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广州培正中学2011-2012学年高二第一学期期中考试(文数)

广州培正中学 2011-2012 学年高二第一学期期中考试 数学(文科)试题
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.某影院有 50 排座位,每排有 60 个座位,一次报告会坐满了听众,会后留下座号为 18 的 所有听众 50 人进行调查,记作①;某学校高二年级有 12 名女排运动员,要从中选出 3 人调查学习负担情况,记作②,那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是( A.分层抽样法,系统抽样法 C.系统抽样法,简单随机抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法 )

2.为了解某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)的关系,统计了(x,y)的 10 组 值,并画成散点图如图1,则其回归方程可能是(
?



A. y ? ? 1 0 x ? 1 9 8
?

B. y ? ? 1 0 x ? 1 9 8
?

C. y ? 1 0 x ? 1 9 8
?

D. y ? 1 0 x ? 1 9 8

3.如果 x 1 , x 2 ,..., x n 的平均数为 a ,标准差为 s ,则 x 1 ? 2 , x 2 ? 2 ,..., x n ? 2 的平均数和标 准差分别为( A. a , s ) B. 2 ? a , s ) C. 2 ? a , 2 s D. 2 ? a , 4 s

4.下列说法正确的是(

A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“存在 x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“对任意 x∈R, 均有 x2+x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 5.如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数 为 96 颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( A. 7 .6 8 C. 1 7 .3 2 B. 1 6 .3 2 D. 8 .6 8 )

1

6.现有一个 17 人的数学学习小组,其最近一次数学 能力检测分数如图 2 的茎叶图所示。现将各人分数输 入图 2 程序框图中,则计算输出的结果 n=( A.6 B.7 C.8 D.9 )

7.如上左图,给出的是计算

1 2

?

1 4

?

1 6

? ????

1 2008

?

1 2010

的值的一个算法流程图,则其

中判断框内应填入( ) A. i ? 1004 ? B. i ? 1005 ?

C. i ? 1006 ?

D. n ? 2010 ?

8.如右图,是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体,现用红、蓝两种颜色为 其涂色,每个图形只能涂一种颜色,则三个形状颜色不全相同 的概率为( A.
1 8

) B.
3 8

C.

1 4

D.

3 4

9.为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力情况,得到 频率分布直方图,如右下图,由于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数成等比数列, 后 6 组的频数成等差数列,设 最大频率为 a,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b,则 a, b 的值分别为( A.0.27,78; B.0.27,87; C.0.30,87; D.0.30,78 )

2

? x ? y ? 1, ? 10.已知不等式组 ? x ? y ? ? 1, 表示的平面区域记为 M ,不等式 y ? ?y ? 0 ?

1 2

? x

2

所表示的区

域记为 N。若往 M 区域随机地撒芝麻,则芝麻落在区域 N 的概率为( A. 1 B.
?
8



C.

?
4

D.

?
2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. 某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了 了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为 12.若不等式 x ? 1 ? 1 ? x 成立的充分不必要条件为 x ? a ,则实数 a 的取值范围为 13.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一 次出现的点数为 m,第二次出现的点数为 n ,向量 p =(m,n), q =(3,6), 则向量 p 与 q 共线的概率为 .

[

]

14. 按右边程序框图运算:若输入 x ? 5 , 则输出 k= ;若输出 k=3,则 .

输入 x 的取值范围是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15. (本题满分 12 分)小明、小华用 4 张扑克牌(分别是黑桃 2、黑桃 4,黑桃 5、梅花 6) 玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,小明先抽,小华后抽,抽出的牌不放 回, 各抽一张. (1) 若小明恰好抽到黑桃 4, 求小华抽出的牌的牌面数字比 4 大的概率;(2) 小明、小华约定:若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大,则小明胜,反之,则小明负,你 认为这个游戏是否公平,说明你的理由.

16.(本题满分 12 分)设命题 p : 实数 x 满足 x ? 4 ax ? 3 a ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q : 实
2 2

数 x 满足

1 x?2

? 1 ,若 q 是 p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围。

3

17. ( 本 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 正 方 体
A B C D 1- A B , D A 1 = 2 ,E 为棱 C C 1 的中 C A 1 1 1

点.(1) 求证: B 1 D 1 ? A E ; (2) 求证: A C // 平面 B 1 D E ; (3)求三棱锥 A -B D E 的体积.

18. (本题满分 14 分) 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种 型号,某月的产量如下表(单位:辆): 轿车 A 轿车 B 轿车 C 100 150 z 舒适型 300 450 600 标准型 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1) 求 z 的值. (2) 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体, 从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (3) 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数, 求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

19.(本题满分 14 分) 某中学为了解学生的睡眠情况与学习效率的关系, 从中抽取 20 名学生 作为样本进行调查.调查的数据整理分组如下表示: 睡眠时间 (单 位:小时) 频 数 频 率
[ 4, 5) [5, 6 ) [6, 7 ) [7 , 8) [8, 9 ) [9,1 0 ]

1

3 0.20

6

4

(1)将以上表格补充完整, (2)在给定的坐标系内画出样本的频率分布直方图; (3)为了比较睡眠情况与学习效率的关系,现从睡眠时间 在 [ 5 , 6 ) 与 [9,1 0 ] 个小时的学生中抽取 2 人,问能在这两个 睡眠时间内各抽到 1 个学生的概率是多少?

2 20. 已知命题 p : x 1 , x 2 是方程 x ? mx ? 2 ? 0 的两个实根, 不等式 a ? 5 a ? 3 ? x 1 ? x 2 对

2

任意实数 m ? [ ? 1,1] 恒成立;命题 q : 不等式 ax

2

? 2 x ? 1 ? 0 有解,若命题“ p ? q ”为假

4

命题, p ? q ”为真命题,求实数 a 的取值范围. “

参考答案
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分,每小题答案唯一) 1.C 2.B 3.B. 4.D 5. B 6. A 7. B 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. 15 12. a ? 1 13.
1 12

8. D

9. A

10. C

14. (1)4 ;

(2) (1 0 , 2 8 ]

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15. (本题满分 12 分) 解: (1)小明恰好抽到黑桃 4,基本事件有(4,2)(4,5)(4,6)共 3 种,??2 分 , , 设 “小华抽出的牌的牌面数字比 4 大” 为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件有 (4, , 5) (4,6)两种, 则小华抽出的牌面数字比 4 大的概率 P(A)=
2 3

????????4 分 ????????5 分

(2)基本事件有: (2,4)(2,5)(2,6)(4,2)(4,5)(4,6)(5,2)(5,4)(5,6) , , , , , , , , , (6,2)(6,4)(6,5)共 12 种 , ,
5 12

????????7 分 ??9 分 ? ? ??11 分 ? ? ??12 分

小明获胜的情况有: (4,2)(5,4)(6,4)(5,2)(6,2), 、 、 、 、 所以小明获胜的概率为 因为
5 12 ? 7 12

,小华获胜的概率为

7 12

,所以这个游戏不公平.

16. (本题满分 12 分) 解: 命题 p : 由 x ? 4 ax ? 3 a ? 0 得 ( x ? a )( x ? 3 a ) ? 0
2 2

因为 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3 a ; 命题 q : 由
1 x?2 ? 1得 x?3 x?2 ? 0 ,即 2 ? x ? 3 ;

??????????4 分 ??????????8 分

∵ q 是 p 的充分不必要条件

{ ∴ 3a?3

a ?1

解得 1 ? a ? 2

??????????12 分

17. (本题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连结 B D ,则 B D // B 1 D 1 , ∵ A B C D 是正方形,∴ A C ? B D . ∵ C E ? 面 A B C D ,∴ C E ? B D .
5

?????1 分

又 A C ? C E ? C ,∴ B D ? 面 A C E . ∵ A E ? 面 A C E ,∴ B D ? A E , ∴ B1 D 1 ? A E . (Ⅱ)证明:作 B B 1 的中点 F,连结 A F 、 C F 、 E F . ∵ E 、 F 是 C C 1、 B B1 的中点,∴ C E
B1 F ,

????????3 分

???????5 分

∴四边形 B1 F C E 是平行四边形,∴ C F // B 1 E . ∵ E , F 是 C C 1、 B B1 的中点,∴ E F // B C , 又 B C // A D ,∴ E F // A D . ∴四边形 A D E F 是平行四边形,? A F // E D , ∵ A F ? C F ? C , B1 E ? E D ? E , ∴平面 A C F // 面 B 1 D E . 又 A C ? 平面 A C F ,∴ A C // 面 B 1 D E . (3) S ? A B D ?
1 2 1 3 S ?ABD ? C E ? 1 3 S ?ABD ? C E ? 2 3 AB ? AD ? 2 .

??????????11 分

V A? BDE ? V E ? ABD ?



??????????14 分

18. (本题满分 14 分) 解: (1).设该厂本月生产轿车为 n 辆,由题意得, z=2000-100-300-150-450-600=400 --------4 分 (2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本,所以
400 1000 ? m 5 50 n ? 10 100 ? 300

,所以 n=2000.

,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车,分别记作

S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7 个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2 辆, 至少有 1 辆舒适型轿车的概率为 (3)样本的平均数为 x ?
1 8 7 10

. --------9 分

(9 .4 ? 8 .6 ? 9 .2 ? 9 .6 ? 8 .7 ? 9 .3 ? 9 .0 ? 8 .2 ) ? 9 ,

那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4, 8.6,

9.2, 8.7, 9.3, 9.0 这 6 个
6 8 ? 0 . 75 .

数,总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为

6

--------14 分

19. (本题满分 14 分) 解: (1)表格如下 睡眠时间 (单位:小时) 频 数 频 率
[ 4, 5) [5, 6 ) [6, 7 ) [7 , 8)

????3 分
[8, 9 ) [9,1 0 ]

1 0.05

3 0.15

4 0.20

6 0.30

4 0.20

2 0.10

(2)频率分布直方图如下

(3)设能在这两个睡眠时间内各抽到 1 个学生的事件为 A 记在 [5, 6 ) 时间内的为 a , b , c ,在 [9,1 0 ] 时间内的为 d , e
b

……6 分 ……7 分

a

c

d

e

a

(a, b)

(a, c) (b , c )

(a, d ) (b , d )

(a, e) (b , e )

b

c

(c, d )

(c, e)
(d , e)

d

e

基本事件总数为 10 个,

………………9 分

其中符合事件 A 的基本事件数为 ( a , d ) , ( a , e ) , ( b , d ) , ( b , e ) , ( c , d ) , ( c , e ) 共 6 个…………11 分 则: P ( A ) ?
6 10 ? 3 5 3 5
7

………13 分 。????12 分

答:能在这两个睡眠时间内各抽到 1 个 学生的概率为

20. (本题满分 14 分) 解:∵ x 1 , x 2 是方程 x ? mx ? 2 ? 0 的两个实根,
2

∴ x1 ? x 2 ? m , ∴ x1 ? x 2 ?

x 1 ? x 2 ? -2
2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
max

m

2

?8

????2 分 ????3 分

∴当 m ? [ ? 1,1] 时, x 1 ? x 2
2

? 3

2 由不等式 a ? 5 a ? 3 ? x 1 ? x 2 对任意实数 m ? [ ? 1,1] 恒成立,可得 a ? 5 a ? 3 ? 3

解得 a ? 6 或 a ? ? 1 ∴命题 p 为真命题时, a ? 6 或 a ? ? 1 命题 q : 不等式 ax
2

????5 分

? 2 x ? 1 ? 0 有解

(1)当 a ? 0 时,显然有解; (2)当 a ? 0 时, 2 x ? 1 ? 0 有解 (3)当 a ? 0 时,∵ ax ∴? 1 ? a ? 0 ∴命题 q : 不等式 ax
2 2

? 2 x ? 1 ? 0 有解, ∴ ? ? 4 ? 4 a ? 0 ,有 a ? ? 1

? 2 x ? 1 ? 0 有解时 a ? ? 1

????10 分

∵命题“ p ? q ”为假命题, p ? q ”为真命题 “ ∴命题 p , q 的真假性有两种情况: p 真 q 假、 p 假 q 真 当命题 p 真 q 假时,有 ????11 分

{ a ? ?1

a ? 6或 a ? ?1
,得 a ? ? 1 ????12 分

当 p 假 q 真时,有

{ a ? ?1

? 1? a ? 6
,得 ? 1 ? a ? 6 ????13 分 ????14 分

∴实数 a 的取值范围为 a ? 6

8


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