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2014年江苏省名校模拟数学试卷04(南京清江花苑严老师)


2014 年江苏省名校模拟数学试卷 04
一,填空题 1. 定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x?A,y?B},设集合 A={0,1},B={2,3},则集 合 A⊙B 的所有元素之和为_______. 3 4 ( ? 2. (2012 江苏省木渎高级中学) sin ? ? ) (cos ? ? )i 是纯虚数, tan ? ? 则 . 5 5 3.(2012 江苏省木渎高级中学)已知 tan ? ? 1 ,则 sin ? cos ? ? 2 sin 2 ? ?
2

4.用 a 、 b 、 c 表示三条不同的直线, y 表示平面,给出下列命题: ①若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;②若 a ⊥ b , b ⊥ c ,则 a ⊥ c ; ③若 a ∥ y , b ∥ y ,则 a ∥ b ;④若 a ⊥ y , b ⊥ y ,则 a ∥ b . 5.已知数列 {an } 为等差数列,且 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 tan(a2 ? a12 ) = ______. 6.条件 p:不等式 log 2 ( x ? 1) ? 1 的解;条件 q:不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解,则 p 是 q 的 . 7.已知定义在 R 上的连续函数 y ? f (x) 的图象在点 M (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ? 则 f (1) + f ? (1)=________.

1 x?2, 2
.
P

8.已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60°,则 a ? b ? 9.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ ,由此点向塔沿 直线行走 30 米,测得塔顶的仰角为 2θ ,再向塔前进 10 3 米, 又测得塔顶的仰角为 4θ ,则塔高是_____ .米. 10. (2013.镇江一中)当 x ? (0,1) 时,不等式 x 2 ? log a ( x ? 1) 恒成立,则实数 a 的范围为 ___
2 2
A ? B

?

?

?

?

?

?

? ?

2? C

4?

Q

11.直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是
2 2

.

x y ? 2 ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在 2 a b 点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是 . 1 1 2 ? ? 10ac ? 25c 2 的最小值是 13.设 a ? b ? c ? 0 ,则 2a ? . ab a (a ? b) ?2 ? 2 14 ( 2013 镇 江 一 中 ) . 设 函 数 f ( x) ? x ? 1 , 对 任 意 x ? ? , ?? ? , ?3 ? ?x? . f ? ? ? 4m 2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ?m?
12.椭圆 二,解答题 15.已知 ?a n ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a1 , a 3 , a 9 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项; (Ⅱ)求数列 2 an 的前 n 项和 S n .

? ?

16.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值.

17 本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A 、 B 、 C 所对的边长,a,b,c 成等比数列. (1)求 B 的取值范围; (2)若 x = B,关于 x 的不等式 cos2x?4sin( 数 m 的取值范围.

?
4

?

x ? x )sin( ? )+m>0 恒成立,求实 2 4 2

18.江苏某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60 (如图) , 考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积 为 9 3 平方米,且高度不低于 3 米.记防洪堤横断面的腰长为 x(米) 外周长 .......BC 与两腰长的和) y(米) , (梯形的上底线段 . ...... 为 ⑴求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; ⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米, 则其腰长 x 应在什 么范围内? ⑶当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料 最省(即断面的外周长最小)?求此时外周长的值.

?

60?

19. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分.

x2 y2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 的两个焦点为 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) , c 2 是 a 2 与 b 2 的等差中项, a b 3 其中 a 、 b 、 c 都是正数,过点 A(0,?b) 和 B (a,0) 的直线与原点的距离为 . 2
(1)求椭圆的方程; (2)点 P 是椭圆上一动点,定点 A1 (0,2) ,求△ F1 PA1 面积的最大值;

(3)已知定点 E (?1,0) ,直线 y ? kx ? t 与椭圆交于 C 、 D 相异两点.证明:对任意的

t ? 0 ,都存在实数 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点.

20. (2013 人大附中) (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题 满分 5 分,第 3 小题满分 6 分. 函数 y ? f (x) ,x ? D , 其中 D ? ?. 若对任意 x ? D , f ( x ) ? f ( x) , 则称 y ? f (x) 在 D 内为对等函数.

x , y ? x 3 , y ? 2 x 在其定义域内哪些为对等函数; (2) 试研究对数函数 y ? log a x( a ? 0 且 a ? 1 ) 在其定义域内是否是对等函数?若是,
(1)指出函数 y ? 请说明理由;若不是,试给出其定义域的一个非空子集,使 y ? log a x 在所给集合内成为 对等函数; (3)若 ?0? ? D , y ? f (x) 在 D 内为对等函数,试研究 y ? f (x) ( x ? D )的奇偶性.

数 学 (理科加试题) (09 启东中学) (加试题每小题 10 分,共 40 分,考试时间 30 分钟) 1. (选修 4—2:矩阵与变换) ?1? 已知二阶矩阵 A 的属于特征值-1 的一个特征向量为 ? ? , 属于特征值 3 的一个特征向 ? ?3?
?1? 量为 ? ? ,求矩阵 A. ?1?

2. (选修 4—4:坐标系与参数方程)[ 在极坐标系中,从极点 O 作直 线与另一直线 l : ? cos ? ? 4 相交于点 M,在 OM 上取一点

P,使 OM ? OP ? 12 . (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设 R 为 l 上任意一点,试求 RP 的最小值.

3.为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 n 株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为 p,设 ? 为成活沙柳的株数,数

6 . 2 (1)求 n,p 的值并写出 ? 的分布列; (2)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.
学期望 E? ? 3 ,标准差 ?? 为

4.设 m, n ? N , f ( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) ,
m n

(1)当 m ? n ? 7 时, f ( x) ? a7 x 7 ? a6 x 6 ? ? ? a1 x ? a0 ,求 a0 ? a2 ? a4 ? a6 ; (2)当 m ? n 时, f ( x) 展开式中 x 2 的系数是 20,求 n 的值; (3) f ( x) 展开式中 x 的系数是 19,当 m , n 变化时,求 x 2 系数的最小值.


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