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【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 §1.3.2第2课时奇偶性的应用配套试题 新人教A版必修1

第 2 课时

奇偶性的应用

一、基础过关 1. 下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定过原点;③偶函 数的图象关于 y 轴对称;④没有一个函数既是奇函数,又是偶函数. 其中正确命题的个数是 A.1 B.2
2

( C.3 D.4

)

2. 已知函数 f(x)=(m-1)x -2mx+3 是偶函数,则在(-∞,0)上此函数 ( ) A.是增函数 C.是减函数 B.不是单调函数 D.不能确定 )

3.定义在 R 上的函数 f(x)在(-∞, 2)上是增函数, f(x+2)的图象关于 y 轴对称, 且 则( A.f(-1)<f(3) C.f(-1)=f(3) B.f(0)>f(3) D.f(0)=f(3)

4. 设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(1)=0,则不等式 解集为( ) B.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,1)
2

f? x? -f? -x? <0 的 x

A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

5. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x>0 时,f(x)=x +|x|-1,那么 x<0 时,f(x)= ________. 6. 设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则

f(7.5)=________.
7. 设函数 f(x)在 R 上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,且 f(2a +a+1)<f(2a -2a+ 3),求 a 的取值范围. 8. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的单调函数, 满足 f(-3)=2, 且对任意的实数 a∈R 有 f(-
2 2

a)+f(a)=0 恒成立.
(1)试判断 f(x)在 R 上的单调性,并说明理由. 2-x (2)解关于 x 的不等式 f( )<2.

x

二、能力提升 9.已知偶函数 f(x)在区间[0, +∞)上单调递增, 则满足 f(x)<f(1)的 x 的取值范围是( A.(-1,1) B.(-1,0)
1

)

C.(0,1)

D.[-1,1)

10.设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则 f(-2),f(π ),

f(-3)的大小关系是
( )

A.f(π )>f(-3)>f(-2) B.f(π )>f(-2)>f(-3) C.f(π )<f(-3)<f(-2) D.f(π )<f(-2)<f(-3) 5 7 11.y=f(x)在(0,2)上是增函数,y=f(x+2)是偶函数,则 f(1),f( ),f( )的大小关系是 2 2 ________________. 1 12.已知函数 f(x)=ax+ 2(x≠0,常数 a∈R).

x

(1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[3,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围. 三、探究与拓展
?f? x? ? 2 13.已知函数 f(x)=ax +bx+1(a,b 为常数),x∈R.F(x)=? ? ?-f? x?

? x>0? ?

x<0?

.

(1)若 f(-1)=0,且函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 F(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范 围; (3)设 m·n<0,m+n>0,a>0,且 f(x)为偶函数,判断 F(m)+F(n)能否大于零?

2

答案 1. A 2.A 3.A 4.C 5.-x +x+1
2

6.-0.5

7. 解 由 f(x)在 R 上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增, 可知 f(x)在(0,+∞)上递减. 1 2 7 2 ∵2a +a+1=2(a+ ) + >0, 4 8 1 2 5 2 2a -2a+3=2(a- ) + >0, 2 2 且 f(2a +a+1)<f(2a -2a+3), ∴2a +a+1>2a -2a+3, 2 即 3a-2>0,解得 a> . 3 8. 解 =0, 又∵f(x)在 R 上是单调函数.由 f(-3)=2,得 f(0)<f(-3), 所以 f(x)为 R 上的减函数. (2)由 f(-3)=2,又由于 f( 解得 x<-1 或 x>0, ∴不等式的解集为{x|x<-1 或 x>0}. 9. A 10.A 7 5 11.f( )<f(1)<f( ) 2 2 2-x 2-x 2x+2 )<f(-3)且由(1)可得 >-3,即 >0, (1)f(x)是 R 上的减函数.由 f(-a)+f(a)=0,可得 f(x)为 R 上的奇函数,∴f(0)
2 2 2 2

x

x

x

12.解 (1)定义域(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 1 当 a=0 时,f(x)= 2,满足对定义域上任意 x,f(-x)=f(x),

x

∴a=0 时,f(x)是偶函数; 当 a≠0 时,f(1)=a+1,f(-1)=1-a, 若 f(x)为偶函数,则 a+1=1-a,a=0 矛盾; 若 f(x)为奇函数,则 1-a=-(a+1), 1=-1 矛盾, ∴当 a≠0 时,f(x)是非奇非偶函数.

x2-x2 2 1 (2)任取 x1>x2≥3,f(x1)-f(x2)=ax1+ 2-ax2- 2=a(x1-x2)+ 2 2 =(x1-x2)(a- x1 x2 x1x2
1 1

x1+x2 ). x2x2 1 2
∵x1-x2>0,f(x)在[3,+∞)上为增函数,∴a>

x1+x2 1 1 2 2 ,即 a> 2+ 2 在[3,+∞) x1x2 x1x2 x1x2
3

上恒成立. ∵x1>x2≥3, 1

xx

2 1 2



1 1 2 2 < = ,∴a≥ . 2+ 2 x x 3×3 3 ×3 27 27
2 1 2

1

?a-b+1=0 ? 13.解 (1)由题意,得:?a>0 ?b2-4a=0 ?
?? x+1? ? 所以 F(x)的表达式为 F(x)=? ? ?-? x+1?
2

,解得:?

?a=1 ? ?b=2 ?



?
2

x>0? x<0?

?

.

2-k k-2 2 (2)g(x)=x +(2-k)x+1,图象的对称轴为 x=- = , 2 2 由题意,得

k-2
2

≤-2 或

k-2
2

≥2,解得 k≥6 或 k≤-2.
2

?ax +1? x>0? ? (3)∵f(x)是偶函数,∴f(x)=ax +1,F(x)=? 2 ? ?-ax -1? x<0?
2

.

∵m·n<0,不妨设 m>n,则 n<0. 又 m+n>0,则 m>-n>0,∴|m|>|n|.

F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=(am2+1)-an2-1=a(m2-n2)>0,∴F(m)+F(n)大于零.

4


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