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高中数学必修2-3.3.3、4《点到直线的距离、两条平行直线间的距离》同步练习

3.3.3、4《点到直线的距离、两条平行直线间的距离》同步练习
一、选择题 1.已知原点 O(0,0),则点 O 到直线 x+y+2=0 的距离等于( A.1 C. 2 [答案] C [解析] 点 O 到直线 x+y+2=0 的距离为 |2| = 2. 12+12 ) B.2 D. 2 2 )

2.两平行直线 x+y-1=0 与 2x+2y+1=0 之间的距离是( 3 2 A. 4 C.2 [答案] A B. 2 4

D.1

1 3 2 [解析] 2x+2y+1=0 可化为 x+y+ =0,由两平行直线间的距离公式,得 2 = . 2 4 1 +12 3.若点 A(-3,-4),B(6,3)到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等,则实数 a 的值为( 7 A. 9 7 1 C.- 或- 9 3 [答案] C |-3a-4+1| |6a+3+1| 1 7 [解析] 由题意及点到直线的距离公式得 = ,解得 a=- 或- . 2 2 3 9 a +1 a +1 4.若点 P 在直线 3x+y-5=0 上,且点 P 到直线 x-y-1=0 的距离为 2,则点 P 的坐标为( A.(1,2) C.(1,2)或(2,-1) [答案] C 3x +y -5=0 ? ? ? ? 0 0 ?x0=1 ?x0=2 [解析] 设点 P 的坐标为(x0,y0),则有?|x0-y0-1| ,解得? 或? . ?y0=2 ?y0=-1 = 2 ? ? ? 2 ? 5.与直线 2x+y+1=0 的距离为 A.2x+y=0 C.2x+y=0 或 2x+y-2=0 [答案] D 5 的直线方程为( 5 ) B.(2,1) D.(2,1)或(-1,2) ) 1 B.- 3 7 1 D. 或 9 3 )

1 | +1| 2

B.2x+y-2=0 D.2x+y=0 或 2x+y+2=0

1

[解析] 根据题意可设所求直线方程为 2x+y+C=0(C≠1), 因为两直线间的距离等于 = 5 ,解得 C=0 或 C=2,所以所求直线方程为 2x+y=0 或 2x+y+2=0.故选 D. 5

|C-1| 5 , 所以 2 2 5 2 +1

6.直线 l 垂直于直线 y=x+1,原点 O 到 l 的距离为 1,且 l 与 y 轴正半轴有交点,则直线 l 的方程是 ( ) A.x+y- 2=0 C.x+y-1=0 [答案] A [分析] 所求直线 l 与直线 y=x+1 垂直,可以直接设直线 l 的方程为 y=-x+b,与 y 轴正半轴有交 点,确定截距范围,再利用原点到直线的距离等于 1 求参数,得直线方程. [解析] 因为直线 l 与直线 y=x+1 垂直,所以直接设直线 l 的方程为 y=-x+b,又 l 与 y 轴正半轴 |0+0-b| 有交点,知 b>0,即 x+y-b=0(b>0)的距离 2 =1,求得 b= 2(b=- 2舍去),所以所求直线 l 的 1 +12 方程为 x+y- 2=0. 二、填空题 7.两条直线 l1:3x+4y+1=0 和 l2:5x+12y-1=0 相交,则其顶点的角平分线所在直线的方程为 ________. [答案] 7x-4y+9=0,8x+14y+1=0 |3x+4y+1| |5x+12y-1| [解析] 设 P(x, y)是所求直线上的任意一点, 则点 P 到 l1, l2 的距离相等, 即 = , 32+42 52+122 整理,得所求直线的方程为 7x-4y+9=0,8x+14y+1=0. 8.过点 A(-3,1)的所有直线中,与原点距离最远的直线方程是________. [答案] 3x-y+10=0 1 [解析] 当原点与点 A 的连线与过点 A 的直线垂直时,距离最大.∵kOA=- ,∴所求直线的方程为 3 y-1=3(x+3),即 3x-y+10=0. 9.点 P(x,y)在直线 x+y-4=0 上,则 x2+y2 的最小值是________. [答案] 8 [解析] x2+y2 可看成原点 O 与直线 x+y-4=0 上的点 P(x,y)间距离的平方,易知当 OP 垂直已知直 |-4| 线时,距离最短,此时 d= =2 2,所以 d2=8. 2 三、解答题 10.已知正方形的中心为直线 2x-y+2=0 和 x+y+1=0 的交点,其一边所在直线的方程为 x+3y- 5=0,求其它三边的方程.
? ? ?2x-y+2=0, ?x=-1, [解析] 由? 解得? ?x+y+1=0, ?y=0, ? ? 2

B.x+y+1=0 D.x+y+ 2=0

即该正方形的中心为(-1,0). 所求正方形相邻两边方程 3x-y+p=0 和 x+3y+q=0. ∵中心(-1,0)到四边距离相等, ∴ |-3+p| |-1+q| 6 6 = , = , 10 10 10 10

解得 p1=-3,p2=9 和 q1=-5,q2=7, ∴所求方程为 3x-y-3=0,3x-y+9=0,x+3y+7=0. 11.求经过点 P(1,2)的直线,且使 A(2,3),B(0,-5)到它的距离相等的直线方程. [分析] 解答本题可先设出过点 P 的点斜式方程,注意斜率不存在的情况,要分情况讨论,然后再利 用已知条件求出斜率,进而写出直线方程.另外,本题也可利用平面几何知识,先判断直线 l 与直线 AB 的位置关系,再求 l 方程.事实上,l∥AB 或 l 过 AB 中点时,都满足题目的要求. [解析] 方法 1:当直线斜率不存在时,即 x=1,显然符合题意,当直线斜率存在时,设所求直线的 斜率为 k,即直线方程为 y-2=k(x-1), |2k-3-k+2| |5-k+2| 由条件得 = ,解得 k=4, k2+1 k2+1 故所求直线方程为 x=1 或 4x-y-2=0. 方法 2:由平面几何知识知 l∥AB 或 l 过 AB 中点. ∵kAB=4, 若 l∥AB,则 l 的方程为 4x-y-2=0. 若 l 过 AB 中点(1,-1),则直线方程为 x=1, ∴所求直线方程为 x=1 或 4x-y-2=0. 12.过点(2,3)的直线 l 被两平行直线 l1:2x-5y+9=0 与 l2:2x-5y-7=0 所截线段 AB 的中点恰在 直线 x-4y-1=0 上,求直线 l 的方程. [解析] 设线段 AB 的中点 P 的坐标为(a,b),由点 P 到直线 l1,l2 的距离相等,得 |2a-5b-7| 22+?-5?2 |2a-5b+9| = 22+?-5?2

,整理得 2a - 5b + 1 = 0. 又点 P 在直线 x - 4y - 1 = 0 上,所以 a - 4b - 1 = 0. 解方程组

? ? ?2a-5b+1=0 ?a=-3 y-?-1? ? , 得? , 即点 P 的坐标为(-3, -1). 又直线 l 过点(2,3), 所以直线 l 的方程为 3 -?-1? ?a-4b-1=0 ? ? ?b=-1



x-?-3? ,即 4x-5y+7=0. 2-?-3?

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