,试求函数 f(x)在区间[-1,3]上的表达式. 解:∵f(-x)=f(2-x)=f[1+(1-x)]=f[1-(1-x)]=f(x),∴f(x)是偶函数. 于是由“当-1≤x≤0 时,f(x)=-x”可知当 0≤x≤1 时,f(x)=x; 进而当 1≤x≤2 时,-1≤x-2≤0?f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2; 当 2≤x≤3 时,0≤x-2≤1?f(x)=f(x-2)=x-2.

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