第九讲 均值、柯西、排序不等式(1)
板块一:均值不等式
均值不等式的二元形式:
a?b ? ab , a, b ? R ? 2
算 术 - 几 何 平 均 (AM-GM) 不 等 式 的 n 元 一 般 形 式 为 : 设
a1 , a2 , , an
是非负实数,则
a1 ? a2 ? n
? an
? n a1a2
an .
注:利用更强的幂平均不等式可以得到如下的一系列的不等式,但是联赛甚至冬令营中一般来说只涉 及到上述的算术几何平均不等式. 算术平均 An ?
a1 ? a2 ? ? ? an , n
n
几何平均 Gn ?
a1 a 2 ?a n ,
n 1 1 1 ? ??? a1 a2 an
2
调和平均(在光学及电路分析中要用到) H n ?
,
平方平均(在统计学及误差分析中用到) Qn 则
?
a1 ? a 2 ? ? ? a n n
2
2
,
H n ? Gn ? An ? Qn .
均值不等式的证明方法很多, 至少有十多种.限于篇幅, 我们下面只介绍一种用数学归纳法证明的方法: 证明:记 Am ?
a1 ? a2 ? m
? am
, Gm ? m a1a2
am , m ? 1, 2,...
用数学归纳法,n=2 时显然;设对 n ? k (k ? 2) 成立,即有 Ak
? Gk ,那么 n ? k ? 1 时,
a1 ? a2 ? ? ak ? ak ?1 ? a1 ? a2 ? ? ak ? (ak ?1 ? Gk ?1 ? ... ? Gk ?1 ) ? (k ? 1)Gk ?1
? k k a1a2 ? 2k 2 k a1a2
?1 ak ? k k ak ?1Gkk? 1 ? (k ? 1)Gk ?1 ?1 ak ak ?1Gkk? 1 ? (k ? 1)Gk ?1
?1 k ?1 .故对任意大于 1 正整数 n,不等式均成立. ? 2k 2 k Gkk? 1 Gk ?1 ? (k ? 1)Gk ?1 ? (k ? 1)Gk ?1 ? Ak ?1 ? Gk ?1
(*)前面的不等式可进一步推广,设 x1 , x2 ,
, xn 是 n 个正实数,实数 r ? 0 ,则称
? xn r )
1 r
x1r ? x2r ? Mr ? ( n
为 x1 , x2 ,
, xn 的 r 次幂平均.
? M ? ,即
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定理 若 ? ? ? ,则 M ?
1
其中等号当且仅当 x1
? x2 ?
x ? ? x2? ? ( 1 n
? xn?
? xn 时成立.此不等式称为幂平均不等式.
x ? ? x2 ? ? ) ?( 1 n
1
?
? xn ?
1
) ,
?
例题精讲
【例1】 设正数 a1 , a2 , an 满足 a1a2
an ? 1 ,求证: (2 ? a1 )(2 ? a2 )
(2 ? an ) ? 3n
【例2】 若 S n ? 1 ? (1)
1 1 ? ? ? ,证明: 2 n
1
n(n ? 1) n ? n ? S n ;
(2)
(n ? 1)n
?
1 n ?1
? n ? Sn .
【例3】 (1)已知 ? ? (0, )
? 2
n ? N ,求证: (2n ? 1) sin
1 n 2 n
n
? (1 ? sin ? ) ? 1 ? sin 2n?1 ? .
n ?1 n
(2) n ? 1 , n ? N ,证明:
C ? C ??? C ? n ? 2
n n
.
【例4】 设 a1 , a2 ,
, an 是正实数,且满足 a1 ? a2 ? ? an ? 1 .证明:
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2
a1a2 (a1 ? a2 ?
an ? ?1 ? ? a1 ? a2 ?
? an ? ? ? (1 ? an )
? an )(1 ? a1 )(1 ? a2 )
?
1 . n n?1
【例5】 已知 a, b, c ? 0 ,且 求证:
a b c ? ? ? 1, 1? a 1? b 1? c
1 1 1 ? 2 ? 2 ? 12 . 2 a b c
【例6】 设 xi ? R
?
(i ? 1,2, , n), x1 ? x2 ?
? x2 1 ? x1 ? x3 ? ? xn ?
? xn ? 1 ,.求证:
? xn 1 ? x1 ? x2 ? ? xn?1 ? n . 2n ? 1
x1 1 ? x2 ? x3 ?
? xn
【例7】 (*)x、y、z ? R ? , x ? y ? z ? 3 ,求证: (2008 年伊朗数学奥林匹克)
x3 y3 z3 1 2 ? ? ? ? ( xy ? yz ? zx) 3 3 3 y ? 8 z ? 8 x ? 8 9 27
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3
【例8】 (*)设三角形三边长分别为 a, b, c ,面积 S ,则
a ? b ? c ? 2 ?3
n n n n
4? n n
? S , n ? N?
n 2
大显身手
1. 设 a,b,c 是正实数,求证: a bc
? (b ? c ? a)(c ? a ? b)(a ? b ? c) .
2.
已知 a,b,c 为正数,证明:
c a b ? ? ?2 a b?c c
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4
3.
已知 a, b, c, d ? R ,且 a ? b ? c ? d ? 4 .求证:
?
a 2 bc ? b 2 da ? c 2 da ? d 2 bc ? 4 .
4.
已知 a, b, c
? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证:
1 1 1 27 ? ? ? . a(1 ? b) b(1 ? c) c(1 ? a) 4
板块二:柯西不等式
2 设 ai ? R, bi ? R, i ? 1,2,?, n ,则 ? ai i ?1 n
? bi2 ? (? aibi )2 ,
i ?1 i ?1
n
n
(*)
其展开形式即:
(a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ) 2 ? (a12 ? a2 2 ? ? ? an 2 )(b12 ? b2 2 ? ? ? bn 2 ) ,
等号当且仅当 ai
? ?bi , (λ为常数, i ? 1,2,?, n )时成立.
这个不等式在初等数学与近代数学中都有非常重要的地位,在竞赛中也常常出现. 竞赛中一般的不等式问题是直接应用上述的柯西不等式,但有些题目也需要我们主动构造,即题目中 只出现下式的左方:
n
?a
i ?1
2 i
?
(? ai bi ) 2
i ?1 n
n
?b
i ?1
(**)
2 i
这时我们可以根据具体问题的需要,添加合适的各个 bi , i ? 1,2, 下述的变形形式也常常用到:
,n .
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?b
i ?1
n
a
2 i i
?
(? ai ) 2
i ?1 n
n
? bi
i ?1
(***)
下面给出柯西不等式的两种证明: 证明 1(构造函数方法) : 考察关于 t 的函数: ? (t ) ?
n
? (a t ? b )
i ?1 i i n n i ?1
n
2
?0
因为 ? (t ) ? t
2
? ? ai 2 ? 2t ? ? ai bi ?? bi 2 是一个一元二次函数且恒大于等于 0,从而
i ?1 i ?1 2 n 2 i
? ? 0 ? (? ai bi ) ? ? a
i ?1 i ?1
n
?b
i ?1
n
2 i
? 0 ,从而(*)式成立.
n
2 由上述证明过程可见,等号成立当 ? (t ) ? ? (ai t ? bi ) ? 0 有解 t0 ? ai t0 ? bi , i ? 1,2,..., n ,即两 i ?1
组数对应成比例.证毕. 证明 2:我们来证明拉格朗日恒等式: 立得(*)式成立.
? ai2
i ?1
n
? bi2 ? (? aibi )2 ?
i ?1 i ?1
n
n
1 (aib j ? a j bi )2 ,从而 ?? 2 i j
? a ?b
i ?1 2 i i ?1 n
n
n
2 i
? (? ai bi )2
i ?1 n n
n
? ? ai2
i ?1
n
? bi2 ? (? aibi ) (? aibi )
i ?1 i ?1 i ?1
i j
? ?? ai2b2 j ? ?? ai bi a j b j
i j
1 2 2 ? (?? ai2b2 j ? ?? a j bi ? 2?? ai bi a j b j ) 2 i j i j i j ? ? 1 2 2 (ai2b2 ?? j ? a j bi ? 2ai bi a j b j ) 2 i j 1 (ai b j ? a j bi )2 ,等号成立条件易于得到,此处从略.证毕. ?? 2 i j
例题精讲
【例9】 设 x1 , x2 ,
, xn 都是正数,求证:
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x12 x2 2 ? ? x2 x3
xn?12 xn 2 ? ? ? x1 ? x2 ? xn x1
? xn .
【例10】 设 a ? 0, b ? 0, c ? 0 .且 a ? b ? c ? 3 ,求证:
a b c 3 1 1 1 . ? ? ? ? ? ? 2 2 2 1? a 1? b 1? c 2 1? a 1? b 1? c
? 【例11】 (1979IMO)设 ai ? N , i ? 1, 2,
, n ,且互不相同,则 ?
n ak 1 ? ? 2 k ?1 k k ?1 k
n
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【例12】 已知实数 a, b, c, d , e 满足
a ? b ? c ? d ? e ? 8,
a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? e2 ? 16,
试确定 e 的最大值.
【例13】 设三角形三边为 a,b,c,面积为 ? ,试证明外森比克不等式:
a 2 ? b2 ? c2 ? 4 3?.
大显身手
5. 设 a ? 0, b ? 0, c ? 0 .且 a ? b ? c ? 3 ,求证:
a b c 3 1 1 1 . ? ? ? ? ? ? 2 2 2 1? a 1? b 1? c 2 1? a 1? b 1? c
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6.
设 x, x2 ?, xn 为正实数,证明:
xn x1 x2 ? ??? ? n. 2 2 2 2 2 1 ? x1 1 ? x1 ? x2 1 ? x1 ? ? ? xn
提示:首先对左边的平方用柯西,然后对柯西的右端放缩,裂项相消
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