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高中数学 《2.3直线、平面垂直的判定及其性质》教学案


《2.3.1直线与平面垂直的判定》教学案
自主探究学习
以立体几何的定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识 和理解空间中线面垂直的判定, 掌握直线与平面垂直的定义, 理解直线与平面垂直的判定定 理,并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解. 1.如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面 ? 互相垂直,记作
l ? ? . l 是平面 ? 的垂线, ? 是直线 l 的垂面,它们的唯一公共点 P 叫做垂足.

2. 直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这 条直线与该平面垂直.符号语言表示为:若 l ⊥ m , l ⊥ n , m ∩ n =B, m ? ? , n ? ? ,则
l ⊥?

名师要点解析

要点导学
1. 斜线和平面所成的角,简称“线面角”,它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹 角. 求直线和平面所成的角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过解直角三角 形求解,可以简述为“作(作出线面角)→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”. 通常, 通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线是产生线面角的关键. 2. 斜线和平面所成的角的范围是 ? | 0? ? ? ? 90? . 【经典例题】
PB ? AC , PO ? 平面 【例1】三棱锥 P ? ABC 中, PA ? BC,

?

?

ABC,垂足为O,求证:O为底面△ABC的垂心. 【分析】可证O为三角形ABC的两条高线的交点. 【证明】连接OA、OB、OC,∵ PO ? 平面ABC, ∴ PO ? BC, PO ? AC .
PB ? AC , 又 ∵ PA ? BC, AC ? 平面PBO ,得 AO ? BC, BO ? AC , ∴ BC ? 平面PAO,

∴ O为底面△ABC的垂心.
PB ? AC ,求证 PC ? AB ”,其思路是接着 【点拨】此例可以变式为“已知 PA ? BC,

利用射影是垂心的结论得到 OC ? AB 后进行证明. 三条侧棱两两垂直时,也可按同样的思 路证出. 【例2】如图, ABCD 是正方形, SA 垂直于平面 ABCD , 过 A 且垂直于 SC 的平面交 SB 、 SC 、 SD 分别于点 E , F ,

G ,求证: AE ? SB , AG ? SD .

【分析】本题考查线面垂直的判定与性质定理, 以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想.由于 图形的对称性,所以两个结论只需证一个即可. 欲证 AE ? SB ,可证 AE ? 平面 SBC ,为此须 证 AE ? BC , AE ? SC ,进而转化证明 BC ? 平面 SAB , SC ? 平面 AEFG . 【证明】∵ SA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , ∴ SA ? BC . 又∵ ABCD 为正方形, ∴ BC ? AB . ∴ BC ? 平面 ASB . ∵ AE ? 平面 ASB , ∴ BC ? AE . 又∵ SC ? 平面 AEFG , ∴ SC ? AE . ∴ AE ? 平面 SBC . 又∵ SB ? 平面 SBC , ∴ AE ? SB ,同理可证 AG ? SD . 【点拨】 (1)证明线线垂直,常用的方法有:同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定 理,三垂线定理与它的逆定理,以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直.(2)本题的 证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系, 充分体现了数学化思想 的优越性.

《2.3.2平面与平面垂直的判定》教学案4
自主探究学习
通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中面面垂直的判定,正确理解和 掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念;理 解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系, 会用所学知识求 两平面所成的二面角的平面角的大小. 1. 定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 这条直线叫做二面角 的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角 ?-AB-? . (简记 P-AB-Q ) 2. 二面角的平面角:在二面角 ?-l-? 的棱 l 上任取一点 O ,以点 O 为垂足,在半平 面 ? , ? 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB ,则射线 OA 和 OB 构成的 ?AOB 叫做二面角的 平面角. 3. 定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂 直. 记作 ? ? ? . 4. 判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 名师要点解析

要点导学
1. 二面角 ?-l-? 的大小 (1)二面角 ?-l-? 的大小是用它的平面角来度量的, 以点 O 为垂足, 在半平面 ? , ? 内 OB⊥l; 分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB , 在做二面角的平面角时, 一定要有“OA⊥l” , ∠AOB的大小与点O在l上位置无关. (2)当二面角的平面角是直角时,这两个平面互相垂直. 2. 自二面角内一点分别向两个面引垂线,它们所成的角与二两角的平面角互补.

【经典例题】 【例1】已知两条不同直线 m , l ,两个不同平面 ? , ? ,给出下列命题: ①若 l 垂直于 ? 内的两条相交直线,则 l ⊥ ? ;②若 l ∥ ? ,则 l 平行于 ? 内的所有直 线; ③若 m ? ? , l ? ? 且 l ⊥ m ,则 ? ⊥ ? ;④若 l ? ? , l ? ? ,则 ? ⊥ ? ; ⑤若 m ? ? , l ? ? 且 ? ∥ ? ,则 m ∥ l ; 其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上) 【分析】①若 l 垂直于 ? 内的两条相交直线,则 l ⊥ ? ,正确;②若 l ∥ ? ,则 l 平行于

? 内的所有直线,l与 ? 还有可能异面;③若 m ? ? ,l ? ?
且 ? ∥ ? ,则 m ∥ l ,m与l还有可能异面; 【解】①④

且l ⊥m, 则 ? ⊥ ? ,? 与 ?

l ??, l?? 还有可能平行或不垂直的相交; ④若 l ? ? , 则? ⊥ ? , 正确; ⑤若 m ? ? ,

【点拨】根据线面、面面平行与垂直的判定与性质进行判断. 【例2】如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E是 CC1 的中点, 求证: 平面A1 BD ? 平面BED . 【分析】可证两个平面所成的二面角是直角. 【证明】连接AC,交BD于F,连接 A1 F ,EF, A1 E , A1C1 . 由正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,易得 A1 D ? A1B , ED ? EB ,F是BD的中点, 所以
A1 F ? BD, EF ? BD ,得到 ?A1 FE 是二面角 A1 ? BD ? E 的平面角.

设正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为2,则

A1F 2 ? A1 A2 ? AF 2 ? 22 ? ( 2)2 ? 6 , EF 2 ? CE 2 ? CF 2 ? 12 ? ( 2)2 ? 3 ,
2 2 2 2 A1E 2 ? AC 1 1 ? CE ? (2 2) ? 1 ? 9 .

∴ A1F 2 ? EF 2 ? A1E 2 ,即 A1 F ? EF ,所以 平面A1 BD ? 平面BED . 【点拨】要证两平面垂直,证其二面角的平面角为直角,这也是证两平面垂直的常用方 法. 此题由几何图形的特征, 作出待证的两个垂直平面所成二面角的平面角是解决问题的关 键.

《2.3.3直线与平面垂直的性质》教学案4 自主探究学习
通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面垂直的有关性质,掌握直 线与平面垂直的性质定理; 能运用性质定理解决一些简单问题; 了解直线与平面垂直的判定 定理和性质定理间的相互联系. 线面垂直性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. 名师要点解析

要点导学
1.线面垂直性质定理的符号语言: a ? ? , b ? ? ? a // b 2.如果两个平面都和一条直线垂直,那么这两个平面平行. 【经典例题】 【例1】三棱锥 P ? ABC 中,三个侧面与底面所成的二面角相等, PO ? 平面ABC,垂 足为O,求证:O为底面△ABC的内心.

【分析】可证点O到底面△ABC的三边的距离相等. 【证明】作 PD ? AB 于D, PE ? BC 于E, PF ? AC 于F,连接OD、OE、OF. ∵ PO ? 平面ABC,∴ PO ? OD, PO ? OE, PO ? OF ,
PO ? AB, PO ? BC, PO ? AC .

又 ∵ PD ? AB, PE ? BC, PF ? AC , ∴ AB ? 平面PDO, BC ? 平面PEO, AC ? 平面PFO . 得 OD ? AB, OE ? BC, OF ? AC , ∴ ?PDO, ?PEO, ?PFO 为三个侧面与底面所成的二面角的 平面角. 即得 ?PDO ? ?PEO ? ?PFO , ∵ PO边公共, ∴ ?PDO ? ?PEO ? ?PFO ,得 OD ? OE ? OF , 又 ∵ OD ? AB, OE ? BC, OF ? AC . ∴ O为底面△ABC的内心. 【点拨】 这里用到了证明垂直问题的转化思想, 即“线线垂直→线面垂直→线线垂直”. 上述结论对于一般棱锥也成立, 即棱锥的各侧面与底面所成二面角均相等, 或棱锥的顶点到 底面各边的距离相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的内切圆的圆心.

【例2】在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 平面

ABCD, PD ? DC, E是PC中点,作EF ? PB交PB于点F .
(1)证明: PA // 平面EDB ; (2)证明: PB ? 平面EFD; (3)求二面角 C ? PB ? D 的大小. 【分析】(1)用线面平行的判定定理,在平面EDB中 找与PA平行的直线;(2)用线面垂直的判定定理,在平面 EFD中找与PB垂直的两条相交直线;(3)先依据二面角的 定义找出二面角 C ? PB ? D 的平面角, 再证明并求出来. 【解】(1)证明:连接 AC交BD于O,连结EO . 因为底面 ABCD 是正方形,所以 O是AC 的中点. 在 ?PAC 中, EO 是中位线,所以 PA // EO . 而 EO ? 平面EDB且PA ? 平面EDB , A D P E F C

B

? PA // 平面EDB .
(2)因为 PD ? 底面ABCD且DC ? 底面ABCD ,

? PD ? DC ,
又 PD ? DC ,

? ?PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, ? DE ? PC
① 同理可得 PD ? BC . 因为底面 ABCD 是正方形,有 DC ? BC ,

? BC ? 平面PDC .
而 DE ? 平面PDC , P F E

? BC ? DE



由①和②推得: DE ? 平面PBC . 而 PB ? 平面PBC , D O A B C

? PB ? DE ,
又 EF ? PB且DE ? EF ? E ,

? PB ? 平面EFD .

C ? PB ? D 的平面角. (3)由(2)知 PB ? DF, 故?EFD是二面角
由(2)知 DE ? EF ,PD ? DB . 设正方形 ABCD 的边长为 a,则PD ? DC ? a ,

BD ? 2a,PB ? PD2 ? BD2 ? 3a ,

PC ? PD2 ? DC 2 ? 2a, DE ?
在 Rt?PDB中, DF ?

1 2 PC ? a, 2 2

PD ? BD a ? 2a 6 ? ? a, PB 3 3a
DE 3 , ? DF 2

在 Rt?EFD中, sin ?EFD ?

? ?EFD ?

?
3

,二面角 C ? PB ? D的大小为

?
3

.

【点拨】依据题目条件,寻找联系,实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的 转化.

《2.3.4平面与平面垂直的性质》教学案
自主探究学习
理解平面与平面垂直的性质定理; 能运用性质定理解决一些简单问题; 了解面与平面垂 直的判定定理和性质定理间的相互联系. 面面垂直性质定理: 两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 名师要点解析

要点导学
面面垂直性质定理用符号语言表示为:若 ? ? ? ,? ? ? ? l ,a ? ? ,a ? l ,则 a ? ? .

【经典例题】 【例1】下面有4个命题: ①与同一个平面平行的两条直线平行; 垂直的两条直线平行; ③与同一个平面平行的两个平面平行; 垂直的两个平面平行; 其中正确的命题有 【 】 A.4个 D.1个 【分析】①不正确,与同一个平面平行的两条直线还可能相交;②不正确,与同一条直 线垂直的两条直线还可能异面;③正确,由平面平行的性质可知;④不正确,与同一个平面 垂直的两个平面还有可能相交. B.3个 C.2个 ④与同一个平面 ②与同一条直线

【解】D 【点拨】根据线面、面面平行与垂直的性质进行判定. 【例2】已知两个平面垂直,下列命题中正确的有 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线; ③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内的任意一点做交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面. A. 3个 B.2个 C. 1 个 D .0个 【 】

【分析】①不正确;②正确;③不正确;④正确. 【解】B. 【点拨】根据线面、面面平行与垂直的性质进行判定.


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