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贵州省遵义四中2011届高三第四次月考(数学文)


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届高三四校第一次联考试 四校第一次联考试题 文科数学) 2011 届高三四校第一次联考试题(文科数学)
考试时间:2010-11-29 命题学校:贵阳市第六中学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式: 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 球的表面积公式

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) 如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率 是 p ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率

S = 4π R 2 其中 R 表示球的半径
球的体积公式

4 V = π R3 3 其中 R 表示球的半径

Pn ( k ) = Cnk P k (1 ? P ) n ? k ( k = 0,1, 2, L , n)

第Ⅰ卷(选择题 60 分) 选择题
小题. 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 选择题: 目要求的. 目要求的. 1.已知集合 A = {x | x ? 2 x + a > 0} ,且 1? A ,则实数 a 的取值范围是(
2



A. ( ?∞,1]

B. [1, +∞ )

C. [ 0, +∞ )

D. ( ?∞,1) D. (-3,-7)

2.若 AB = ( 2,4), AC = (1,3), 则BC = ( A. (1,1) B. (-1,-1) 3.函数 y = 3.

) C. (3,7) )

1 + ln( x ? 1) ( x > 1) 的反函数是( 2

A. y = e 2 x +1 ? 1( x > 0)
2 x ?1 + 1( x > 0) C. y = e

B. y = e 2 x +1 ? 1( x ∈ R ) D. y = e 2 x ?1 + 1( x ∈ R )

4.在等差数列 {an } 中, a3 + a5 + 2a10 = 4 ,则此数列的前 13 项的和等于( ) A.13 B.26 C.8 D.16 5.已知正三棱锥中,一条侧棱与底面所成的角为 60° ,则一个侧面与底面所成的角为( A. 30° B. 120° C. arctan



3 2

D. arctan 2 3

6.甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多 6. 安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,不同的安排方法共有( ) A. 20 种 B. 30 种 C. 40 种 D. 60 种 7.若直线 2 x ? y + c = 0 按向量 a = (1,?1) 平移后与圆 x 2 + y 2 = 5 相切,则 c 的值为( 7. A.8 或-2 B.6 或-4 C.4 或-6 D.2 或-8 8. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁-18岁 的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:根据图形可得这 100 名学生中体重在 )

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〔56.5,64.5〕的学生人数是( A.20 B.30 C.40 D.50

)

9.函数 f ( x ) = 3 sin( 2 x ? 9. ①图象 C 关于直线

π
3

) 的图象为 C ,以下三个命题中,正确的有(
②函数 f (x ) 在区间

)个

对称;

内是增函数;

③由 y = 3 sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C . A.0 B.1 C.2 D.3

10.函数 f ( x) = a x + log a ( x + 1) 在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a ,则 a 的值为( )
A.

1 4

B. 4

C.

1 2

D. 2 )

x 11. 若函数 f ( x ), g ( x ) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) = e ,则有(

A. f ( 2) < f (3) < g (0) C. f ( 2) < g (0) < f (3)

B. g (0) < f (3) < f ( 2) D. g (0) < f ( 2) < f (3)

12.已知抛物线 C : y 2 = 8 x 的焦点为 F ,准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在 C 上且 AK = 12.

2 AF ,则

?AFK 的面积为(
A.4

) B.8

C.16

D.32

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 非选择题
小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 填空题:

1 13. (x 2 ? ) 5 展开式中 x

的系数是

(用数字作答)。 。

14.若曲线 y = x 4 的一条切线 l 与直线 x + 4 y ? 8 = 0 垂直,则 l 的方程为 15. 长方体 的各顶点都在球 两点的球面距离记为 , 的球面上,其中 AB : AD : AA1 = 两点的球面距离记为 ,则

1:1: 2 .

的值为



16.给出以下四个命题: ①若函数 f ( x) = x + ax + 2 的图象关于点 (1, 0) 对称,则 a 的值为 ?3 ;
3 2

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1 = 0 ,则函数 y = f ( x ) 是以 4 为周期的周期函数; f ( x) 1 ③在数列 {an } 中, a1 = 1 , S n 是其前 n 项和,且满足 S n +1 = S n + 2 ,则数列 {an } 是等比数列; 2 ④函数 y = 3x + 3? x ( x < 0) 的最小值为 2.
②若 f ( x + 2) + 则正确命题的序号是 。

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 17.(10 分)已知: a = (cos 17.

3 3 x x ? π 3π ? x, sin x), b = (cos ,? sin ), x ∈ ? , ?. . 2 2 2 2 ?2 2 ?

(1)求: a + b 的取值范围;(5 分) (2)求:函数 f ( x) = 2 sin x + a + b 的最小值. (5 分)

18.(12 分) 袋中有同样的球 5 个,其中 3 个红色, 2 个黄色,现从中随机且不返回地摸球,每次摸 1 个,当两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球,求: (1)摸球两次后停止摸球的概率; 分) (5 (2)摸球多少次后停止摸球的概率较大? (7 分)

19.(12 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为直角梯形,AD//BC 且 AD>BC, 19. ∠DAB=∠ABC=90°,PA= 2 ,AB=BC=1。M 为 PC 的中点。 (1)求二面角 M—AD—C 的大小;(6 分) (2)如果∠AMD=90°,求线段 AD 的长。 分) (6

20.(12 分)已知数列 {a n } 满足 a1 = 0且a n +1 = 2a n + n( n ∈ N *) 20. (1)求 a 2 , a 3 , 并证明 : a n + 2 ? a n +1 = 2( a n +1 ? a n ) + 1; (4 分)

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(2)设 bn = a n +1 ? a n , 求证: {bn + 1} 是等比数列; 分) (4 (3)求数列 {a n }( n ∈ N *) 的通项公式。 分) (4

21.(12 分)已知函数 f ( x) = mx 3 ? 3( m + 1) x 2 + (3m + 6) x + 1, 其中m < 0 。 21. (1)若 f (x ) 在区间 (?∞,0)和( , ∞) 1+ 上是减函数,在区间(0,1)上是增函数,求 m 的值。 分) (6 (2)当 x ∈ [?1,1] 时,函数 y = f (x ) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m ,求 m 的取值范围。 分) (6

22.(12 分)已知圆 ( x + 2) + y = 22.
2 2

25 1 的圆心为M ,圆( x ? 2) 2 + y 2 = 的圆心为 N ,一动圆与这两圆 4 4

都外切。 (1)求动圆圆心 P 的轨迹方程; 分) (4 (2)若过点 N 的直线 l 与(1)中所求轨迹有两个交点 A 、 B ,求 AM ? BM 的取值范围。 分) (8

参考答案
A, B, D, A
13.10

D, A, A, A(C文)

C, B(C文), D, B
15.

14.(理)ln2-1 (文) 4 x ? y ? 3 = 0

1 2

16. ①,②

17.解答:(1) | a + b |=

r

r

3 x 3 x (cos x + cos ) 2 + (sin x + sin ) 2 = 2 + 2cos 2 x , 2 2 2 2

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Q π ≤ 2 x ≤ 3π ,?1 ≤ cos 2 x ≤ 1,∴ 0 ≤ a + b ≤ 2
(2) f ( x ) = 2 sin x + 2 + 2cos 2 x = 2 sin x ? 2cos x = 2 2 sin( x ? 由

π
4

)

π
4

≤ x?

π
4



5π 3π ,得当 x = 时, f ( x ) 取得最小值-2 4 2
1 1 1 C2C3C2 3 = ; 1 1 C5 C4 5

18.(理)解答:(1)随机变量 ξ 可取的值为 2, 3, 4, P (ξ = 2) = 理

P (ξ = 3) =

1 1 P22C 3 + P32C 2 P 3C 1 3 1 = ; P (ξ = 4) = 1 31 2 1 = ; 1 1 1 1 C5C4C3 10 C 5 C 4 C 3 C 2 10

得随机变量 ξ 的概率分布律为:

x
P (ξ = x )
(2)随机变量 ξ 的数学期望为: Eξ = 2 ?

2
3 5

3
3 10

4
1 10

3 3 1 5 + 3? + 4? = ; 5 10 10 2 3 3 1 9 2 2 随机变量 ξ 的方差为: Dξ = ( 2 ? 2.5) ? + (3 ? 2.5) ? + (4 ? 2.5) 2 ? = 5 10 10 20
1 1 1 C 2 C3 C 2 3 = 1 1 5 C5 C 4

(文)解:(1) p(2次) 文 =

= (2) p(2次)

3 3 1 , p (3次) = ,p (4次) = ,故摸球 2 次后停止摸球的概率较大。 5 10 10

19.解答: 19. : (1)取 AC 的中点 H,连 MH,则 MH//PA,所以 MH⊥平面 ABCD,过 H 作 HN⊥AD 于 N,连 MN,由三 垂线定理可得 MN⊥AD, 则∠MNH 就为所求的二面角的平面角。 AH =

1 2 1 2 AC = , MH = PA = . 2 2 2 2 2 1 AH = . 2 2 MH = 2. HN

在 Rt△ANH 中, HN = AN =

则在 Rt△MHN 中, tan ∠MNH =

故所示二面角的大小为 arctan 2 .

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(2)若 AM⊥MD,又因为 PA=AC= 2 ,M 为 PC 的中点, 则 AM⊥PC,所以 AM⊥平面 PCD,则 AM⊥CD。 AM 在平面 ABCD 的射影为 CD,由三垂线定理可知其等价于 AC⊥CD, 此时△ACD 为等腰直角三角形,所以 AD= 2 AC=2。

20(理)解答: (1)由已知 S 2 = 2 S1 + 1 ,即 a1 + a 2 = 2a1 + 1, a 2 = 1

S 3 = 2 S 2 + 3 ,即 a1 + a 2 + a 3 = 2(a1 + a 2 ) + 3, 有 a 3 = 4
1 1 n(n + 1) ,有 S n = 2 S n ?1 + (n ? 1)n(n ≥ 2) 2 2 1 1 ∴ S n +1 ? S n = 2( S n ? S n ?1 ) + n(n + 1) ? n(n ? 1) , 2 2


S n+1 = 2 S n +

即 a n +1 = 2a n + n, ( n ≥ 2)

同时, a 2 = 2a1 + 1 = 1,

∴ an +1 = 2an + n, (n ∈ N *)
(2)由(1) a n +1 = 2a n + n ,有 a n + 2 = 2a n +1 + n + 1 :

∴ a n + 2 ? a n +1 = 2(a n+1 ? a n ) + 1
(3)由(2) bn +1 + 1 = 2(bn + 1) : 而 b1 + 1 = a 2 ? a1 + 1 = 2 ,

即bn +1 = 2bn + 1

∴{bn + 1} 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,
∴ bn + 1 = 2 ? 2 n ?1 = 2 n , bn = 2 n ? 1
即 a n +1 ? a n = 2 ? 1 ,而 a n +1 = 2a n + n ,
n

有: 2a n + n ? a n = 2 ? 1,
n

∴ a n = 2 n ? n ? 1(n ∈ N *)
(文)解答: (1) a 2 = 2a1 + 1 = 1, a3 = 2a 2 + 2 = 4 证明:Q ?

?a n + 2 = 2a n +1 + n + 1 ?a n +1 = 2a n + n

∴ a n + 2 ? a n +1 = 2(a n+1 ? a n ) + 1

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(2)Q bn +1 = 2bn + 1 而 b1 + 1 = a 2 ? a1 + 1 = 2 ,

∴ bn+1 + 1 = 2(bn + 1)

∴{bn + 1} 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列;
(3)由(2)可知: bn + 1 = 2 ? 2
n n ?1

= 2 n , bn = 2 n ? 1

即 a n +1 ? a n = 2 ? 1 ,而 a n +1 = 2a n + n , 有: 2a n + n ? a n = 2 ? 1,
n

∴ a n = 2 n ? n ? 1(n ∈ N *)
21.( (I) f ′( x ) = x + 21.(理)解答:

1 + a ? 4. x

Q f ( x)在(1,+∞)上是增函数,
1 1 + a ? 4 ≥ 0在(1,+∞)上恒成立, 即a ≥ 4 ? ( x + )恒成立. x x 1 Q x + ≥ 2(当且仅当x = 1时, 等号成立), x 1 ∴ 4 ? ( x + ) < 2. x ∴x+
所以 a ≥ 2. (II)设 t = e x , 则g (t ) = t 2 ? 2at + a = (t ? a ) 2 + a ? a 2

Q 0 ≤ x ≤ ln 3,∴1 ≤ t ≤ 3.
(1)当 2 ≤ a ≤ 3 时, g (t ) 最小值为 a ? a ;
2

(2)当 a ≥ 3 时, g (t ) 最小值为 9 ? 5a 。 (1) f ′( x ) = 3mx 2 ? 6(m + 1) x + 3m + 6 (文)解答: 根据题意,0,1 是关于 x 的方程 3mx 2 ? 6( m + 1) x + 3m + 6 = 0 的两根

∴ m = ?2
(2)由已知,当 x ∈ [ ?1,1]时, f ′( x) > 3m,

∴ mx 2 ? 2(m + 1) x + 2 > 0

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又 m<0,要使 g ( x) = mx ? 2( m + 1) x + 2 > 0在x ∈ [ ?1,1] 上恒成立
2

只需满足 ?

? g (?1) > 0 4 , 解得 ? < m < 0 3 ? g (1) > 0
5 1 , | PN |= r + 2 2

22.解答: (1)设动圆 P 的半径为 r,则 | PM |= r +

相减得|PM|—|PN|=2 由双曲线定义知,点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,焦距为 4,实轴长为 2 的双曲线右支 其双曲线方程为 x ?
2

y2 = 1( x ≥ 1) 3

(2)当 a ≠

π
2

时 ,设直线 l 的斜率为 k

? y = k ( x ? 2) ? (3 ? k 2 ) x 2 + 4k 2 x ? 4k 2 ? 3 = 0 ? 2 2 ?3x ? y = 3
?? > 0 ? 2 由 ? x1 + x 2 > 0 ? k > 3 ?x x > 0 ? 1 2
设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 则 AM = ( ?2 ? x1 ,? y1 ), BM = ( ?2 ? x 2 ,? y 2 )

AM ? BM = (?2 ? x1 )(?2 ? x 2 ) + y1 y 2 = 4 + 2( x1 + x 2 ) + x1 x 2 + k 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)
= 7k 2 ? 9 12 =7+ 2 >7 2 k ?3 k ?3

当α =

π
2

时, x1 = x 2 = 2 ? y1 = 3, y 2 = ?3.

∴ AM = (?4,?3), BM = (?4,3) ? AM ? BM = 7
综合得 AM ? BM ≥ 7


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