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数学人教B版必修5教学设计:2.1.2数列的递推公式选学 含答案 精品

教学设计 2.1.2 数列的递推公式(选学) 整体设计 教学分析 本节作为选学内容,课标对递推公式没有明确要求.考虑到它在认识数列中的作用,教 材把它单列一节作为选学.实际上,递推公式作为数列的一种表示方法,有其独特的作用, 高考试卷中常常见到它的踪影,因此,教学中还是把它作为必学内容对待为好. 数列作为刻画自然规律的基本数学模型, 教材意图是用函数的观点和递推的观点理解数 列.同上节一样本节也是通过一些例子及章头前言中的事例来引入递推公式.并通过例题, 让学生明确数列的递推公式应包括数列的首项和公式本身.没有首项,就没有递推的基础, 没有递推公式则无法向后延续. 让学生体会, 给出首项和递推公式, 就可唯一确定一个数列. 数列的递推公式也是数列的一种表示方法, 它与数列的通项公式紧密相连, 但作为开始 认识数列,本节不宜过分拓展,加大难度,仅限于理解递推公式的定义,并能用数列的首项 和递推公式写出数列的后续各项即可. 三维目标 1.通过本节学习,理解数列递推公式的意义,理解递推公式与通项公式的异同.会根 据数列的首项和递推公式写出数列的后续各项. 2.通过探究、交流、观察、分析等教学方式,充分发挥学生的主体作用,并通过思考 与讨论本章章头左图中的说明,体会数学来源于生活. 3.通过对数列递推公式的探究,培养学生动手试验,大胆猜想的优秀品质,培养学生 对科学的探究精神和严肃认真的态度. 重点难点 教学重点: 理解用递推公式定义数列的方法; 能用递推公式和首项写出数列的后续各项. 教学难点:利用数列的递推公式和首项,猜想该数列的通项公式. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(章头图引入)让学生观察章头图中左图兔子的繁殖情况.假设每次生出的小兔子 都是一雄一雌,并且排除兔子发生死亡的情况,这样每个月兔子的对数,依次可以排成一个 数列,你能把这个数列的每一项(第一项除外)用前一项表示出来吗?由此展开新课的探究. 思路 2.(直接引入)我们知道数列 1,2,3,4,…可用通项公式 an=n 表示.容易发现,这个 数列从第 2 项起的任一项都可用它的前一项表示出来,即 an=an-1+1(n≥2),这就是数列的 另一种表示方法,也就是今天我们探究的主要内容:递推公式.由此展开探究. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)多媒体演示图 1,是工厂生产的钢管堆放示意图,你能写出它的一个通项公式吗?你 能找出它的相邻两层之间的关系吗? (2)数列{an}的通项公式是 an=2n.从第 2 项起,它的任一项与它相邻的前一项有什么关 系?章头数列 3, 1 么关系呢? (3)怎样理解递推公式?若已知数列 an=2an-1+1,你能写出这个数列吗?为什么? 活动:教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图.引导学生观察钢管堆放示意图, 寻其规律,看看能否建立它的一些数学模型.由学生合作探究,必要时教师给予点拨. cos cos cos …从第 2 项起,它的任一项与它相邻的前一项有什 模型一:自上而下 第 1 层钢管数为 4,即 第 2 层钢管数为 5,即 第 3 层钢管数为 6,即 第 4 层钢管数为 7,即 第 5 层钢管数为 8,即 第 6 层钢管数为 9,即 第 7 层钢管数为 10,即 =1+3; =2+3; =3+3; =4+3; =5+3; =6+3; =7+3. 若用 an 表示钢管数, n 表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且 an= n + 3(1≤n≤7). 模型二:上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1, 即 a1=4;a2=5=4+1=a1+1;a3=6=5+1=a2+1. 依此类推:an=an-1+1(2≤n≤7). 在教师的引导点拨下,学生最终能得到以上两种数学模型,教师适时给以点评.首先表 扬学生的这种探究问题的精神,不怕困难敢于钻研,而且推得两个很重要的结论.对于推得 的 an=n+3,只要将 n 的具体值代入,我们就会很快地求出某一层的钢管数.因为这一关系 反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律,这会给我们的统计与计算带来很大方便, 这是由特殊到一般的数学思想方法的运用,是非常正确和成功的.对于推得 an = an - 1 + 1(2≤n≤7 且 n∈N*)的同学就更值得表扬,因为这是我们没有见过的,这就是创新,这就是 聪明智慧的闪现.这个关系式说明:只要知道 a1,则以后的每一项都等于它的前项加 1,这 样就可以求出第二项,以此类推即可求出其他项.这就是我们今天要探究的一个重点内容, 也就是数列的另一种表示法, 递推公式法. 我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推 公式.递推公式很重要,显然教材上涉及的内容不多,但在每年的高考卷上都有所体现,应 引起注意.下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列. 引导学生给递推公式这样下定义:通过给出数列的第一项(或前若干项),并给出数列的 某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式来表示数列,这种表示数列的式子叫做这个数列 的递推公式. 注意:递推公式也是给出数列的一种方法.如下列数字排列的一个数列: 3,5,8,13,21,34,55,89,递推公式为 a1=3,a2=5,an=an-1+an-2(3≤n≤8).掌握递推公式的 关键一点是把握其中的递推关系,应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项,或前、后 几项之间的关系. 有了以上探究活动,学生很容易探究出问题(2)(3),至此,学生对数列的表示方法有了 全面的理解,为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础. 讨论结果: (1)略 (2)a1=2,an=2an-1(n=2,3,4,…); 数列 3,a1=1,an=cos(an-1)(n=2,3,4,…). (3)递推公式包括已知的第 1 项(或前几项)才能写出这个数列的后续各项. 前者是递推的 基础,后者是递推的延续.因此仅知 an=2an-1+1 无法写出这个数列的各项. 应用示例

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