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二次函数与幂函数知识梳理


二次函数与幂函数 【考纲要求】 1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。 2.幂函数 (1)了解幂函数的概念. (2)结合函数 y ? x (? ? 1, 2,3, ?1, ) 的图象,了解它们的图象的变化情况. 【知识网络】
?

1 2

基 本 初 等 函 数

常 数 函 数

一 次 函 数

二 次 函 数

幂 函 数

图象与性质
【考点梳理】 考点一、初中学过的函数 (一)函数的图象与性质 常 函 数 一次函数 y ? a( a ? R ) y ? ax ? b 表达式 (a ? 0) 式子中字母的含 义及范围限定 图象、及其与坐 标轴的关系 单 调 性 要点诠释: 1.过原点的直线的方程,图象,性质; 2.函数的最高次项的系数能否为零。 (二)二次函数的最值 1.二次函数有以下三种解析式:
2 一般式: y ? ax ? bx ? c ( a ? 0 ) , 2 顶点式: y ? a( x ? h) ? k ( a ? 0 ) ,其中顶点为 ( h, k ) ,对称轴为直线 x ? h ,

反比例函数

二次函数

y?

k (k ? 0) x

y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0)

第1页

共8页

2 零点式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 ) ,其中 x1 , x 2 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的根

2. 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )在区间 [ p, q ] 上的最值: 二 次 函 数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ) 在 区 间 [ p , q ]上 的 最 大 值 为 M , 最 小 值 为 m , 令

x0 ?

1 ( p ? q) . 2

(1) (1)若 ?

(2)

(3)

(4)

b ? p ,则 f ( x)min ? f ( p) ? m , f ( x)max ? f (q) ? M ; 2a b b ? x0 ,则 f ( x) mi n ? f ( ? ) ? m , f ( x)max ? f (q) ? M ; (2)若 p ? ? 2a 2a b b ? q ,则 f ( x) mi n ? f ( ? ) ? m , f ( x)max ? f ( p) ? M ; (3)若 x0 ? ? 2a 2a b (4)若 q ? ? ,则 f ( x)min ? f (q) ? m , f ( x)max ? f ( p) ? M . 2a
要点诠释: 1.二次函数的最值只可能在三处取得:两个区间端点以及顶点的函数值; 2. 求二次函数的最值一般要数形结合。 考点二、幂的运算 (1) a
n m
?n ? an  ,a ?

m

m ? 1 1 1 n a = m= , ; (m、n ? N ? , n ? 1)  n n m a a n a

(2)
n

? a?
n

n

? a(n ? N , n ? 1) 



n

a n ? a(n ? 1, n为奇数)



(a ? 0) ?a   。 a n= a ? ? (n是正偶数) (a ? 0) ??a  
考点三、幂函数的图象与性质 1.幂函数 y ? x ( x ? R) 在第一象限的图象特征
?

第2页

共8页

2.幂函数 y ? x? ( x ? R) 性质: (1) ? ? 1 ,图象过(0,0) 、 (1,1) ,下凸递增,如 y ? x2 ; (2) 0 ? ? ? 1 ,图象过(0,0) 、 (1,1) ,上凸递增,如 y ? x 2 ; (3) ? ? 0 ,图象过(1,1) ,单调递减,且以两坐标轴为渐近线,如 y ? x ?1 , y ? x 要点诠释:幂函数在第四象限没有图象,其它象限的图象可以由奇偶性确定。 【典型例题】 类型一:基本函数的解析式 例 1.已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且图像在 y 轴上截距为 1,在 x 轴截 得的线段长为 2 2 ,求 f ( x ) 的解析式. 【解析】 【方法一】设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ) , 则 c ? 1 ,且对称轴 x ? ?
? 1 2 1

b ? ?2 ,即 b ? 4a , 2a

∴ f ( x) ? ax2 ? 4ax ? 1 ,

1 16a2 ? 4a ∵ | x1 ? x2 |? ? 2 2 , ∴a ? 2 |a|
∴ f ( x) ?

1 2 x ? 2x ?1 2

【方法二】∵ f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,∴二次函数的图象的对称轴为 x ? ?2 ,
2 可设所求函数为 f ( x) ? a( x ? 2) ? h ( a ? 0 ) ,

∵ f ( x ) 截 x 轴 上 的 弦 长 为 2 2 , ∴ f ( x ) 的 图 像 过 点 (? 2? 2 , 0和 )

( 2 ? 2,0) ,
∴ a[( 2 ? 2) ? 2]2 ? h ? 0 ,即 2a ? h ? 0 又∵ f ( x ) 的图像过点 (0,1) , ∴ 4a ? h ? 1 (1) (2)联立,解得 a ? (1) (2)

1 , h ? ?1 , 2

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1 1 ( x ? 2) 2 ? 1 ,即 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 . 2 2 【方法三】∵ y ? f ( x) 的图象对称轴 x ? ?2 , 又 | x1 ? x2 |? 2 2 ,
∴ f ( x) ? ∴ f ( x ) 与 x 轴的交点为 (? 2 ? 2,0) 和 ( 2 ? 2,0) , 故可设 f ( x) ? a( x ? 2 ? 2)( x ? 2 ? 2) ( a ? 0 ) , 由 f (0) ? 1 可得 a ? ∴ f ( x) ?

1 . 2

1 1 ( x ? 2 ? 2)( x ? 2 ? 2) ,即 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 . 2 2

【总结升华】二次函数的形式有以下三种: (1)一般形式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ) , (2)顶点式(或称配方式) f ( x) ? a( x ? k )2 ? h ( a ? 0 ) , (3)零点式(或称双根式) f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 ) , (前提:有根) 对一个具体二次函数,三种形式的系数都具有具体的意义,在分析具体问题时,要充分挖掘 题目的隐含条件及充分利用图形的直观性去简化运算,简捷处理问题。 举一反三: 【变式】 已知二次函数 y ? f ( x) 的对称轴为 x ? ? 2 , 截 x 轴上的弦长为 4 , 且过点 (0, ?1) , 求函数的解析式
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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【答案】∵二次函数的对称轴为 x ? ? 2 ,可设所求函数为 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? b , 又∵ f ( x ) 截 x 轴上的弦长为 4 ,∴ f ( x ) 过点 (? 2 ? 2,0) 和 (? 2 ? 2,0) ,

f ( x) 又过点 (0, ?1) ,

1 ? ? 4a ? b ? 0 ?a ? ∴? ,解得 ? 2 , ?2a ? b ? ?1 ? ?b ? ?2
∴ f ( x) ?

1 1 ( x ? 2) 2 ? 2 ,即 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 . 2 2
x x x x

类型二:函数的图象和性质 例 2. 下图是指数函数(1) y ? a , (2) y ? b , (3) y ? c , (4) y ? d 的图象,则 a 、

b 、 c 、 d 与 1 的大小关系是(



第4页

共8页

A. a ? b ? 1 ? c ? d B. b ? a ? 1 ? d ? c C. 1 ? a ? b ? c ? d D. a ? b ? 1 ? d ? c 【解析】可先分两类,即(3) (4)的底数一定大于 1, (1) (2)的底数小于 1,然后再从(3) (4)中比较 c 、 d 的大小,从(1) (2)中比较 a 、 b 的大小. 【答案】B 【总结升华】可以依据函数系的性质和图象变化解答,但作为选择题更多地利用特殊点解决. 举一反三: 【变式】 (1)下图的曲线是对数函数 y ? log a x 图象,已知 a 的取值为 10,2,0.6,0.25,则曲线

C1,C2 ,C3 ,C4 对应的 a 的值依次为



? (2)如图是幂函数 y ? x 在第一象限内的图象,已知 ? 取 2,3, , ?1 ,则曲线 C1 , C2 , C3 , C4

对应的 ? 的值依次为

1 2



【答案】 (1)依据对数函数 y ? log a x 的图象中的特殊点 (a,1) ,如图,令 y ? 1 ,

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由图知点 (C3 ,1) 、 (C4 ,1) 、 (C1 ,1) 、 (C2 ,1) 的左右位置关系,有 C3 ? C4 ? 0 ? C1 ? C2 , ∴相对应的曲线 C1,C2 ,C3 ,C4 的值依次为 2、10、0.25、0.6. (2)依据幂函数 y ? x? 在第一象限内的图象特征,如图,令 x ? 2 ,

由图知点 (2, C4 ) 、 (2, C3 ) 、 (2, C2 ) 、 (2, C1 ) 的上下位置关系,有

C1 ? 0 ? C2 ? 1 ? C3 ? C4 ,
∴相对于曲线 C1 , C2 , C3 , C4 的 ? 依次为 ?1 、 类型三:比较大小
3 3 3 ( ) ( ) ( ) 例 3. 比较 , , 这三个数的大小关系.

1 、 2 、3 . 2

1 5

2

1 2

2

1 2

1

【解析】比较式子的结构,依据其异同点选用不同的函数,结合函数的单调性或数形结合比 较大小。

1 x 1 2 1 1 3 3 y= ( ) ( )? ( ) 【方法一】考察函数 ,由于该函数是单调递减函数,故 . 2 2 2
3 3 ( ) ? ( ) 考察函数 y=x 3 ,由于该函数在第一象限是单调递增函数,故
2

1 2

2

1 5

2

3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) >( ) >( ) ∴ , , 这三个数的大小关系是:

1 5

2

1 2

2

1 2

1

1 2

1

1 2

2

1 5

2

第6页

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1 x 1 2 1 1 3 3 【方法一】考察函数 y=( ) ,由于该函数是单调减函数,故 ( )? ( ) 2 2 2
考察函数 y=( ) 与函数 y=( ),根据指数函数图象的分布规律知, 在第一象限时 y=( ) 的图象位于 y=( )的图象的上方,

1 2

x

1 5

x

1 2

x

1 5

x

从而当自变量都取

2 1 2 1 2 3 3 时, 。 ( ) >( ) 3 2 5

1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 ( ) , ( ) , ( )这三个数的大小关系是: ( )>( )>( ) ∴ 5 2 2 2 2 5
【总结升华】大小比较是此处常见的一类考题。通常都是构想函数运用函数性质来解决,通 常两个同指的幂式比较就构想幂函数,同底的就构想指数函数,若混合比较即插入对数式或底指 皆不同的幂式就用搭桥的办法,常用搭桥的思路有选 0 或选 1 或根据具体情况构作。 举一反三: 【变式】
x x (1)设 x ? 0 ,且 a ? b ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,则 a 与 b 的大小关系是(



C. 1 ? b ? a D. 1 ? a ? b b 2 (2) 若 a ? b ? a ? 1 ,则 log b , logb a , log a b 从小到大依次为 ; a 【答案】 (1)取 x ? 1 ,知选 B 。

A. b ? a ? 1

B. a ? b ? 1

b ? logb a ? 1 ? loga b ; a b b 2 【方法一】由 a ? b ? a ? 1 得 ? a ,故 log b ? logb a ? 1 ? loga b . a a 3 b b ? 3 可得 log 3 ? log 3 2 ? 1 ? log 2 3 , 【方法二】 令a ? 2, 故 log b ? logb a ? 1 ? log a b . 2 a
(2) log b 类型四:最值问题

1 x 1 x 4 2 1 x 1 2 3 2 【解析】令 u ? ( ) , 则 y ? u ? u ? 1 ? (u ? ) ? , 2 2 4 1 开口向上,对称轴 u ? 2 1 1 1 ? ( ) x ? 8 , 即 u ? [ ,8] ∵ x ? [?3, 2] ,∴ 4 2 4
例 4.求函数 y ? ( ) ? ( ) ? 1 ( x ? [?3, 2] )的最值.

第7页

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1 1 ? [ ,8] , 2 4 1 ∴ u ? 时, ymin ? 2 1 ∴ u ? 时, ymin ? 2
∵u ?

3 1 ; u ? 时, y ? 1 ; u ? 8 时, y ? 57 ; 4 4 3 ; 4

u ? 8 时, ymax ? 57 .
【总结升华】 1. 基本函数的最值问题一般都利用函数的单调性,并数形结合解决之; 2. 形 如 y ? Aa2 x ? Ba x ? C ( a ? 0 , 且 a ? 1 ) 的 函 数 , 可 以 转 化 为 二 次 函 数

y ? At 2 ? Bt ? C ,但应注意 t ? a x 的取值范围.
举一反三: 【变式】已知 x, y ? R , x2 ? 2 y 2 ? 2x ? 8 ,求 x 2 ? y 2 的最值。 【答案】由已知得 y ? ?
2

1 2 x ? x?4, 2 1 2 2 ∵ y ? 0 ,∴ ? x ? x ? 4 ? 0 即 ?2 ? x ? 4 , 2 1 1 7 于是 x 2 ? y 2 ? x 2 ? (? x 2 ? x ? 4) ? ( x ? 1) 2 ? 2 2 2
∵对称轴 x ? ?1?[?2, 4] ,

7 ; 当 x ? ?2 时, 当 x ? 4 时, x2 ? y 2 ? 3 ; x2 ? y 2 ? 16 ; 2 7 2 2 ∴当 x ? ?1 时, x ? y 取得最小值 ; 2 x ?y ? ∴当 x ? ?1 时,
2 2

当 x ? 4 时, x ? y 取得最大值 16.
2 2

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