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直线、平面平行的判定与性质


直线、平面平行的判定与性质
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高中数学 通用

适用年级

高一

课时时长(分钟) 60

线面平行的判定;面面平行的判定 线面平行的性质;面面平行的性质 平行关系的综合问题

教学目标

1.掌握空间直线与平面平行,面面平行的判定及其性质; 2.掌握线面的平行关系的证明; 3.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化

教学重点 教学难点

线线、线面、面面平行的相互转换 平行关系的证明之间的相互转换
1

教学过程
一、课堂导入

问题:直线、平面平行的判定与性质分别是什么?

2

二、复习预习
1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误. 2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再 到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定, 决不可过于“模式化”. 3.解题中注意符号语言的规范应用.

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三、知识讲解
考点 1 平行直线
(1)平行公理: 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行. (2)基本性质 4(空间平行线的传递性): 平行于同一条直线的两条直线互相平行. (3)定理: 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等. (4)空间四边形: 顺次连接不共面的四点 A、B、C、D 所构成的图形,叫做空间四边形.

4

考点 2 直线与平面平行的判定与性质

判定 定理 图形 条件 结论 a∩α=? a∥α a? α, b? α, a∥b b∥α a∥α a∩α=? 定义

性质

a∥α, a? β, α∩β=b a∥b

5

考点 3 面面平行的判定与性质

判定 定义 图形 定理

性质

条件

α∩β=?

a? β, b? β, a∩b α∥β,α∩γ=a, =P, a∥α, b∥α α∥β β∩γ=b a∥b

α∥β,a? β

结论

α∥β

a∥α

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四、例题精析
考点一直线与平面平行的判定与性质 例 1 如图,几何体 E-ABCD 是四棱锥,△ABD 为正 三角形,CB=CD,EC⊥BD. (1)求证:BE=DE; (2)若∠BCD=120° ,M 为线段 AE 的中点,求证:DM∥平面 BEC.

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【规范解答】(1)如图,取 BD 的中点 O,连接 CO,EO. 由于 CB=CD,所以 CO⊥BD.又 EC⊥BD,EC∩CO=C, CO,EC? 平面 EOC,所以 BD⊥平面 EOC,因此 BD⊥EO. 又 O 为 BD 的中点,所以 BE=DE. (2)如图,取 AB 的中点 N,连接 DM,DN,MN. 因为 M 是 AE 的中点,所以 MN∥BE. 又 MN? 平面 BEC,BE? 平面 BEC,所以 MN∥平面 BEC.又因为△ABD 为正三角形,所以∠BDN=30° . 又 CB=CD,∠BCD=120° ,因此∠CBD=30° .所以 DN∥BC.又 DN?平面 BEC,BC? 平面 BEC, 所以 DN∥平面 BEC.又 MN∩DN=N,所以平面 DMN∥平面 BEC.又 DM? 平面 DMN,所以 DM∥平面 BEC. 【总结与反思】判断或证明线面平行的常用方法:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理 (a? α , b? α , a∥b? a∥α) ; (3) 利用面面平行的性质定理 (α∥β , a? α? a∥β) ; (4) 利用面面平行的性质 (α∥β , a? β , a∥α? a∥β).

8

考点二平面与平面平行的判定与性质 例2 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB, AC,A1B1,A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

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【规范解答】(1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线,∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G 四点共面. (2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点,∴EF∥BC,∵EF?平面 BCHG,BC? 平面 BCHG, ∴EF∥平面 BCHG.∵A1G∥EB,∴四边形 A1EBG 是平行四边形,∴A1E∥GB. ∵A1E?平面 BCHG,GB? 平面 BCHG. ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面 EFA1∥平面 BCHG. 【总结与反思】证明面面平行的方法: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.

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考点三平行关系的综合应用 例3 如图所示,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD,试问截面在什么位置时其截面面积最大?

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【规范解答】∵AB∥平面 EFGH,平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG、EH. ∴AB∥FG,AB∥EH,∴FG∥EH,同理可证 EF∥GH, ∴截面 EFGH 是平行四边形. 设 AB=a,CD=b,∠FGH=α (α 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角). x CG y BG x y b 又设 FG=x,GH=y,则由平面几何知识可得a= BC ,b=BC ,两式相加得a+b=1,即 y=a(a-x), b bsin α ∴S? EFGH=FG· GH· sinα=x· · ( a - x )· sin α = a a x(a-x). ∵x>0,a-x>0 且 x+(a-x)=a 为定值, bsin α absin α a b ∴当且仅当 x=a-x 时, a x(a-x)= 4 ,此时 x=2,y=2. 即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、H 为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时截面面积最大. 【总结与反思】利用线面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置, 对于最值问题,常用函数思想来解决.

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五、课堂运用
【基础】 1、若直线 a 平行于平面 α,则下列结论错误的是 ( A.a 平行于 α 内的所有直线 C.直线 a 上的点到平面 α 的距离相等 )

B.α 内有无数条直线与 a 平行 D.α 内存在无数条直线与 a 成 90° 角

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【规范解答】若直线 a 平行于平面 α,则 α 内既存在无数条直线与 a 平行,也存在无数条直线与 a 异面且垂直,所 以 A 不正确,B、D 正确.又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等,所以 C 正确.故选 A

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2、已知 a,b 是两条不重合的直线,α,β 是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是 ( A.a∥b,b? α,则 a∥α C.a⊥α,b∥α,则 a⊥b B.a,b? α,a∥β,b∥β,则 α∥β D.当 a? α,且 b? α 时,若 b∥α,则 a∥b

)

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【规范解答】A 选项是易错项,由 a∥b,b? α,也可能推出 a? α; B 中的直线 a,b 不一定相交,平面 α,β 也可能相交;C 正确,故选 C

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【巩固】 1、在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 AB,AD 上的点,且 AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又 H,G 分别为 BC,CD 的中 点,则 ( )

A.BD∥平面 EFG,且四边形 EFGH 是平行四边形 B.EF∥平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形 C.HG∥平面 ABD,且四边形 EFGH 是平行四边形 D.EH∥平面 ADC,且四边形 EFGH 是梯形

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1 1 【规范解答】如图,由题意得,EF∥BD,且 EF=5BD.HG∥BD,且 HG=2BD. ∴EF∥HG,且 EF≠HG.∴四边形 EFGH 是梯形.又 EF∥平面 BCD, 而 EH 与平面 ADC 不平行.故选 B.

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2、如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是下底面的棱 A1B1、 a B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP=3,过 P、M、N 的平面交上底面 于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ=________.

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a 【规范解答】∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,∴MN∥PQ.∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,AP=3, a 2a 2 2 ∴CQ=3,从而 DP=DQ= 3 ,∴PQ= 3 a.

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【拔高】 1、平面 α 内有△ABC,AB=5,BC=8,AC=7,梯形 BCDE 的底 DE=2,过 EB 的中点 B1 的平面 β∥α,若 β 分别交 EA、DC 于 A1、C1,求△A1B1C1 的面积.

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【规范解答】∵α∥β,∴A1B1∥AB,B1C1∥BC, 又因∠A1B1C1 与∠ABC 同向.∴∠A1B1C1=∠ABC. 52+82-72 1 又∵cos∠ABC= 2× =∠A1B1C1. 5× 8 =2,∴∠ABC=60° 又∵B1 为 EB 的中点,∴B1A1 是△EAB 的中位线, 1 5 ∴B1A1=2AB=2, 同理知 B1C1 为梯形 BCDE 的中位线, 1 ∴B1C1=2(BC+DE)=5. 1 则 S△A1B1C1=2A1B1· B1C1· sin 60° 15 3 25 = ·· 5· = 3. 22 2 8 25 故△A1B1C1 的面积为 8 3.

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2、如图,四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,PD=DC=4,AD=2,E 为 PC 的中点. (1)求三棱锥 A—PDE 的体积; (2)AC 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由.

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【规范解答】(1)因为 PD⊥平面 ABCD,所以 PD⊥AD. 又因 ABCD 是矩形,所以 AD⊥CD. 因 PD∩CD=D,所以 AD⊥平面 PCD,所以 AD 是三棱锥 A—PDE 的高. 因为 E 为 PC 的中点,且 PD=DC=4, 1 1 ?1 ? 4× 4?=4. ?2× 所以 S△PDE=2S△PDC=2× ? ? 1 1 8 又 AD=2,所以 VA—PDE=3AD· S△PDE=3× 2× 4=3. (2)取 AC 中点 M,连接 EM,DM,因为 E 为 PC 的中点,M 是 AC 的中点,所以 EM∥PA. 又因为 EM? 平面 EDM,PA? 平面 EDM,所以 PA∥平面 EDM. 1 所以 AM=2AC= 5. 即在 AC 边上存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM,AM 的长为 5.

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课程小结
1.平行问题的转化关系

2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质. 3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a⊥α,a⊥β?α∥β.

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