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新课标极坐标参数方程高考题汇总


极坐标参数方程训练题
1、(2014·福建高考理科·T21)已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? a ? 2t (t为参数) ,圆 C 的参数方程为 ? y ? ?4t
(2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围.

? x ? 4cos ? (? 为参数). ? ? y ? 4sin ?

(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程;

2..(2014·辽宁高考)将圆 (Ⅰ)写出 C 的参数方程;

x2 ? y 2 ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.
(Ⅱ)设直线

P, P l : 2 x? y? 2 ? 0 与 C 的交点为 1 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为

极坐标建立极坐标系,求过线段

PP 1 2 的 中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

3..(2014·新课标全国卷Ⅱ高考·T23) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参 数方程在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为ρ =2cosθ ,θ ∈错误! 未找 到引用源。. (1)求 C 的参数方程. 标. (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y=

3 x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐

-1-

4.(15 年新课标 1)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点,x
2 2

(I) 求 C1 , C2 的极坐标方程( . II) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? 的面积.

?

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 4

5.(2015 新课标(II) )直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , ( t 为参数, t ? 0 ) ,其中 0 ? ? ? ? ? y ? t sin ? ,

,在以 O 为

极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2

: ? ? 2sin ? ,曲线 C3 : ? ? 2 3 cos ? .

(Ⅰ).求 C2 与 C1 交点的直角坐标; (Ⅱ).若 C2 与 C1 相交于点

A , C3 与 C1 相交于点 B ,求 AB

的最大值.

-2-

6.(2013·辽宁高考)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆 C1 ,直线 C2 的极坐标 方程分别为 ?

? 4sin ? , ? cos(? ? ) ? 2 2. 4

?

(?) 求 C1 与 C2 的交点的极坐标; (?? ) 设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 的交点连线 的中点,已知直线 PQ 的参数方程

? x ? t 3 ? a, ? 为? b 3 (t ? R为参数).求 a , b 的值。 ? y ? t ?1 ? 2

7.(2013·新课标Ⅰ)已知曲线 C1 的参数方程为 ? 轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ? y ? 5 ? 5sin t ,

( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极

? 2 sin ? .

(Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 。

8.(2013·江苏高考T21)在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ?1 (t ? y ? 2t

为参数 ),曲线 C 的参数方程为

? x ? 2 tan 2 ? ( ? 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程, ? ? y ? 2 tan ?

并求出它们的公共点的坐标.

-3-

9.(2013·福建高考理科·T21)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的 极坐标为 ?

?? ? ? 2 , ? ,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? a ,且点 A 在直线 l 上。 4? 4 ?
? x ? 1 ? cos a, (a为参数) ,试判断直线 l 与圆 C 的位 ? y ? sin a

(Ⅰ)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)圆 C 的参数方程为 ? 置关系.

10.(2013 ·新课标全国Ⅱ高考)已知动点 P,Q 都在曲线 C: ?

? x ? 2cos t ? y ? 2sin t

?t为参数?

上,对应参数分别为 t=α

与 t =2α (0<α <2π ),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程. (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

-4-

极坐标参数方程训练题
【参考答案】
1.【解析】(1)直线 l 的普通方程为 2 x ?

y ? 2a ? 0 ,圆 C 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 16

(2)∵直线 l 与圆 C 有公共点,∴圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d

?

?2a 5

? 4 ,解得 ?2 5 ? a ? 2 5 ,

∴实数 a 的取值范围是 [?2

5,2 5] XXK]

2.【解析】 (Ⅰ)设

? x1 , y1 ? 为圆上的点,在已知变换下变为 C 上的点 ? x, y ? .依题意得

2 ? x ? x1 , ? y? y2 2 2 x ? ? 1 ? x ? ?1 2 2 ? ? ? y ? 2 y1. 由 x1 ? y1 ? 1得 ?2? 4 ,即曲线 C 的方程为 .

? x ? cos t , ? y ? 2sin t , ( t 为参数). 故 C 的参数方程为 ?
? 2 y2 ? 1, ?x ? ? x ? 1, ? x ? 0, 4 ? ? ? ?2 x ? y ? 2 ? 0 y ? 0 或 ? y ? 2. (Ⅱ)由 ? 解得 ?
?1 ? 1 ,1? . k ? . ? P ?1,0? , P PP 2 ? 所求直线斜率为 2 ? 0,2? 2 不妨设 1 ,则线段 1 2 的中点坐标为 ?

1? 1? 3 y ?1 ? ? x ? ?. ?? . 2? 2 ? 化为极坐标方程,并化简得 4sin ? ? 2 cos ? 于是所求直 线方程为

3.【解析】 (1)C 的普通方程为

? x ? 1?

2

? y2 ? 1

(0≤y≤1).

可得 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos t ? y ? sin t

(t 为 参数,0≤t≤π ).

(2)设 D(1+cos t,sin t) ,由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以 直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t=

3 , t=

? 3

.

故 D 的直角坐标为 ?1 ? cos

? ?

?
3

,sin

??
? 3?

,即 ?

?3 3? ?2, 2 ? ? ? ?

.

4.【解析】 (Ⅰ)因为 x

? ? cos? , y ? ? sin? , ? ?2 , C2 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin? ? 4 ? 0
-5-

∴ C1 的极坐标方程为 ? cos ?

(Ⅱ)将 ? = 解得 ?1 =

? 4

代入 ?

2

2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 ,得 ? ? 3 2? ? 4 ? 0 ,

2 2 , ?2 = 2 ,|MN|= ?1 - ?2 = 2 ,
1 1 ? 2 ? 1? sin 45o = 2 2
.

因为 C2 的半径为 1,则 ?C2 MN 的面积

考点:直角坐标方程与极坐标互化;直线与圆的位置关系

5.【解析】 (Ⅰ)曲线 C2 的直角坐标方程为 x 曲线 C3 的直角坐标方程为 x
2

2

? y2 ? 2 y ? 0 ,

? y2 ? 2 3x ? 0 .
3 , 2 3 , 2

? 2 2 x? ? ? x ? 0, ? ? x ? y ? 2 y ? 0, ? 联立 ? 解得 ? 或? 2 2 ? ? y ? 0, ? y ? ? x ? y ? 2 3x ? 0, ? ?
所以 C2 与 C1 交点的直角坐标为 (0, 0) 和 (

3 3 , ). 2 2

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? 因此

? ? ( ? ? R, ? ? 0) ,其中 0 ? ? ? ?



A 得到极坐标为 (2sin ? , ? ) , B 的极坐标为 (2 3 cos ? , ? ) .
AB ? 2sin ? ? 2 3 cos ? ? 4 s in(? ? ) 3
? 5? 6
时,

所以

?



当?

AB

取得最大值,最大值为 4 .

6.【解析】 (? ) 由 ?

? x 2 ? y 2 , ? cos ? ? x, ? sin ? ? y 得,
2

圆 C1 的直角坐标方程为 x

? ( y ? 2)2 ? 4
y?4 ?0

直线 C2 的直角坐标方程分别为 x ?

由?

? x2 ? ( y ? 2)2 ? 4, ? x1 ? 0, 解得 ? ? y1 ? 4, ? x ? y ? 4 ? 0.

? x2 ? 2, ? ? y2 ? 2,

所以圆 C1 ,直线 C2 的交点直角坐标为 (0, 4),(2, 2) 再由 ?

? x 2 ? y 2 , ? cos ? ? x, ? sin ? ? y , 将交点的直角坐标化为极坐标 (4, ), (2 2, ) 所以 C1 与 C2 的交点 2 4
-6-

?

?

的极坐标 (4,

?

), (2 2, ) 2 4

?

(?? ) 由 (?) 知,点 P , Q 的直角坐标为 (0, 2), (1,3)
故直线 PQ 的直角坐标方程为 x ? 由于直线 PQ 的参数方程为

y?2?0



? x ? t 3 ? a, ? ? b 3 (t ? R为参数). y ? t ?1 ? ? 2
b ab x? ?1 2 2 ?b ? 1, ? ? 对照①②可得 ? 2 ?? ab ? 1 ? 2. ? ? 2
消去参数

y?



解得 a ? ?1, b ? 2.

7.【解析】将 ?

? x ? 4 ? 5 cost 2 2 消去参数 t ,化为普通方程 ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 25 , ? y ? 5 ? 5 sin t

即 C1 : x

2

? y 2 ? 8x ? 10y ? 16 ? 0 .

将?

? x ? ? cos? 2 2 代入 x ? y ? 8x ? 10y ? 16 ? 0 得 y ? ? sin ? ?

? 2 ? 8? cos? ? 10? sin ? ? 16 ? 0 .
(Ⅱ) C 2 的普通方程为 x
2

? y2 ? 2y ? 0 .

由?

2 2 ? ?x ? 1 ?x ? 0 ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 ,解得 ? 或? . 2 2 ?x ? y ? 2 y ? 0 ?y ? 1 ?y ? 2 ?

所以 C1 与 C 2 交点的极坐标分别为 (

2 , ) , ( 2, ) 4 2

?

?

8.【解析】 因为直线

l

的参数方程为 ?

?x ? t ?1 (t ? y ? 2t

为参数), 由 x = t+1 得 t = x-1, 代入 y = 2t, 得到直线 l 的普通方程为

2x-y-2 = 0. 同理得到曲线 C 的普通方程为

y 2 = 2x.

联立方程组 ?

? y ? 2( x ?1)
2 ? y ? 2x

,

-7-

1 , -1). 2 ? ? 9.【解析】 (Ⅰ)由点 A( 2, ) 在直线 ? cos(? ? ) ? a 上,可得 a ? 2 4 4
解得公共点的坐标为(2, 2), ( 所以直线 l 的方程可化为 ? cos ? 从而直线 l 的直角坐标方程为 x ?

? ? sin ? ? 2

y?2 ? 0
2

(Ⅱ)由已知得圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) 所以圆心为 (1, 0) ,半径 r ? 1

? y2 ? 1

以为圆心到直线的距离 d

?

2 ? 1 ,所以直线与圆相交 2

10.【解析】 (1)依题意有 P

? 2cos?,2sin ? ? , Q ? 2cos2?,2sin 2? ? , 因此

M ? cos ? ? cos 2? ,sin ? ? sin 2? ? .
M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? ??为参数,0 ? ? ? 2? ? ? y ? sin ? ? sin 2?

(2)M 点到坐标原点的距离

d ? x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? , ? 0 ? ? ? 2? ? .
当?

? ? 时, d ? 0 ,故 M 的轨迹过坐标原点.

-8-


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