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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案68 离散型随机变量的均值与方差


学案 68

离散型随机变量的均值与方差

导学目标: 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散型 随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.

自主梳理 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

(1)均值 称 E(X)=____________________________________为随机变量 X 的均值或___________, 它反映了离散型随机变量取值的____________. (2)方差 称 D(X)=__________________________为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量 X 与其 均值 E(X)的______________,其________________________为随机变量 X 的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=____________. (2)D(aX+b)=____________.(a,b 为实数) 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布,则 E(X)=____,D(X)=_____________________________. (2)若 X~B(n,p),则 E(X)=______,D(X)=____________. 自我检测 1.若随机变量 X 的分布列如下表,则 E(X)等于( ) X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x 1 1 20 9 A. B. C. D. 18 9 9 20 2.(2011· 菏泽调研)已知随机变量 X 服从二项分布,且 E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分 布的参数 n,p 的值为( ) A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1 3.(2010· 全国)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种 子,每粒需要再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( ) A.100 B.200 C.300 D.400 4.(2011· 浙江)某毕业生参加人才招聘会, 分别向甲、 乙、丙三个公司投递了个人简历.假 2 定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ,得到乙、丙两公司面试的概率均为 p,且三个公司是 3 1 否让其面试是相互独立的,记 X 为该毕业生得到面试的公司个数.若 P(X=0)= ,则随机变 12 量 X 的数学期望 E(X)=________. 5.(2011· 杭州月考)随机变量 ξ 的分布列如下: ξ 0 1 -1 P a b c 1 其中 a,b,c 成等差数列.若 E(ξ)= ,则 D(ξ)=________. 3

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探究点一 离散型随机变量的期望与方差 例 1 袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n= 1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ 表示所取球的标号. (1)求 ξ 的分布列、期望和方差; (2)若 η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求 a,b 的值.

变式迁移 1 编号 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个座位, 每位学生坐一个座 位,设与座位编号相同的学生的个数是 X. (1)求随机变量 X 的分布列; (2)求随机变量 X 的数学期望和方差.

探究点二 二项分布的期望与方差 例 2 (2011· 黄山模拟)A、 B 是治疗同一种疾病的两种药, 用若干试验组进行对比试验. 每 个试验组由 4 只小白鼠组成,其中 2 只服用 A,另 2 只服用 B,然后观察疗效.若在一个试验 组中,服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白 2 1 鼠服用 A 有效的概率为 ,服用 B 有效的概率为 . 3 2 (1)求一个试验组为甲类组的概率; (2)观察 3 个试验组,用 ξ 表示这 3 个试验组中甲类组的个数,求 ξ 的分布列和数学期望.

变式迁移 2 某学生在上学路上要经过 4 个路口, 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立 1 的,遇到红灯的概率都是 ,遇到红灯时停留的时间都是 2 min. 3 (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ξ 的分布列及期望.

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探究点三 离散型随机变量期望与方差的应用 例 3 购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投保人在购买保 险的一年度内出险,则可以获得 10 000 元的赔偿金.假定在一年度内有 10 000 人购买了这种 保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的 概率为 1- 0.999 . (1)求一投保人在一年度内出险的概率 p; (2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为保证盈利的期望不小 于 0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).
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变式迁移 3 因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受损,为此有关专家提出两种拯救果树的 方案,每种方案都需分两年实施.若实施方案一,预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、 0.9 倍、 0.8 倍的概率分别是 0.3、 0.3、 0.4; 第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5.若实施方案二,预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的 1.2 倍、1.0 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5;第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.2 倍、 1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立,令 ξi(i=1,2)表示方案 i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数. (1)写出 ξ1、ξ2 的分布列; (2)实施哪种方案,两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大? (3)不管哪种方案,如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量,预计利 润分别为 10 万元、15 万元、20 万元.问实施哪种方案的平均利润更大?

1.若 η=aξ+b,则 E(η)=aE(ξ)+b,D(η)=a2D(ξ). 2.若 ξ~B(n,p),则 E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p). 3. 求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有: (1)已知随机变量的分布列求它的期望、 方差和标准差,可直接按定义(公式)求解;(2)已知随机变量 ξ 的期望、方差,求 ξ 的线性
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函数 η=aξ+b 的期望、方差和标准差,可直接用 ξ 的期望、方差的性质求解;(3)如能分 析所给随机变量, 是服从常用的分布(如两点分布、 二项分布等), 可直接利用它们的期望、 方差公式求解.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1. (2011· 福州质检)已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下, 且 E(ξ)=6.3, 则 a 的值为( ) ξ 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5 B.6 C.7 D.8 2.设 ξ~B(n,p),若有 E(ξ)=12,D(ξ)=4,则 n、p 的值分别为( ) 2 1 1 1 A.18, B.16, C.20, D.15, 3 2 6 4 3.随机变量 X 的分布列为 X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 则 E(5X+4)等于( ) A.15 B.11 C.2.2 D.2.3 4.设掷 1 枚骰子的点数为 ξ,则( ) 35 2 A.E(ξ)=3.5,D(ξ)=3.5 B.E(ξ)=3.5,D(ξ)= 12 35 C.E(ξ)=3.5,D(ξ)=3.5 D.E(ξ)=3.5,D(ξ)= 16 2 5.(2011· 成都调研)已知抛物线 y=ax +bx+c (a≠0)的对称轴在 y 轴的左侧,其中 a、b、 c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量 ξ 为“|a-b|的取值”,则 ξ 的数 学期望 E(ξ)为( ) 8 3 2 1 A. B. C. D. 9 5 5 3 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 上海)马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布列如下表: x 1 2 3 P(ξ=x) ? ! ? 请小牛同学计算 ξ 的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊, 但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 E(ξ)=____________. 7 . (2011· 泰安模拟 ) 设离散型随机变量 X 的可能取值为 1,2,3,4.P(X = k) = ak + b(k = 1,2,3,4).又 X 的均值 E(X)=3,则 a+b=________. 8. 两封信随机投入 A、 B、 C 三个空邮箱, 则 A 邮箱的信件数 X 的数学期望 E(X)=________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(2011· 江西)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一次测试,以便确定工资 级别.公司准备了两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯都选对, 则月工资定为 3 500 元; 若 4 杯选对 3 杯, 则月工资定为 2 800 元; 否则月工资定为 2 100 元. 令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数.假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求 X 的分布列; (2)求此员工月工资的期望.

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10.(12 分)(2011· 山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A、 乙对 B、丙对 C 各一盘.已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5.假设各盘比 赛结果相互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率; (2)用 ξ 表示红队队员获胜的总盘数,求 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ).

11.(14 分)现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资十万元,一年后利润是 1.2 万元、1.18 1 1 1 万元、1.17 万元的概率分别为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调 6 2 3 整中,价格下降的概率都是 p(0<p<1).设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整,记 乙项目产品价格在一年内的下降次数为 ξ,对乙项目投资十万元,ξ 取 0、1、2 时,一年后相 应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 ξ1、ξ2 分别表示对甲、乙两项目各投资十 万元一年后的利润. (1)求 ξ1、ξ2 的概率分布和数学期望 E(ξ1)、E(ξ2); (2)当 E(ξ1)<E(ξ2)时,求 p 的取值范围.

学案 68
自主梳理

离散型随机变量的均值与方差
n i 1

1. (1)x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn 数学期望 平均水平 (2)∑ (xi-E(X))2pi 平均偏 = 离程度 算术平方根 D?X? 2.(1)aE(X)+b 3.(1)p p(1-p) (2)np np(1-p) (2)a2D(X)

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自我检测 1.C 2.B 3.B 5 4. 3 1 1 1 解析 由题意知 P(X=0)= (1-p)2= ,∴p= . 3 12 2 随机变量 X 的分布列为: X 0 1 2 3 1 1 5 1 P 12 3 12 6 1 1 5 1 5 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 12 3 12 6 3 5 5. 9 课堂活动区 例 1 解题导引 要求期望,需先求出分布列,要求分布列,需先求随机变量取每个值 的概率,而求概率离不开常见事件概率的计算方法.第(2)小题注意性质 E(aξ+b)=aE(ξ)+b, D(aξ+b)=a2D(ξ)的应用. 解 (1)ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 1 1 1 3 1 P 2 20 10 20 5 1 1 1 3 1 ∴E(ξ)=0× +1× +2× +3× +4× =1.5. 2 20 10 20 5 1 1 3 1 2 1 2 D(ξ)=(0-1.5) × +(1-1.5) × +(2-1.5)2× +(3-1.5)2× +(4-1.5)2× =2.75. 2 20 10 20 5 (2)由 D(η)=a2D(ξ),得 a2×2.75=11,即 a=± 2. 又 E(η)=aE(ξ)+b, 所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4. ? ? ?a=2, ?a=-2, ∴? 或? ?b=-2 ?b=4 ? ? 2 1 变式迁移 1 解 (1)P(X=0)= 3= ; A3 3 C1 1 1 1 3 P(X=1)= 3= ;P(X=3)= 3= . A3 2 A3 6 ∴随机变量 X 的分布列为 X 0 1 3 1 1 1 P 3 2 6 1 1 1 (2)E(X)=0× +1× +3× =1. 3 2 6 1 1 1 D(X)=(1-0)2× +(1-1)2× +(3-1)2× =1. 3 2 6 例 2 解题导引 (1)准确理解事件“甲类组”的含义,把“甲类组”这一复杂事件用几 个互斥的基本事件的和来表示; (2)第(2)小题首先判断随机变量 ξ 服从二项分布,再求其分布列和均值. 解 (1)设 Ai 表示事件“一个试验组中,服用 A 有效的小白鼠有 i 只”,i=0,1,2, Bi 表示事件“一个试验组中,服用 B 有效的小白鼠有 i 只”,i=0,1,2. 依题意有 1 2 4 2 2 4 P(A1)=2× × = ,P(A2)= × = . 3 3 9 3 3 9

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1 1 1 1 1 1 P(B0)= × = ,P(B1)=2× × = . 2 2 4 2 2 2 所求的概率为 P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2) 1 4 1 4 1 4 4 = × + × + × = . 4 9 4 9 2 9 9 4? (2)ξ 的可能值为 0,1,2,3,且 ξ~B? ?3,9?. 5?3 125 P(ξ=0)=? ?9? =729, 4 ?5?2 100 P(ξ=1)=C1 , 3× × 9 = 9 ? ? 243 ?4?2 5 80 , P(ξ=2)=C2 3× 9 × = ? ? 9 243 4?3 64 P(ξ=3)=? ?9? =729. ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 125 100 80 64 P 729 243 243 729 125 100 80 64 4 数学期望 E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . 729 243 243 729 3 变式迁移 2 解 (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A.因为 事件 A 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”, 所以事件 A 的概率为 1? ? 1? 1 4 P(A)=? ?1-3?×?1-3?×3=27. (2)由题意可得,ξ 的可能取值为 0,2,4,6,8(单位:min).事件“ξ=2k”等价于事件“该学 ?1?k?2?4-k (k=0,1,2,3,4). 生在上学路上遇到 k 次红灯”(k=0,1,2,3,4),所以 P(ξ=2k)=Ck 4 3 ? ? ?3? 即 ξ 的分布列是 ξ 0 2 4 6 8 16 32 8 8 1 P 81 81 27 81 81 所以 ξ 的期望是 16 32 8 8 1 8 E(ξ)=0× +2× +4× +6× +8× = . 81 81 27 81 81 3 例 3 解题导引 各投保人是否出险互相独立, 且出险的概率都是 p, 投保人中出险人数 ξ~B(104,p),进而利用二项分布的有关性质求解. 解 各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是 p,记投保的 10 000 人中出险的人 数为 ξ,则 ξ~B(104,p). (1)记 A 表示事件:保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金,则 A 发生当且仅当 ξ= 0, P(A)=1-P( A )=1-P(ξ=0)=1-(1-p)104, 又 P(A)=1-0.999104,故 p=0.001. (2)该险种总收入为 10 000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和.支出 10 000ξ+50 000. 盈利 η=10 000a-(10 000ξ+50 000), 盈利的期望为 E(η)=10 000a-10 000E(ξ)-50 000, - - 由 ξ~B(104,10 3)知,E(ξ)=10 000×10 3, E(η)=104a-104E(ξ)-5×104 - =104a-104×104×10 3-5×104. E(η)≥0?104a-104×10-5×104≥0
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?a-10-5≥0?a≥15(元). 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元. 变式迁移 3 解 (1)ξ1 的所有取值为 0.8、0.9、1.0、1.125、1.25, ξ2 的所有取值为 0.8、0.96、1.0、1.2、1.44. ξ1、ξ2 的分布列分别为: ξ1 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15 ξ2 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08 (2)令 A、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件, P(A)=0.15+0.15=0.3, P(B)=0.24+0.08=0.32. 可见,方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大. (3)令 η 表示方案 i 的预计利润,则 η1 10 15 20 P 0.35 0.35 0.3 η2 10 15 20 P 0.5 0.18 0.32 所以 E(η1)=14.75,E(η2)=14.1, 可见,方案一的预计利润更大. 课后练习区 1.C [由分布列性质知:0.5+0.1+b=1, ∴b=0.4. ∴E(ξ)=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3. ∴a=7.] 2.A [E(ξ)=np=12,D(ξ)=np(1-p)=4. 4 1 2 ∴1-p= = ,∴p= ,∴n=18.] 12 3 3 3.A [∵E(X)=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2, ∴E(5X+4)=5E(X)+4=11+4=15.] 1 1 1 1 1 1 4.B [E(ξ)=1× +2× +3× +4× +5× +6× =3.5, 6 6 6 6 6 6 1 35 D(ξ)= [(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2]= .] 6 12 1 1 5.A [对称轴在 y 轴的左侧(a 与 b 同号)的抛物线有 2C1 3C3C7=126 条,ξ 的可取值有 0、 6×7 1 8×7 4 4×7 2 1、2,P(ξ=0)= = ,P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= = , 126 3 126 9 126 9 1 4 2 8 E(ξ)=0× +1× +2× = .] 3 9 9 9 6.2 解析 设“?”处的数值为 x,则“!”处的数值为 1-2x,则 E(ξ)=1· x+2×(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2. 1 7. 10 解析 离散型随机变量 X 的可能取值为 1,2,3,4. P(X=k)=ak+b (k=1,2,3,4),所以 (a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即 10a+4b=1, 又 X 的均值 E(X)=3,则(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=3,即 30a+10b=3,∴ 1 a= ,b=0, 10

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1 ∴a+b= . 10 2 8. 3 1 1 2 2, ?,∴E(X)=2× = . 解析 由题意知 X~B? ? 3? 3 3 9.解 (1)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.(2 分) 4-i Ci4C4 P(X=i)= 4 (i=0,1,2,3,4).(4 分) C8 即 X 0 1 2 3 4 1 8 18 8 1 P 70 35 35 35 70 (6 分) (2)令 Y 表示此员工的月工资,则 Y 的所有可能取值为 2 100,2 800,3 500.(8 分) 1 则 P(Y=3 500)=P(X=4)= , 70 8 P(Y=2 800)=P(X=3)= , 35 53 P(Y=2 100)=P(X≤2)= . 70 1 8 53 E(Y)=3 500× +2 800× +2 100× =2 280.(10 分) 70 35 70 所以此员工月工资的期望为 2 280 元.(12 分) 10.解 (1)设甲胜 A 的事件为 D,乙胜 B 的事件为 E,丙胜 C 的事件为 F,则 D , E , F 分别表示甲不胜 A,乙不胜 B,丙不胜 C 的事件. 因为 P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 由对立事件的概率公式知 P( D )=0.4,P( E )=0.5, P( F )=0.5.(2 分) 红队至少两人获胜的事件有:DE F ,D E F, D EF,DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,(4 分) 因此红队至少两人获胜的概率为 P=P(DE F )+P(D E F)+P( D EF)+P(DEF) =0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55.(6 分) (2)由题意知 ξ 可能的取值为 0,1,2,3.(8 分) 又由(1)知 D E F, D E F ,D E F 是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立,(9 分) 因此 P(ξ=0)=P( D P(ξ=1)=P( D E F )=0.4×0.5×0.5=0.1, F) E F)+P( D E F )+P(D E

=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5 =0.35, P(ξ=3)=P(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15. 由对立事件的概率公式得 P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=0.4.(11 分) 所以 ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 因此 E(ξ)=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.(12 分)
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11.解

(1)ξ1 的概率分布为 ξ1 P 1.2 1 6 1.18 1 2 1.17 1 3

1 1 1 E(ξ1)=1.2× +1.18× +1.17× =1.18. 6 2 3 (3 分) 由题设得 ξ~B(2,p),即 ξ 的概率分布为 ξ 0 1 2 2 P p2 (1-p) 2p(1-p) (5 分) 故 ξ2 的概率分布为 ξ2 1.3 1.25 0.2 P p2 (1-p)2 2p(1-p) 2 所以 ξ2 的数学期望是 E(ξ2)=1.3×(1-p) +1.25×2p(1-p)+0.2×p2=1.3×(1-2p+p2)+ 2.5×(p-p2)+0.2×p2=-p2-0.1p+1.3.(8 分) (2)由 E(ξ1)<E(ξ2),得-p2-0.1p+1.3>1.18,整理得(p+0.4)(p-0.3)<0, 解得-0.4<p<0.3.因为 0<p<1,所以, 当 E(ξ1)<E(ξ2)时,p 的取值范围是 0<p<0.3.(14 分)

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