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高中数学精讲精练导数的几何意义ppt课件_图文

1.1.3 导数的几何意义 导数的定义 一般地,函数y =f ( x)在x ? x0处的瞬时变化率是 f (x 0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim lim ?x ?x ? 0 ?x ?x ? 0 我们称它为函数y ? f (x)在x ? x0处的导数, 记作f ?( x0 )或y ' x ? x0 ,即 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?x ?0 ?x ?x ?0 学习目标: 1.理解函数切线的定义,掌握函数导数的几何意义 2.会用函数导数的几何意义求解曲线在某点处的切 线方程 自主学习(12min) 阅读教材P7到例2之前的内容,理解导数的几何意义,并完成下 列题目: 1.求曲线y =x ? 1在点? ?2,3? 处的切线的斜率, 2 并写出切线方程。 ? 2.求在曲线y =x 上切线倾斜角为 的点的坐标。 4 合作交流(课本第7页观察部分) 2 当点Pn ? xn , f ? xn ? ? ? n ? 1, 2,3, 4 ? 沿着曲线f ? x ? 趋近 于点P ? x0 , f ? x0 ? ? 时,割线PPn的变化趋势是什么? 当点Pn ? xn , f ? xn ? ? ? n ? 1, 2,3, 4 ? 沿着曲线f ? x ? 趋近 于点P ? x0 , f ? x0 ? ? 时,割线PPn的变化趋势是什么? P1 P2 T P T P P3 T P4 P T P 当点Pn 趋近于点P时,割线PPn 趋近于确定的位置, 这个确定位置的直线PT称为点P处的切线。 合作交流 易知,割线PPn的斜率是 f ? xn ? ? f ? xn ? kn = xn ? x0 当点Pn无限趋近于点P时,k n的斜率无限趋近于 切线PT的斜率。因此,函数f (x)在 x ? x 0 处的导 数就是PT的斜率k,则 f (x 0 ? ? x) ? f (x 0 ) k PT ? lim ? f ?(x 0 ) ?x ?x ? 0 自 并写出切线方程。 主 解 : ?y ? f (?2 ? ?x) ? f (?2) 学 ? [(?2 ? ?x) 2 ? 1] ? [(?2) 2 ? 1] 习 ? ?x 2 ? 4?x 反 ?y ?x 2 ? 4?x ? ?x ? 4 馈 ?x ? ?x 1.求曲线y=x 2 -1在点(-2,3)处的切线的斜率, ?y f ?( ?1)= lim ? lim ( ?x ? 4) ? ?4 ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ? k ? ?4 ? 切线方程为y ? 3 ? ?4( x ? 2) 即4 x ? y ? 5 ? 0 π 2.求在曲线y=x 上切线倾斜角为 的点的坐标。 4 2 解 : 设这点的坐标为(x0 ,y0 ) ?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? ( x0 ? ?x ) 2 ? x0 2 ? ?x 2 ? 2 x0 ?x ?x 2 ? 2 x0 ?x ?y ? ? ?x ? 2 x0 ?x ?x ?y f ?( x0 )= lim ? lim ( ?x ? 2 x0 ) ? 2 x0 ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ? 1 k ? tan ? 1? 2 x0 ? 1解得x0 ? 4 2 1 2 1 ? y0 ? ( ) ? 2 4 1 1 ? 这点的坐标为( , ) 2 4 思考: 知道点的坐标如何求曲线在这点处的切线方程? 反过来,知道切线方程(斜率)如何求点的坐标? [例 2] ? 8? 1 3 已知曲线 y=3x 上一点 P?2,3?,求: ? ? (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. [ 分析 ] 求函数 f(x) 图象上点 P 处的切线方程的步骤:先求 出函数在点(x0,y0)处的导数f′(x0)(即过点P的切线的斜率) ,再用点斜式写出切线方程. [解析] 1 3 (1)∵y=3x , 1 1 3 3 3(x+Δx) -3x Δy ∴y′=Δ lim lim x→0 Δx=Δ x→0 Δx 3x2Δx+3xΔx2+Δx3 1 =3Δ lim x→0 Δx 1 2 2 2 = Δ lim (3 x + 3 x Δ x + Δ x ) = x , 3 x→0 y′|x=2=22=4. ∴点 P 处的切线的斜率等于 4. (2)在点 P 处的切线方程是 8 y-3=4(x-2), 即 12x-3y-16=0. [点评] 一般地,设曲线C是函数y=f(x)的图象,点P(x0,y0) 是曲线 C 上的定点,点 Q(x0 + Δx , y0 + Δy) 是 C 上与 P 邻近 的点,有y0=f(x0),y0+Δy=f(x0+Δx), Δy=f(x0+Δx)-f(x0), Δy f(x0+Δx)-f(x0) 割线 PQ 的斜率为 k1=Δx= Δx 切 线 PT 的 斜 率 为 k = li Δm x→0 f(x0+Δx)-f(x0) , Δx 从而说明了导数的几何意义为该点处的导数值, 即为 该点处切线的斜率. Δy x→0 Δx = li Δm 当堂训练(8min) 1 2 2 1.函数f ( x)= x , 则f ?(2)等于_______ 2 2.曲线y=x2在点P处切线的斜率为-2时,P点坐标为 ( A ) A.(-1,1) C.(1,1) B.(-1,1)或(1,1) D.(-2,4) 1 3.已知函数 f(x) ? , 求 f(x)在(1,1)处的切线方程。 x X+y-2=0 作业: 已知函数f ( x) ? x ? 2 x, 求曲线f ( x)在点(1,3)处的 2 切线的斜率,并写出切线方程。 1.1.3 导数的几何意义 (第二课时) 教学目标 1.理解“以直代曲”思想。 2.掌握导

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