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18x21 人教版高中数学《必修1》第二章


人教版高中数学《必修 1》新课导学案

§2.1.1 指数与指数幂的运算(1)——根式及其性质
学习目标: 了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式 的概念 学习重点: 掌握 n 次方根的求解. 学习难点: 理解根式的概念,了解指数函数模型的应用背景

【课内导学】 预习导引:
1、提问:正方形面积公式?正方体的体积公式?( a 2 、 a 3 ) 2、回顾初中根式的概念:如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的平方根;如果 一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的立方根. ,记法: a ,
3

a

【课内探究】
1.指数函数模型应用背景: ①探究下面实例,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数函数的必要性. 实例 1:某市人口平均年增长率为 1.25℅,1990 年人口数为 a 万,则 x 年后人口数为 多少万?

实例 2: 给一张报纸,先实验最多可折多少次(8 次) ②小结:实践中存在着许多指数函数的应用模型,如人口问题、银行存款、生物变化、 自然科学. 2.根式的概念及运算: ① (?2)2 ? 4 , ?2 就叫 4 的平方根; 33 ? 27 ,3 就叫 27 的立方根. 探究: (?3)4 ? 81 , ?3 就叫做 81 的?次方根, 依此类推,若 xn ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. ② 定义 n 次方根:一般地,若 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n ? 1 , n ? ?? , 简记: n a .例如: 23 ? 8 ,则 3 8 ? 2 .
1

第二章 基本初等函数

③讨论: 当 n 为奇数时,n 次方根情况如何?, 例如:3 27 ? 3 ,3 ?27 ? ?3 , 记:x ? n a . 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根情况?例如 : (?3)4 ? 81 , 81 的 4 次方根就是

?3 .记: ? n a
强调:负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0, 即. n 0 ? 0 ④练习: b4 ? a ,则 a 的 4 次方根为
n

; b3 ? a ,则 a 的 3 次方根为
n n



⑤ 定义根式:像 a 的式子就叫做根式, 这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. ⑥ 计算 ( 2 3) 2 、 3 43 、 n (?2) n → 探究: ( n a ) n 、 a 的意义及结果? (特殊到一般)

结论: (1) ( n a )n ? a .当 n 是奇数时, (2) a
n
n n

? a ;当 n 是偶数时

?a (a ? 0) a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

【例题分析】
例 1:求下列各式的值:

(1)

3

(?8)3 ;

(2)

? ( 120; ) (3)

4

(3 ? ? ) 4 ; (4)

( a ? b) 2 .

【课后导练】
1.计算或化简: 5 ?32 ; 3 a 6 (推广:
np

a mp ? n a m , a ? 0) .

2、 化简: (1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ; (2) 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12

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3、求值化简:① 3 (?a)3 ; ② 4 (?7) 4 ; ③ 6 (3 ? ? )6 ;④ 2 (a ? b) 2 ( a ? b )

2.1.1 指数与指数幂的运算(2)——指数幂及其运算
学习目标: 正确理解分数指数幂的概念,掌握根式与分数指数幂的互化,掌握有理数指数幂的 运算. 学习重点: 有理数指数幂的运算. 学习难点: 有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义.

【课内导学】
(一)预习导引 1.什么叫根式?→根式运算性质:

( n a ) n =?、 a =?、 a mp =? 2.分数指数幂如何定义?运算性质?
3.计算下列各式的值: ( 2 ?b )2 ; ( 3 ?5)3 ; 2 34 , 5 a10 , 3 79

n

n

np

4.基础习题练习: (口答下列基础题) ? ? _____ ? x ? 0 ? n ①n为 时, x n ?| x |? ? . ? ? _____( x ? 0) ②求下列各式的值:
3 ① 26 ;

② 4 16 ; ⑥
4

③ 6 81 ; ⑦
6

2 ④ 6 ( ?2) ;

⑤ 15 ? 32 ;

x8 ;

a 2b 4 .

3

第二章 基本初等函数

【课内探究】
1.分数指数幂概念及运算性质: ① 引例: a > 0 时,
5

a10 ? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a 5 → 3 a12 ? ? ;
m n

10

3

a 2 ? (a 3 ) 3 ? a 3 →
? m n

3

2

2

a ??.

②定义分数指数幂: 规定: a

? n am (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) ; a

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

2、无理指数幂(课本不作要求)

(二)例题分析
例 1、 (1)将下列根式写成分数指数幂形式:① n a m (a ? 0, m, n ? N ?n ? 1) ;② 2 35 ; ③ 3 54
2 2 4 3 5 2

(2)求值:① 27 3 ;② 5 5 ;③ 6

?

;④ a

?



讨论:0 的正分数指数幂?0 的负分数指数幂? 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那 么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 指数幂的运算性质:设 a ? 0, b ? 0, r , s ? Q ①a ·a ? a
r r
r s rs r r

r ?s



② (a ) ? a ; ③ (ab) ? a a .
s

例 2、求下列各式的值: ① 8 ;② 25 解:
2 3 1 2

- 5 骣 骣 16 ÷ 4 1÷ ? ;③ ? ÷ ;④ ? ÷ . ? ? ? 桫 桫 81÷ 2÷

-

3

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例 3、用分数指数幂的形式表或下列各式( a >0) : ①a
3

a ;② a 2 ×3 a 2 ;③ a 3 a 2 .

例 4、计算下列各式(式中字母都是正数) (1) (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 )
2 1 1 1 1 5

1

(2) (m 4 n 8 )8

?

3

例 5、计算下列各式: (1) ( 3 25 ? 125) ? 4 25 ; (2)

a2 a.3 a2

(a >0) .



1 5、已知 a 2

?a

?

1 2 =3,求下列各式的值:
3

(1) a ? a ;

?1

(2) a ? a ;
2

?2

(3)

a2 ? a
1 a2

? ?

3 2 1 2



?a

【课后导练】 1、下列运算正确的是 (
3 2

)
3
3

2 3 2 5 A. (- a ) = (- a ) ;B (- a ) = a ;C. (- a 2 ) = - a 5 ;

D. (- a 2 ) = a 6 .

3

2、 (?2) ? (?2)
4

1 1 ? (? ) ?3 ? (? ) 3 的值是 ( 2 2 3 A.-24; B. -8; C. 7 ; D.8. 4
?3

)

5

第二章 基本初等函数

3、如果 3 x ?

1 ,则 x =________. 27

0 ?3 4、要使式子 ( 1 ? x) ? (| x | ?2) 有意义,

则 x 的取值范围是_________. 5、计算 (1) (?2) 0 ? (?5) ? 2 ? ( ) 2 ;

1 5

(2) [( ) ? 2 ]3 ? (2 ?3 ) ?3 .

1 2

6、化简:

x 2 y ?3 ?3 (1) ( ) ; 3a ?1

(2) (a

?1

? b ?1 )(

1 1 1 ? ? 2) . 2 ab b a

7、求值:
? 25 ? ?3? ① 27 3 ; ② 16 3 ;③ ? ? ;④ ( ) 3 . 49 ?5? 2 4

?3

2

3

2

8.求值:① 25 2 ;
3

② 27 3 ;

③(

36 2 ) ; 49
⑥ 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12

3

④(

25 ? 2 ) ; 4



4

81? 9 2 ;

3

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9、化简:
1 5 1 1 1 ? 2 ?? ? ? ? 3 2 6 6 2 3 3 a b ? 8 a b ? ? 6 a b ①? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?; ? ?? ? ? ?
3 ? 1 ? 4 8 m n ②? ? ? ? . ? ? 16

§2.1.2 指数函数及其性质(一)
学习目标: 了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系;理解指数 函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,掌握指数函数的性质. 学习重点: 掌握指数函数的的性质. 学习难点: 用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.

【课内导学】
(一)预习导引: 1.零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的? 2.有理指数幂的运算法则可归纳为几条?

【课内探究】
1.指数函数模型思想及指数函数概念: (1)探究两个实例: ①细胞分裂时,第一次由 1 个分裂成 2 个,第 2 次由 2 个分裂成 4 个,第 3 次由 4 个 分裂成 8 个,如此下去,如果第 x 次分裂得到 y 个细胞,那么细胞个数 y 与次数 x 的函 数关系式是什么?
7

第二章 基本初等函数

②一种放射性物质不断变化成其他物质, 每经过一年的残留量是原来的 84%, 那么以 时间 x 年为自变量,残留量 y 的函数关系式是什么? 讨论:上面的两个函数有什么共同特征?底数是什么?指数是什么? (2)指数函数的定义:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自 变量,函数的定义域为 R. 讨论:为什么规定 a >0 且 a ≠1 呢?否则会出现什么情况呢?→ 举例:生活中其它指 数模型?

2.指数函数的图象和性质: ① 讨论:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究指数函数性质的内容和方法 吗? ② 回顾:研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 1 ③ 作图:在同一坐标系中画出下列函数图象: y ? ( ) x , y ? 2 x (师生共作→小结 2 作法) 1 1 ④ 探讨:函数 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 的图象有什么关系?如何由 y ? 2 x 的图象画出 y ? ( ) x 2 2 的图象?根据两个函数的图象的特征,归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为 3 或 1/3 等后? ⑤ 根据图象归纳:指数函数的性质

(二)例题分析 例 1: (1)函数 y ? (a 2 ? 3a ? 3)a x 是指数函数,则 a 的值为
x



(2)已知指数函数 f ( x) ? a ( a >0 且 a ? 1 )的图象过点(3, p ) ,求 f (0) 、

f (1)及f (?3)的值.

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例 2:比较下列各题中的个值的大小 (1) 1.7
2.5

与 1.7 ;

3

(2) 0.8

-0.1

与 0.8

?0.2



(3) 1.7

0.3

与 0.9

3.1

例 3:求下列函数的定义域: (1) y ? 2 x ?4 ;
4

(2) y ? ?

?2? ? . ?3?

x

【课后导练】
1、下列函数是指数函数的是( A. y = (- 3) ; C. y = - 3 ;
x
x

)
x- 1

B. y = 3



D. y = 0.3 .

x

2、根据下列关系式确定 a (a > 0, a
2

1) 的取值范围:
5 3

5 (1) a > a ______;(2) a 3 > 1 ______;

(3) a 3 < a 4 _______;

3.求下列函数的定义域和值域:

骣 1÷ (1) y = ? ÷ ; (2) y = ? ? 桫 2÷

x

1- 3x ;

4 .如果函数 f ( x ) = (a + a - 1) x 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围.
*

2

9

第二章 基本初等函数

5.求 y = 2 - 2

2x

x- 1

+ 1的最小值以及达到最小值时的 x 的值.

6、探究:在[m,n]上, f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域?

§2.1.2 指数函数及其性质(二)
学习目标: 熟练掌握指数函数概念、图象、性质;掌握指数形式的函数定义域、值域,判断其 单调性. 学习重点: 掌握指数函数的性质及应用. 学习难点: 理解指数函数的简单应用模型.

【课内导学】 (一)预习导引
1. 指数函数的定义?底数 a 可否为负值?为什么?为什么不取 a ? 1 ?指数函数的图象 是?

?1? 2.在同一坐标系中,作出函数图象的草图:① y ? 2 x ;② y ? ? ? ;③ y ? 5x ; ?2? ?1? ?1? ④ y ? ? ? ;⑤ y ? 10 x ;⑥ y ? ? ? . ? 10 ? ?5? 3.指数函数具有哪些性质?
x

x

x

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【课内探究】 例:我国人口问题非常突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育着 22%的世界
人口.因此,中国的人口问题是公认的社会问题.2000 年第五次人口普查,中国人口已 达到 13 亿,年增长率约为 1%.为了有效地控制人口过快增长,实行计划生育成为我国 一项基本国策. (1)按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年起,x 年后我国的人口将达到 2000 年 的多少倍? (2)从 2000 年起到 2020 年我国的人口将达到多少? (3)2005 年某镇工业总产值为 100 亿,计划今后每年平均增长率为 8%, 经过 x 年后 的总产值为原来的多少倍? → 变式:多少年后产值能达到 120 亿?

指数形式的函数定义域和值域: (1)讨论:在[m,n]上, f ( x) = a ( a > 0 ,且 a ? 1 )值域?
x

②求下列函数的定义域、值域: ① y ? 2 ?1; ② y ? 3
x
5 x ?1

; ③ y ? 0.4

1 x ?1



【例题分析】
例 1、求函数 y ?

2x ? 1 的定义域和值域,并讨论函数的单调性、奇偶性. 2x ? 1

例 2、截止到 1999 年底,我们人口哟 13 亿,如果今后,能将人口年平均均增长率控制 在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?

11

第二章 基本初等函数

例 3、已知函数 y = 9 - 2 ?3

x

x

2 , x ? [1, 2 ]求这个函数的值域.

【课后导练】
1、当 x ? [-2,2)时,y= 3 A.( ?
?x

? 1 的值域是(

) D.[

8 8 1 ,8] ; B. [ ? ,8); C.( ,9]; 9 9 9 - 1 1 1 骣 2÷ 2、 2 2 , ? ) ÷ ,33 的大小顺序是( ? ? 桫 3÷
1

1 ,9) . 9

2 2 ?1 2 ?1 2 ?1 A. 3 3 < 2 2 < ? ÷ ;B 2 2 < 3 3 < ( ) ; C. ( ) < 2 2 < 3 3 ;D. 2 2 < ( ) < 3 3 . ? ÷

1

骣 ? 桫 3÷

- 1

1

1

1

1

1

1

3

3

3

骣2 ÷ 3、函数 y= y = ? ? ÷ ÷ ,当 x __ ? 桫5÷
时, y > 1 ; 4.函数 y ? a
x?2

x

__时, y < 1 ;当 x =__

_时, y = 1 ;当 x ____

? 3(a ? 0 ;且 a ? 1) 的图象过定点______.

5.比较下列各组数的大小:
? ?2? 2 2 ① ? ? 与(0.4) ; ?5? ? 1 3

? 3? ②? ? 3 ? ? ? ?

0.76



? 3?

?0.75



6.比较下列各组数的大小:

骣 3÷ (1) ? ÷ ? ? 桫 4÷

- 0.21

骣 3÷ 和? ÷ ? ? 桫 4÷

- 0.25

骣 6÷ 2 ?2 (2) 0.75 和 ? ÷ ? ? 桫 5÷

-

1

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2x 7.求函数 y ? x 的值域. 2 ?1

8.一片树林中现有木材 30000m3,如果每年增长 5%,经过 x 年树林中有木材 ym3,写 . 出 x,y 间的函数关系式,并利用图象求约经过多少年,木材可以增加到 40000m3

§2.2.1 对数与对数运算(一)
学习目标: 理解对数的概念;能够说明对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的相互化. 学习重点: 掌握对数式与指数式的相互转化. 学习难点: 对数概念的理解.

【课内导学】
(一)预习导引: 1.问题 1:庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭 (1)取 4 次,还有多长?
4
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?1? ?1? (2)取多少次,还有 0.125 尺?(得到: ? ? =?, ? ? ? 0.125 ? x ? ? ) ?2? ?2? 2.问题 2:假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果每年平均增长 8%,那么经 过多少年国民生产 是 2002 年的 2 倍? ( 得到: (1 ? 8%) x =2 ? x=? )
问题共性:已知底数和幂的值,求指数 怎样求呢?例如:课本实例由 1.01x ? m 求 x
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x

(二)课内探究
① 定义:一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数.记作

x ? loga N ,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数
13

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第二章 基本初等函数

探究问题 1、2 的指数式化成对数式 ②定义:我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数,并把常用对数 log10 N 简记为 lgN 在科学技术中常使用以无理数 e=2.71828 ……为底的对数,以 e 为底的对数叫自然对数,并把自然对数 loge N 简记作 lnN 认识:lg5 ; lg3.5; ln10; ln3 ③讨论:指数与对数间的关系 ( a ? 0, a ? 1 时, a x ? N ? x ? log a N ) 负数与零是否有对数?(原因:在指数式中 N > 0 ) 思考: log a 1 ? ? , log a a ? ?
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奎屯

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④:对数公式: a

log a N

= N , log a a n = n .
1 ;③ 3a ? 27 ; 128

2.指数式与对数式的互化: (1)出示例 1.将下列指数式写成对数式:① 53 ? 125 ;② 2?7 ? ④ 10?2 ? 0.01 (2)出示例 2. 将下列对数式写成指数式: ① log 1 32 ? ?5 ; ②lg0.001=-3; ③ln100=4.606;
2

计算:① log 1 32 ; ②lg0.001
2

(三)例题分析
例 1(P63 例 1)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)54=645; (2) 2
?6

?

1 ; 64

(3) ? ? ? 5.73 ;

?1? ?3?

m

(4) log 1 16 ? ?4 ;
2

(5) log10 0.01 ? ?2 ;

(6) log e 10 ? 2.303

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例 2: (P63 例 2)求下列各式中 x 的值: (1)log 64 x ? ?

2 ; (2)log x 8 ? 6 ; 3

(3)lg100 ? x ;

(4)? ln e ? x .
2

【课后导练】 1 1、若 2 x ? ,则 x 等于 ( 3
A. log23;
1 3

) C log 1
2
1 3

B.log2 ;



D. log 1 2 .
3

2 2、已知 log a 8 = ,则 a 等于 ( 3 1 1 A B C 2 4 2
3、把下列指数形式写成对数形式: (1) 5 =625, ____
a

) D 4

4

______ ;

(2) 2 ?6 =
m

1 , _____ 64

_____ ;

(3) 3 = 27 , _____________; 4. 把下列对数式写成指数式 (1) log3 9 = 2 ,___ ___ ___; (3) log 2

骣 1÷ (4) ? ÷ = 5.37 , _____________. ? ? 桫 3÷
(2) log5 125 = 3 ,______ ___;

1 1 (4) log3 = - 2 ,__________; = - 4 ,___________. 4 81 5、当底是 9 时, 3 的对数等于______.
6、求下列各式的值 (1) log 5 25; (2) log 2

1 16

(3) lg100 ;

(4) lg 0.01 .

15

第二章 基本初等函数

7.计算: (1) log 9 27 ; (4) log (2 ?
3)

(2) log 3 243 ; (5) log 3 4 625 .
5

(3) log 3 81 ;
4

(2 ? 3) ;

8.计算 3log3

5

? 3

log3

1 5

的值.

课后反思: 对数的定义: a ? N ? b ? log a (a >0 且 a ≠1)
b N

1、的对数是零,负数和零没有对数. 2、对数的性质:

§2.2.1 对数与对数运算(二)
学习目标: 掌握对数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程;能较熟练地运用法则 解决问题. 学习重点:运用对数运算性质解决问题 学习难点:对数运算性质的证明方法
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【课内导学】
(一)预习导引: 1、提问:对数是如何定义的? → 指数式与对数式的互化: a x ? N ? x ? log a N 2、提问:指数幂的运算性质?

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(二)课内探究
1、对数运算性质及推导: (1) log a ( M ?N )
n

log a M + log a N ;(2) log a

M = log a M - log a N ; N

(3) log a M = n log a M 讨论:(1)如何自然语言叙述三条性质? (2 性质的证明思路是什么?(运用转化思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并 利用幂运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式 )
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log c b 2、对数换底公式: log a b = log c a

3、对数换底公式的应用:

n 1 (2) log a b ?log b a 1 (或 log a b ? ) log a b ; log b a m log b c log c d gL g log y z ? log z a 1 一般地,有: log a b 鬃
(1) log am b =
n

(三)例题分析 例 1. 判断下列式子是否正确, ( a >0 且 a ≠1, x >0 且 a ≠1, x >0, x > y ) , (1) log a x ? log a y ? log a ( x ? y ) (3) log a (2) log a x ? log a y ? log a ( x ? y ) (4) log a xy ? log a x ? log a y

x ? log a x ? log a y y
n

(5) (log a x) ? n log a x

(6) log a x ? ? log a

1 x

(7) n log a x ?

1 log a x n

例 2、用 log a x , log a y , log a z 表示出(1) (2)小题,并求出(3) 、 (4)小题的值.

17

第二章 基本初等函数

(1) log a

x2 y xy 7 5 ; (2) log a ; (3) log z (4 ? 2 ) ; (4) lg 5 100 . 3 z 8

【课后导练】
1、下列各式中,能成立的是( ) B. log 3 (6 - 4) = A. log3 (6 - 4) = log3 6 - log3 4 ; C. log 3 5 - log 3 6 =

log 3 6 ; log 3 4

log 3 5 ; log 3 6
)

D. log 2 3 + log 2 10 = log 2 5 + log 2 6 .

2、下列各式中,正确的是 (

A . lg 4 - lg 7 = lg(4 - 7) ; B. 4lg 3 = lg 3 4 ; C. lg 3 + lg 7 = lg(3 + 7) ; D. e
lg N

?N.

3.设 lg 2 ? a , lg3 ? b ,试用 a 、 b 表示 log5 12 .

变式:已知 lg 2 = 0.3010,lg 3 = 0.4771,求 lg 6 、 lg12 、 log 2

3 的值.

4.计算:

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(1) lg14 ? 2lg

7 ? lg 7 ? lg18 ; 3

(2)

lg 27 ? lg8 ? 3lg 10 lg 243 ; (3) . lg1.2 lg 9

5.计算 (1) log 2 (4 ? 25)
7

________;

(2) lg lg 5 100 = __________;

6.求值 (1) lg14 - 2lg

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg 243 7 ; (3) + lg 7 - lg18 ; (2) lg 1.2 lg 9 3

7.求 (lg 2) + (lg 5) + 31lg 2 lg 5 的值

2

2

8.化简 (lg 25) ? lg 25 lg 16 ? (lg 4)
2

2

19

第二章 基本初等函数

9.试求 lg 2 ? lg 2 ? lg5 ? lg5 的值
2

1 1 1 10. 设 a 、 b 、 c 为正数,且 3a ? 4b ? 6c ,求证: ? ? . c a 2b

§2.2.2 对数函数及其性质(一)
学习目标: 通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概 念,体会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据 对数函数的图象和性质进行值的大小比较. 学习重点:对数函数的图象和性质 学习难点:对数函数的图象和性质及应用

【课内导学】 (一)预习导引:
?1? 画出 y ? 2 x 、 y ? ? ? 的图像,并以这两个函数为例,说说指数函数的性质. ?2?
x

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(二)课内探究;
1.对数函数的图象和性质: ① 定义:一般地,当 a>0 且 a≠1 时,函数 y = log a x(a > 0且a

1) 叫做对数函数.

② 辨析: 对数函数定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别,如: y ? 2log 2 x ,

y ? log5 (5 x) 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数;对数函数对底数的限制 (a ? 0 ,且 a ? 1) . ③ 探究:类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研究对数函数性质的内容和方法: 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. ④ 练习:同一坐标系中画出下列对数函数的图象 y ? log 2 x ; y ? log 0.5 x

⑤ 讨论:根据图象,你能归纳出对数函数的哪些性质? 列表归纳:分类 → 图象 → 由图象观察(定义域、值域、单调性、定点) 引申:图象的分布规律? 2、总结出的表格(略) 【例题分析】 例 1: (P71 例 7)求下列函数的定义域 (1) y = log a x ; (2) y ? log a (4 ? x) ( a >0 且 a ≠1) (3) y = log 3 ( x + 3x - 4)
2

2

例 2. (P72 例 8)比较下列各组数中的两个值大小 (1) log 2 3.4 , (2) log 0.3 1.8 , (3) log a 5.1,

log 2 8.5

log 0.3 2.7 log a 5.9 ( a >0,且 a ≠1)
21

第二章 基本初等函数

【课后导练】
1.下列不等式中,不能成立的是( A.log 1 0.2<1;
2



B.log 1 2>log 1 3; C.log5
3 3

7 1 4 3 <log 1 ; D log2 >log2 . 2 7 3 4 3


2.与函数 y = x 有相同图象的一个函数是 A. y=

( C. y=

x 2 ; B. y= a log a x (a ? 0, a ? 1) ;

x2 x ; D y= log a a (a ? 0, a ? 1) . x

3.函数 y = lg ( x - 1) 的反函数__________; 4.函数 y = log 3 ( x + 3 x - 4 ) 的定义域为___________;
2

5 已知函数 f ( x ) = log 2 (- x + 3 x - 2) 的定义域为 P, g ( x ) =
2

x-

的定义域为 Q,求 P ? Q. 6 求下列函数的定义域: (1) y = log 0.2 (- x - 6) ; (2) y ? 3 log 2 x .

3 + log 1 (4 - x ) 2 3

7.比较下列各题中两个数值的大小: (1) log 2 3和log 2 3.5 ; (2) log0.3 4和log0.2 0.7 ; (3) log0.7 1.6和log0.7 1.8 ; (4) log2 3和log3 2 .

8.已知下列不等式,比较正数 m、n 的大小: log 3 m< log 3 n ; log 0.3 m> log 0.3 n ; l o g a m> log a n (a>1

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§2.2.2 对数函数及其性质(二)
学习目标: 了解对数函数在生产实际中的简单应用.进一步理解对数函数的图象和性质;学习 反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函 数的两个函数的图象性质. 学习重点与难点:理解反函数的概念

【课内导学】
(一)预习导引: 1. 提问:对数函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的图象和性质? 2.比较两个对数的大小: ① log10 7 与 log10 12 ; ② log 0.5 0.7 与 log 0.5 0.8

(二)课内探究
1.对数函数模型思想及应用: 讨论:抽象出的函数模型? 如何应用函数模型解决问题? → 强调数学应用思想 2.反函数的教学: ①引言: 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量.我们称这两个函数为反函数. ② 探究:如何由 y ? 2 x 求出 x? ③ 分析:函数 x ? log 2 y 由 y ? 2 x 解出,是把指数函数 y ? 2 x 中的自变量与因变量对调 位置而得出的.习惯上我们通常用 x 表示自变量,y 表示函数,即写为 y ? log 2 x . 那么我们就说指数函数 y ? 2 x 与对数函数 y ? log 2 x 互为反函数 ④ 在同一平面直角坐标系中,画出指数函数 y ? 2 x 及其反函数 y ? log 2 x 图象,发现什 么性质? ⑤ 分析:取 y ? 2 x 图象上的几个点,说出它们关于直线 y ? x 的对称点的坐标,并判 断它们是否在 y ? log 2 x 的图象上,为什么?
x ⑥ 探究:如果 P 0 ( x0 , y0 ) 在函数 y ? 2 的图象上,那么 P0 关于直线 y ? x 的对称点在函

数 y ? log 2 x 的图象上吗,为什么? 由上述过程可以得到什么结论?(互为反函数的两个函数的图象关于直线 y ? x 对 称)
23

第二章 基本初等函数

(三)例题分析 例 1、求下列函数的反函数 (1) y ? 5
x

(2) y ? log 0.5 x

例 2、求函数 log 1 ( x ? 6 x ? 17 ) 的定义域、值域和单调区间
2 2

三、课后导练 1、函数 f ( x) ? log 0.5 (2 x ? 3x ? 1) 的递减区间为(
2

) D. (- ? ,

A. (1,+ ? ) ; 2、函数 y ?

B. (- ? ,

3 1 ) ; C. ( ,+ ? ) ; 4 2

1 ) . 2

log 1 (1 ? 3x) 的定义域是( )
3

A. [0, ) ;

1 3

B. ( ,?? ) ;

1 3

C (??,0) ;

D ( ??, ) .

1 3

3、使对数式 log ( x ?1) (3 ? x) 有意义的 x 的取值范围为__________. 4、函数 y ? log 1 ( x ? 6 x ? 18) 的值域是_______________.
2 3

5.求下列函数的反函数: (1) y ? 3x ; (2) y ? log6 x (小结步骤:解 x ;习惯表示;定义域)

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6、己知函数 f ( x) ? a ? k 的图象过点(1,3)其反函数的图象过(2,0)点,求 f ? x ?
x

的表达

§2.3 幂函数
学习目标: 通过具体实例了解幂函数的图象和性质, 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称 性并能进行简单的应用. 学习重点: 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 学习难点: 画五个幂函数的图象并由图象概括其性质.

【课内导学】
(一)预习导引: (1)边长为 a 的正方形面积 S ? a ,这里 S 是 a 的函数;
2

(2)面积为 S 的正方形边长 a ? S ,这里 a 是 S 的函数; (3)边长为 a 的立方体体积 V ? a ,这里 V 是 a 的函数; 观察上述三个函数,有什么共同特征?(指数定,底变)
3

1 2

【课内探究】
幂函数的图象与性质 ① 给出定义:一般地,形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数.
?
1 2

②作出下列函数的图象: (1)y ? x ; (2)y ? x ; (3)y ? x ; (4)y ? x ; (5)y ? x .
2 3

?1

25

第二章 基本初等函数

观察图象,举例学习这类函数的一些性质.

归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律: (Ⅰ)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (Ⅱ) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当

? ? 1时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸;
(Ⅲ) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边 趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上 方无限地逼近 x 轴正半轴. 【例题分析】 例 1、利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂的值的大小:
3
3

6

6

(1) 2.3 4 , 2 .4 4 ;

(2) 0.31 5 , 0.35 5 ;

(3) ( 2 )

?

3 2

, ( 3)

?

3 2



(4) 1.1

?

1 2,

0 .9 .

?

1 2

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例 2 证明幂函数 f ( x) ?

x在[0, ??] 上是增函数

课后导练: 2.如图所示,曲线是幂函数 y ? x 在第一象限内的图象, 已知 ? 分别取 ? 1,1, ,2 四个值,则相应图象依次 为: .
?

1 2

2.在同一坐标系内,作出下列函数的图象的草图,你能发现什么规律? (1) y ? x 和 y ? x
?3

?

1 3;

5

4

(2) y ? x 4 和 y ? x 5 .

3.比较大小: ① (2 ? a 2 ) 3 与 2
? 2
? 2 3



② 1.1 2 与 0.9

?

1

?

1 2

3

3



③ 2.3 4 与 2 .4 4 ;

6

6

④ 0.31 5 与 0.35 5 ;

⑤ ( 2)

?

3 2

与 ( 3)

?

3 2



27


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