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2015-2016学年宁夏银川市六盘山高中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年宁夏银川市六盘山高中高二(下)期末数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.100×99×98×…×85 等于( ) A.A B.A C.A D.A

2.下列说法: ①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适; ②用相关指数可以刻画回归的效果,R2 值越小说明模型的拟合效果越好; ③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型拟合效 果越好. 其中说法正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 3.可以将圆 x2+y2=1 变为椭圆 + =1 的伸缩变换为( )

A.

B..

C..

D ..

4.设 X~B(n,p) ,且 E(X)=12,D(X)=4,则 n 与 p 的值分别为( A.18, B.12, C.18, D.12,



5.从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数 的个数为( ) A.24 B.18 C.12 D.6 6.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2) ,P(ξ≥4)=0.16,则 P(ξ≤0)=( A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 7.根据如下样本数据,得到回归方程 =bx+a,则( x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0 A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 )



D.a<0,b<0

8.变量 ξ 的分布列如又图所示,其中 a,b,c 成等差数列,若 E(ξ)= ,则 D(ξ)的值 是( ξ ) ﹣1

0

1
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P A.

a B.

b C.

c D. 的系数为

9.若(x+ )n 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中

( ) A.32 B.56 C.63 D.21 10.从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖,2 名二等奖,3 名三等奖,则可能的决赛结 果共有( )种. A.30 B.48 C.54 D.60 11. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中, 有 5 架歼﹣15 飞机准备着舰. 如 果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( ) A.12 B.18 C.24 D.48 12.如图所示,用五种不同的颜色分别给 A、B、C、D 四个区域涂色,相邻区域必须涂不 同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有( )

A.180 种

B.120 种

C.96 种 D.60 种

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分. 13. x 轴正半轴与极轴重合, 原点与极点重合, 则点 (﹣5, ﹣5 ) 的极坐标是 . 14.两位工人加工同一种零件共 100 个,甲加工了 40 个,其中 35 个是合格品,乙加工了 60 个,其中有 50 个合格,令 A 事件为“从 100 个产品中任意取一个,取出的是合格品”,B 事件为“从 100 个产品中任意取一个,取到甲生产的产品”,则 P(A|B)= . 15.若 的展开式中 x4 的系数为 7,则实数 a= .

16. 某个游戏中, 一个珠子按如图所示的通道, 由上至下的滑下, 从最下面的六个出口出来, 规定猜中者为胜,如果某人在该游戏中,猜得珠子从 3 号口出来,那么他取胜的概率 为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (要求写出简明过程,并用数字作答)有 6 名同学站成一排,求: (1)甲不站排头有多少种不同的排法; (2)甲不站排头,且乙不站排尾有多少种不同的排法.

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18. 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况, 随机抽取了 100 名观 众进行调查.已知共有 75 名非体育迷,且在 45 名男观众中,有 15 名是体育迷. (1)根据已知条件列出 2×2 列联表; (2)并据此资料你觉得是否有理由认为“体育迷”与性别有关? 附:k2= .

P(k2≥k0) 0.05 0.01 k0 3.841 6.635 19. 随着我国经济的发展, 居民的储蓄存款逐年增长. 设某地区城乡居民人名币储蓄存款 (年 底余额)如表 2011 2012 2013 2014 2015 年份 1 2 3 4 5 时间代号 t 6 7 8 10 储蓄存款 y(千亿元) 5 (Ⅰ)求 y 关于 t 的回归方程 ;

(Ⅱ)用所求回归直线方程预测该地区 2016 年(t=6)的人民币储蓄存款.

附:回归方程







20. 某次知识竞赛中, 从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道, 并独立完成所抽取的 3 道题. 某 选手能正确完成其中 4 道题,规定至少正确答对其中 2 道题目便可过关. (1)求该选手能过关的概率; (2)记所抽取的 3 道题中,该选手答对的题目数为 X,写出 X 的概率分布列,并求 E(X) . 21.某中学在运动会期间举行定点投篮比赛,规定每人投篮 4 次,投中一球得 2 分,没有投 中得 0 分,假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是 . (1)求小明在 4 次投篮中有三次投中的概率; (2)求小明在 4 次投篮后的总得分 X 的分布列. 22.小明从家到学校有三个路口,各路口遇到红灯的概率依次为 , , ,且每个路口遇 到红灯与否相互独立. (1)求最多遇到 1 次红灯的概率; (2)设小明上学路上求遇到红灯次数为 X,求 X 的分布列及期望.

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2015-2016 学年宁夏银川市六盘山高中高二(下)期末数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.100×99×98×…×85 等于( ) A.A B.A C.A D.A

【考点】排列数公式的推导. 【分析】利用排列数的计算公式即可判断出结论. 【解答】解:利用排列数的计算公式可得:100×99×98×…×85= 故选:C. 2.下列说法: ①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适; ②用相关指数可以刻画回归的效果,R2 值越小说明模型的拟合效果越好; ③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型拟合效 果越好. 其中说法正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【考点】散点图. 【分析】①残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合 适; ②用相关指数刻画回归的效果时,R2 值越大说明模型的拟合效果越好; ③比较两个模型的拟合效果时,残差平方和越小,模型拟合效果越好. 【解答】解:对于①,在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用 的模型比较合适, ∴命题①正确; 对于②,用相关指数可以刻画回归的效果,R2 值越大说明模型的拟合效果越好, ∴命题②错误; 对于③,比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型 拟合效果越好, ∴命题③正确. 综上,正确的命题是①③. 故选:C. 3.可以将圆 x2+y2=1 变为椭圆 .

+

=1 的伸缩变换为(



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A.

B..

C..

D ..

【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】通过 x 与 x′,y 与 y′的数值关系,即可把圆 x2+y2=1 变成椭圆 到伸缩变换. 【解答】解:对于圆 x2+y2=1 的方程,令 + =1,得



即为把圆 x2+y2=1 变成椭圆 故选:B.

+

=1,

4.设 X~B(n,p) ,且 E(X)=12,D(X)=4,则 n 与 p 的值分别为( A.18, B.12, C.18, D.12,



【考点】二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 【分析】根据随机变量符合二项分布,由二项分布的期望和方差的公式,及条件中所给的期 望和方差的值,列出期望和方差的关系式,得到关于 n 和 p 的方程组,解方程组可得到 n, p 的值. 【解答】解:∵随机变量 X 服从二项分布 X~B(n,p) ,且 E(X)=12,D(X)=4, ∴E(X)=12=np,① D(X)=4=np(1﹣p) ,② ①与②相除可得 1﹣p= , ∴p= ,n=18. 故选 B. 5.从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数 的个数为( ) A.24 B.18 C.12 D.6 【考点】排列、组合及简单计数问题. 【分析】先选后排,特殊元素和特殊位置优先安排的原则即可得出. 【解答】解:分以下两类: ①当从 0,2 中选一个数字为 0 时,则 0 不能在首位,再从 1,3,5 中选两个数字可有 C32 种选法,组成无重复数字的三位数,共可组成 C32A22=6 个偶数;
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②当从 0,2 中选一个数字为 2 时,再从 1,3,5 中选两个数字可有 C32 种选法,组成无重 复数字的三位数,共可组成 C32A22=6 个偶数. 综上可知:共有 6+6=12 个偶数. 故选 C. 6.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2) ,P(ξ≥4)=0.16,则 P(ξ≤0)=( A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 )

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2) ,得到曲线关于 x=2 对称,根据曲线的对称性 P 0 =P 4 ξ ξ 得到 ( ≤ ) ( ≥ ) ,从而得到所求. 【解答】解:随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2) , ∴曲线关于 x=2 对称, ∴P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.16, 故选:A.

7.根据如下样本数据,得到回归方程 =bx+a,则(



x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0 A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 【考点】线性回归方程. 【分析】通过样本数据表,容易判断回归方程中,b、a 的符号. 【解答】解:由题意可知:回归方程经过的样本数据对应的点附近,是减函数,所以 b<0, 且回归方程经过(3,4)与(4,3.5)附近,所以 a>0. 故选:B.

8.变量 ξ 的分布列如又图所示,其中 a,b,c 成等差数列,若 E(ξ)= ,则 D(ξ)的值 是( ξ P A. ) ﹣1 a B.

0 b C.

1 c D.

【考点】离散型随机变量及其分布列. 【分析】由离散型随机变量分布列的性质、等差的性质列出方程组,求出 a,b,c,再由方 差公式能求出结果. 【解答】解:∵a,b,c 成等差数列,E(ξ)= , ∴由变量 ξ 的分布列,知:

,解得 a= ,b= ,c= ,

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∴D(ξ)=(﹣1﹣ )2× +(0﹣ )2× +(1﹣ )2× = . 故选:B. 9.若(x+ )n 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中 ( ) A.32 B.56

的系数为

C.63

D.21

【考点】二项式系数的性质. 【分析】根据题意 = ,求得 n 的值,再利用二项展开式的通项公式,即可求出结果.

【解答】解:∵(x+ )n 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等, ∴ = ,解得 n=8;

∴(x+ )8 的展开式中通项公式为: Tr+1= ?x8﹣r? = ?x8﹣2r;

令 8﹣2r=﹣2,解得 r=5; ∴展开式中 故选:B. 10.从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖,2 名二等奖,3 名三等奖,则可能的决赛结 果共有( )种. A.30 B.48 C.54 D.60 【考点】排列、组合及简单计数问题. 【分析】6 名选手中决出 1 名一等奖有 A61 种方法,2 名二等奖,C52 种方法,利用分步计数 原理即可得答案. 【解答】解:依题意,可分三步,第一步从 6 名选手中决出 1 名一等奖有 A61 种方法, 第二步,再决出 2 名二等奖,有 C52 种方法, 第三步,剩余三人为三等奖, 根据分步乘法计数原理得:共有 A61?C52=60 种方法. 故选 D. 11. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中, 有 5 架歼﹣15 飞机准备着舰. 如 果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( ) A.12 B.18 C.24 D.48 【考点】排列、组合及简单计数问题. 的系数为 =56.

第 7 页(共 15 页)

【分析】分两大步:把甲、乙看作 1 个元素和戊全排列,调整甲、乙,共有 再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的 3 个空位种,有 可得答案. 【解答】解:把甲、乙看作 1 个元素和戊全排列,调整甲、乙,共有 再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的 3 个空位种,有 由分步计算原理可得总的方法种数为: 故选 C =24 种方法,

种方法,

种方法,由分步计算原理

种方法,

12.如图所示,用五种不同的颜色分别给 A、B、C、D 四个区域涂色,相邻区域必须涂不 同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有( )

A.180 种

B.120 种

C.96 种 D.60 种

【考点】计数原理的应用. 【分析】按区域分四步,由分步乘法计数原理,即可求得结论. 【解答】解:按区域分四步:第一步 A 区域有 5 种颜色可选;第二步 B 区域有 4 种颜色可 选;第三步 C 区域有 3 种颜色可选;第四步 D 区域也有 3 种颜色可选. 由分步乘法计数原理,共有 5×4×3×3=180(种) . 故选 A. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分. 13.原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(﹣5,﹣5 . 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】利用 【解答】解: θ= . )的极坐标是 . . , ,及 θ 所在的象限即可得出. =10,tanθ= = ,θ∈ .∴

)的极坐标是

∴点(﹣5,﹣5 故答案为:

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14.两位工人加工同一种零件共 100 个,甲加工了 40 个,其中 35 个是合格品,乙加工了 60 个,其中有 50 个合格,令 A 事件为“从 100 个产品中任意取一个,取出的是合格品”,B 事件为“从 100 个产品中任意取一个,取到甲生产的产品”,则 P(A|B)= .

【考点】条件概率与独立事件. 【分析】P(A|B)表示在从 100 个产品中任意取一个,取到甲生产的产品的条件下,取出 的是合格品的概率,则可求 P(A|B) . 【解答】解:由题意,P(A|B)表示在从 100 个产品中任意取一个, 取到甲生产的产品的条件下,取出的是合格品的概率,则 P(A|B)= 故答案为: . = .

15.若

的展开式中 x4 的系数为 7,则实数 a=



【考点】二项式系数的性质. 【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出. 【解答】解:由通项公式 Tr+1= = ,



的展开式中 x4 的系数为 7,∴

,解得



故答案为 .

16. 某个游戏中, 一个珠子按如图所示的通道, 由上至下的滑下, 从最下面的六个出口出来, 3 规定猜中者为胜,如果某人在该游戏中,猜得珠子从 号口出来,那么他取胜的概率为 .

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】我们把从顶点 A 到 3 的路线图单独画出来:分析可得从 A 到 3 总共有 5 个岔口, 每一岔口走法的概率都是 ,而从 A 到 3 总共有 C52=10 种走法,计算可得答案. 【解答】解:我们把从顶点 A 到 3 的路线图单独画出来:

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分析可得, 从顶点 A 到 3 总共有 C52=10 种走法,每一种走法的概率都是 , ∴珠子从出口 3 出来是 ( )5= .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (要求写出简明过程,并用数字作答)有 6 名同学站成一排,求: (1)甲不站排头有多少种不同的排法; (2)甲不站排头,且乙不站排尾有多少种不同的排法. 【考点】排列、组合及简单计数问题. 【分析】对这个几个事件不同排法和数的计算,根据分步原理与分类原理直接计算即可 (1)利用间接法,可得结论; (2)甲不站排头,乙不站排尾,可按甲在尾与不在尾分为两类. 【解答】解: (1)利用间接法,可得 A66﹣A55=600; (2)甲不站排头,乙不站排尾排法计数可分为两类, 第一类甲在末尾,排法和数有 A55, 第二类甲不在末尾,先排甲,有 A41 种方法,再排乙有 A41 种方法,剩下的四人有 A44 种排 法, 故有 A41×A41×A44 种方法,由此,总排法有 A55+A41×A41×A44=504. 18. 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况, 随机抽取了 100 名观 75 45 15 众进行调查.已知共有 名非体育迷,且在 名男观众中,有 名是体育迷. (1)根据已知条件列出 2×2 列联表; (2)并据此资料你觉得是否有理由认为“体育迷”与性别有关? 附:k2= .

P(k2≥k0) 0.05 0.01 k0 3.841 6.635 【考点】独立性检验的应用. 【分析】 (1)由题意男观众中:非体育迷有 30,体育迷 15,55 名女观众中:75 名非体育迷, 25 名体育迷,即可绘制出 2×2 列; (2)代入公式计算得出 K2,比对表格可得结论. 【解答】解: (1)在抽取的 100 人中男观众中:非体育迷有 30,体育迷 15,55 名女观众中: 75 名非体育迷,25 名体育迷,从而 2×2 列联表如下: 非体育迷 体育迷 合计 30 15 45 男
第 10 页(共 15 页)

45 10 55 女 75 25 100 合计 (2)将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 K2= = = ≈3.030.

∵3.030<3.841, ∴以没有理由认为“体育迷”与性别有关. 19. 随着我国经济的发展, 居民的储蓄存款逐年增长. 设某地区城乡居民人名币储蓄存款 (年 底余额)如表 2011 2012 2013 2014 2015 年份 1 2 3 4 5 时间代号 t 6 7 8 10 储蓄存款 y(千亿元) 5 (Ⅰ)求 y 关于 t 的回归方程 ;

(Ⅱ)用所求回归直线方程预测该地区 2016 年(t=6)的人民币储蓄存款.

附:回归方程







【考点】线性回归方程. 【分析】 (Ⅰ)利用公式求出 a,b,即可求 y 关于 t 的回归方程 (Ⅱ)t=6,代入回归方程,即可预测该地区今年的人民币储蓄存款. 【解答】解: (1)因为 … ;







… ,∴ (2)t=6 时, … …

预测该地区 2016 年的人民币储蓄存款为 10.8 千亿元…

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20. 某次知识竞赛中, 从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道, 并独立完成所抽取的 3 道题. 某 选手能正确完成其中 4 道题,规定至少正确答对其中 2 道题目便可过关. (1)求该选手能过关的概率; (2)记所抽取的 3 道题中,该选手答对的题目数为 X,写出 X 的概率分布列,并求 E(X) . 【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (1)记甲选手能过关为事件 A,先求出基本事件总数,再求出事件 A 包含的基本 事件数,由此能求出该选手能过关的概率. X 的所有可能取值为 1, 2, 3. (2) 分别求出相应的概率, 由此能求出 X 的分布列和 E (X) . 【解答】解: (1)记甲选手能过关为事件 A, 则基本事件总数 n=C =20, +C C =16,

事件 A 包含的基本事件数 m=C

所以该选手能过关的概率 P(A)= = . (2)X 的所有可能取值为 1,2,3. P(X=1)= = ,

P(X=2)=

= ,

P(X=3)=

= .

则 X 的分布列为 X 1 2 P

3

所以 E(X)=1× +2× +3× =2.

21.某中学在运动会期间举行定点投篮比赛,规定每人投篮 4 次,投中一球得 2 分,没有投 中得 0 分,假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是 . (1)求小明在 4 次投篮中有三次投中的概率; (2)求小明在 4 次投篮后的总得分 X 的分布列. 【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (1)小明每次投篮投中的概率都是 ,由此利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好 发生 k 次的概率计算公式能求出小明在 4 次投篮中有三次投中的概率. (2)由题意知 X 的可能取值为 0,2,4,6,8,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分 布列.

第 12 页(共 15 页)

【解答】解: (1)∵小明每次投篮投中的概率都是 . ∴小明在 4 次投篮中有三次投中的概率: p= = .

(2)由题意知 X 的可能取值为 0,2,4,6,8, P(X=0)=( )4= P(X=2)=C P(X=4)=C P(X=6)= , , ,

( ) ( )3=
(\frac{1}{3})2

( )2= ,

( )3( )= .

P(X=8)=( )4= 所以 X 的分布列为: X 0 P

2

4

6

8

22.小明从家到学校有三个路口,各路口遇到红灯的概率依次为 , , ,且每个路口遇 到红灯与否相互独立. (1)求最多遇到 1 次红灯的概率; (2)设小明上学路上求遇到红灯次数为 X,求 X 的分布列及期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1)设 Ai:第 i 个路口遇到红灯(i=1,2,3) ,最多遇到 1 次红灯为 A 事件,由 , 能求出最多遇到 1 次红灯 的概率. (2)依题意,X 的可能取值为 0,1,2,3.分别求出相应的概率,由此能求出随机变量 X 的分布列和 EX. 【解答】解: (1)设 Ai:第 i 个路口遇到红灯(i=1,2,3) 最多遇到 1 次红灯为 A 事件, 则 =(1﹣ ) (1﹣ ) (1﹣ )+ + = . +(1﹣ )×

(2)依题意,X 的可能取值为 0,1,2,3. ,
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, , , 随机变量 X 的分布列为: X 0 1 P EX= = .

2

3

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2016 年 8 月 30 日

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