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简单组合体的结构特征-例题


《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲

第一章 空间几何体?

第?2?讲? §1.1.2? 简单组合体的结构特征
¤学习目标:认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物 体的结构.? ¤知识要点: 观察周围的物体,大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的,这些几何体称为组合体.? ¤例题精讲: 【例 1】在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( ).? A.?1 个? B.?2 个? C.?3 个? D.?4 个 解:在长方体?ABCD - A ' B ' C ' D '?中,取四棱锥?A '? ABCD ,它的四个侧面都是直角三角形.? 选 D.? 【例 2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为?r ,?R ,求球的半径.? 解:圆台轴截面为等腰梯形,与球的大圆相切,由此得 梯形腰长为 R+r,梯形的高即球的直径为? (r + R ) 2 - ( R - r ) 2? = 2? rR , 所以,球的半径为? rR? .? 【例 3】圆锥底面半径为1cm,高为? 2?cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长.? 解:过圆锥的顶点?S? 和正方体底面的一条对角线?CD? 作圆锥的截面,得圆 S? 锥的轴截面 SEF,正方体对角面 CDD1C1,如图所示.? 设正方体棱长为 x,则 CC1=x,C1D1?= 2 x 。 作 SO ^ EF 于 O,则 SO?= 2 ,OE=1, CC1 EC? x 1 - ( 2 / 2)?x 1? Q?DECC1? ~?DEOS , ∴? = ,即? =? .? 1? SO EO 2? ∴? x =

C?

D?

2? 2? E? C1? O? D1 F? (cm)?, 即内接正方体棱长为? cm.? 2? 2? 点评:此题也可以利用?DSCD ~?DSEF 而求.? 两个几何体相接、相切的问题,关键在于发现一些截面之间 的图形关系.? 常常是通过分析几个轴截面组合的平面图形中的一些相似,利用相似比列出方程而求.? 注意截面 图形中各线段长度的计算.? 【例 4】以正四棱台(底面为正方形,各个侧面均为全等的等腰梯形)为模型,验证棱台的平行于底面的 截面的性质: P? 设棱台上底面面积为 S1,下底面面积为 S2,平行于底面的截面将棱台的高分成距 m S 2 + n S? 1? 上、下两底的比为 m∶n,则截面面积 S 满足下列关系:? S? = .? m +?n D? C? S1 + S? 2? 当 m=n 时,则? S = (中截面面积公式).? H? 2? G? E? F? 解:如图,ABCD? 是正四棱台的相对侧面正中间的截面,延长两腰交于?P,平行 A? B? 于底面的截面为 EF.? O? 根据棱台上下底面与平行于底面的截面相似的性质,上底面、下底面、截面的相
似比为? S1 : S 2? :? S? .? 设 PH=h,OH=x,则?

S? 1? S?

=

PH h h( m + n? )? = = ,? m? PG h + x? h (m + n )?+ mx? g? m+n

PO h+ x ( h + x)(m + n? )? = = .? m? h( m + n)?+ mx? S? PG h + x? g? m+n n S1 m S? nh( m + n) m( h + x)( m + n) (hn + hm + mx )( m + n? )? 2? ∴? + = + = = m + n?, h (m + n ) + mx h (m + n ) + mx h( m + n)?+ mx? S S =
.? m +?n m +?n 2? 点评:利用台体平行于底面的截面与底面的相似,把面积比转化为相似比,与对应高之比紧密联系,还要 求具有较强的字母代数运算能力.? 关于棱台的平行于底面的截面性质这一结论,也可推广到圆台.? 我们应特别 重视中截面的性质,可以结合梯形的中位线对中截面公式进行理解.? 即? S? =

S? 2?

m S 2 + n S? 1?

.? 当 m=n 时,则? S? =

m S1 + m S 2

=

S1 + S? 2?

3?


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