均值柯西不等式

第九讲 均值、柯西、排序不等式（1）
板块一：均值不等式
均值不等式的二元形式：

a?b ? ab , a, b ? R ? 2

算 术 - 几 何 平 均 (AM-GM) 不 等 式 的 n 元 一 般 形 式 为 ： 设

a1 , a2 , , an

是非负实数，则

a1 ? a2 ? n

? an

? n a1a2

an .

注：利用更强的幂平均不等式可以得到如下的一系列的不等式，但是联赛甚至冬令营中一般来说只涉 及到上述的算术几何平均不等式. 算术平均 An ?

a1 ? a2 ? ? ? an , n
n

几何平均 Gn ?

a1 a 2 ?a n ,
n 1 1 1 ? ??? a1 a2 an
2

调和平均（在光学及电路分析中要用到） H n ?

,

平方平均（在统计学及误差分析中用到） Qn 则

?

a1 ? a 2 ? ? ? a n n

2

2

,

H n ? Gn ? An ? Qn .

均值不等式的证明方法很多， 至少有十多种.限于篇幅， 我们下面只介绍一种用数学归纳法证明的方法： 证明：记 Am ?

a1 ? a2 ? m

? am

, Gm ? m a1a2

am , m ? 1, 2,...

用数学归纳法，n=2 时显然；设对 n ? k (k ? 2) 成立，即有 Ak

? Gk ，那么 n ? k ? 1 时，

a1 ? a2 ? ? ak ? ak ?1 ? a1 ? a2 ? ? ak ? (ak ?1 ? Gk ?1 ? ... ? Gk ?1 ) ? (k ? 1)Gk ?1
? k k a1a2 ? 2k 2 k a1a2
?1 ak ? k k ak ?1Gkk? 1 ? (k ? 1)Gk ?1 ?1 ak ak ?1Gkk? 1 ? (k ? 1)Gk ?1

?1 k ?1 .故对任意大于 1 正整数 n，不等式均成立. ? 2k 2 k Gkk? 1 Gk ?1 ? (k ? 1)Gk ?1 ? (k ? 1)Gk ?1 ? Ak ?1 ? Gk ?1

（*）前面的不等式可进一步推广，设 x1 , x2 ,

, xn 是 n 个正实数，实数 r ? 0 ，则称
? xn r )
1 r

x1r ? x2r ? Mr ? ( n
为 x1 , x2 ,

, xn 的 r 次幂平均.
? M ? ，即
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定理 若 ? ? ? ，则 M ?

1

其中等号当且仅当 x1

? x2 ?

x ? ? x2? ? ( 1 n

? xn?

? xn 时成立.此不等式称为幂平均不等式.

x ? ? x2 ? ? ) ?( 1 n
1

?

? xn ?

1

) ，

?

例题精讲
【例1】 设正数 a1 , a2 , an 满足 a1a2
an ? 1 ，求证： (2 ? a1 )(2 ? a2 )

(2 ? an ) ? 3n

【例2】 若 S n ? 1 ? （1）

1 1 ? ? ? ,证明: 2 n
1

n(n ? 1) n ? n ? S n ；

（2）

(n ? 1)n

?

1 n ?1

? n ? Sn .

【例3】 （1）已知 ? ? (0, )

? 2

n ? N ,求证: (2n ? 1) sin
1 n 2 n

n

? (1 ? sin ? ) ? 1 ? sin 2n?1 ? .
n ?1 n

（2） n ? 1 , n ? N ,证明:

C ? C ??? C ? n ? 2
n n

.

【例4】 设 a1 , a2 ,

, an 是正实数，且满足 a1 ? a2 ? ? an ? 1 .证明：
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2

a1a2 (a1 ? a2 ?

an ? ?1 ? ? a1 ? a2 ?

? an ? ? ? (1 ? an )

? an )(1 ? a1 )(1 ? a2 )

?

1 . n n?1

【例5】 已知 a, b, c ? 0 ,且 求证:

a b c ? ? ? 1, 1? a 1? b 1? c

1 1 1 ? 2 ? 2 ? 12 . 2 a b c

【例6】 设 xi ? R

?

(i ? 1,2, , n), x1 ? x2 ?
? x2 1 ? x1 ? x3 ? ? xn ?

? xn ? 1 ，.求证：
? xn 1 ? x1 ? x2 ? ? xn?1 ? n . 2n ? 1

x1 1 ? x2 ? x3 ?

? xn

【例7】 （*）x、y、z ? R ? ， x ? y ? z ? 3 ，求证： (2008 年伊朗数学奥林匹克)

x3 y3 z3 1 2 ? ? ? ? ( xy ? yz ? zx) 3 3 3 y ? 8 z ? 8 x ? 8 9 27

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【例8】 （*）设三角形三边长分别为 a, b, c ，面积 S ，则

a ? b ? c ? 2 ?3
n n n n

4? n n

? S , n ? N?

n 2

大显身手
1． 设 a,b,c 是正实数,求证: a bc

? (b ? c ? a)(c ? a ? b)(a ? b ? c) .

2．

已知 a,b,c 为正数，证明：

c a b ? ? ?2 a b?c c

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3．

已知 a, b, c, d ? R ,且 a ? b ? c ? d ? 4 .求证:

?

a 2 bc ? b 2 da ? c 2 da ? d 2 bc ? 4 .

4．

已知 a, b, c

? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证:

1 1 1 27 ? ? ? . a(1 ? b) b(1 ? c) c(1 ? a) 4

板块二：柯西不等式
2 设 ai ? R, bi ? R, i ? 1,2,?, n ,则 ? ai i ?1 n

? bi2 ? (? aibi )2 ，
i ?1 i ?1

n

n

（*）

其展开形式即：

(a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ) 2 ? (a12 ? a2 2 ? ? ? an 2 )(b12 ? b2 2 ? ? ? bn 2 ) ,
等号当且仅当 ai

? ?bi ， （λ为常数, i ? 1,2,?, n ）时成立.

这个不等式在初等数学与近代数学中都有非常重要的地位，在竞赛中也常常出现. 竞赛中一般的不等式问题是直接应用上述的柯西不等式，但有些题目也需要我们主动构造，即题目中 只出现下式的左方：
n

?a
i ?1

2 i

?

(? ai bi ) 2
i ?1 n

n

?b
i ?1

（**）

2 i

这时我们可以根据具体问题的需要，添加合适的各个 bi , i ? 1,2, 下述的变形形式也常常用到：

,n .

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?b
i ?1

n

a

2 i i

?

(? ai ) 2
i ?1 n

n

? bi
i ?1

（***）

下面给出柯西不等式的两种证明： 证明 1（构造函数方法） ： 考察关于 t 的函数： ? (t ) ?
n

? (a t ? b )
i ?1 i i n n i ?1

n

2

?0

因为 ? (t ) ? t

2

? ? ai 2 ? 2t ? ? ai bi ?? bi 2 是一个一元二次函数且恒大于等于 0，从而
i ?1 i ?1 2 n 2 i

? ? 0 ? (? ai bi ) ? ? a
i ?1 i ?1

n

?b
i ?1

n

2 i

? 0 ，从而（*）式成立.
n

2 由上述证明过程可见，等号成立当 ? (t ) ? ? (ai t ? bi ) ? 0 有解 t0 ? ai t0 ? bi , i ? 1,2,..., n ，即两 i ?1

组数对应成比例.证毕. 证明 2：我们来证明拉格朗日恒等式： 立得（*）式成立.

? ai2
i ?1

n

? bi2 ? (? aibi )2 ?
i ?1 i ?1

n

n

1 (aib j ? a j bi )2 ，从而 ?? 2 i j

? a ?b
i ?1 2 i i ?1 n

n

n

2 i

? (? ai bi )2
i ?1 n n

n

? ? ai2
i ?1

n

? bi2 ? (? aibi ) (? aibi )
i ?1 i ?1 i ?1
i j

? ?? ai2b2 j ? ?? ai bi a j b j
i j

1 2 2 ? (?? ai2b2 j ? ?? a j bi ? 2?? ai bi a j b j ) 2 i j i j i j ? ? 1 2 2 (ai2b2 ?? j ? a j bi ? 2ai bi a j b j ) 2 i j 1 (ai b j ? a j bi )2 ，等号成立条件易于得到，此处从略.证毕. ?? 2 i j

例题精讲
【例9】 设 x1 , x2 ,

, xn 都是正数，求证：

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x12 x2 2 ? ? x2 x3

xn?12 xn 2 ? ? ? x1 ? x2 ? xn x1

? xn .

【例10】 设 a ? 0, b ? 0, c ? 0 .且 a ? b ? c ? 3 ，求证：

a b c 3 1 1 1 . ? ? ? ? ? ? 2 2 2 1? a 1? b 1? c 2 1? a 1? b 1? c

? 【例11】 （1979IMO）设 ai ? N , i ? 1, 2,

, n ,且互不相同，则 ?

n ak 1 ? ? 2 k ?1 k k ?1 k

n

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【例12】 已知实数 a, b, c, d , e 满足

a ? b ? c ? d ? e ? 8,

a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? e2 ? 16,
试确定 e 的最大值.

【例13】 设三角形三边为 a,b,c，面积为 ? ，试证明外森比克不等式：

a 2 ? b2 ? c2 ? 4 3?.

大显身手
5． 设 a ? 0, b ? 0, c ? 0 .且 a ? b ? c ? 3 ，求证：

a b c 3 1 1 1 . ? ? ? ? ? ? 2 2 2 1? a 1? b 1? c 2 1? a 1? b 1? c

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6．

设 x, x2 ?, xn 为正实数,证明:

xn x1 x2 ? ??? ? n. 2 2 2 2 2 1 ? x1 1 ? x1 ? x2 1 ? x1 ? ? ? xn
提示：首先对左边的平方用柯西，然后对柯西的右端放缩，裂项相消

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