当前位置:首页 >> 其它课程 >> 高二数学双曲线2

高二数学双曲线2

双曲线的几何性质
陈爱民

x2 y2 ? ?1 a 2 b2

一、知识再现
前面我们学习了椭圆 的简单的几何性质: 范围、对称性、顶点、离心率. 我们来共同回顾一下椭圆 x2/a2+y2/b2=1(a>b>0) 几何性质的具体内容及其研究方法.


标准方程



x2/a2+y2/b2=1(a>b>0) y
B2
F2 0

几何 图形

A1 F1

A2

x

如何得到的?
x2/ a2 ≤1 、y 2/ b2 ≤1 -x代x、-y代y 分别令x=0,y=0

范围
x

B1 |x |≤a 、|y |≤ b 中心对称,轴对称 A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b) a (长半轴长) c(半焦距长) b(短半轴长) a2=b2+c2 焦距与长轴长的比 e=c/a 0<e<1

对称性

顶点
a、b、c的 含义 离心率e定 义

?二、想一想?
? ?

我们能否用研究椭圆的几何性质的 方法来研究双曲线的几何性质呢?


标准方程 几何 图形 B2



双曲线

x2/a2+y2/b2=1(a>b>0) x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0) y y x=-a x=a
A1 F1
F2 0

A2

x

A F1 1 0

B2

A2 F 2

B1

x
B1

范围
对称性 顶点 a,b,c的含义 离心率e 的定义

x2 /a2 ≤1 、y 2/ b2 ≤1

x ≥a 或 x ≤ -a

-x代x、-y代y 分别令x=0,y=0
a (长半轴长) c(半焦距长) b(短半轴长) a2=b2+c2 焦距与长轴长的比 e=c/a 0<e<1

中心对称,轴对称 A1(-a,0 ) 、A2(a,0)
a (实半轴长)c (半焦距长) b (虚半轴长) a2=c2-b2

焦距与实轴长的比 e=c/a e>1

三、请思考?
我们已经研究了焦点在x轴上的双曲线的几 何性质,那么当焦点在y轴上的双曲线的几何性 质又如何呢?

标准方程 x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)
x=-a

y

几何 图形

F1

A1

B2

x=a

y2/a2-x2/b2=1(a>0、b>0) yF
1

B1

0

A2 F 2

x

B1

A2

y=a

o A1 B2
F2

x
y=-a

范围 对称性 顶 点 a、b、c 的含义

x ≥ a 或 x ≤ -a 中心对称,轴对称 A1(- a, 0) , A2(a, 0)
a (实半轴长) c(半焦距长) b (虚半轴长) a2=c2-b2

y ≥ a 或 y ≤ -a 中心对称,轴对称 A1(0,-a ) , A2(0,a)
a(实半轴长) c(半焦距长) b(虚半轴长) a2=c2-b2 焦距与实轴长的比 e=c/a e>1

离心率e 焦距与实轴长的比 e=c/a
e>1

四、让我们来讨论
双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的 交点,你认为对吗?讨论并给出答案.

y
B2
F1

A1

0

A2

F2

x

B1

五、让我们共同分析
例1、求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和 虚半轴长、焦点坐标、离心率.
分析: ①化为标准方程: y2/16-x2/9=1 ②确定焦点位置:在y轴上 ③找出a、b的值:a=4,b=3 ④代入关系式c2=a2+b2=25 、e=c/a=5/4 ⑤写出结果:a=4,b=3,F1(0, 5),F2(0,-5),e=5/4.

六、练一练
求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长及顶点坐标.
(1)x2-4y2=16
(2) x2/49-y2/25=-1

解答:(1)a=4,b=2,A1(-4,0),A2(4,0) (2)a=5,b=7,A1(0,-5),A2(0,5)

请思考:如若求半焦距长和离心率呢?
小结:关键在于求实半轴a的长和虚半轴b的长, 然后代入关系式c2=a2+b2、e=c/a求半焦距c的长 及离心率.

七、让我们继续研究
? 请观察双曲线的图象和矩形对角线,有何特征?
双曲线 x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)的各支向外延伸 时,与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近. y
B2
F 1 A1 0

A2

F2

请思考:结论正确吗?

x

B1

八、我们一起来证明
? (一)、我们共同来设计一个方案:
1、由双曲线的对称性我们只需研究第一象限的情形; 2、如何说明双曲线 x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩形的对角线所 在的直线逐渐接近且不相交呢?
(1)我们在第一象限内双曲线图象上任取一点M(x, y ),过 M点向矩形的对角线y=bx/a引垂线,垂足为Q点。我们只需说 明|MQ|逐渐减小且不等于0即可.
(2)如何说明|MQ|逐渐减小且不等于0呢? 为此我们过点M作一条直线L与y轴平行,交 矩形对角线与N点,坐标记为N( x ,Y).我 们需证明N点在M点上方,即证y < Y.又 |MQ| < |MN| ,所只需证明|MN|逐渐减小且 不等于0即可. (3)如何证明|MN|逐渐减小且不等于0呢? 我们可用方程的思想解决: |MN|=Y- y,求出M、N点坐标即可.

y

Q? ?

N(x,Y) M(x,y)
L

b
0 a x

(二)、我们来证明 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部 分的方程可写为 y b N(x,Y) 2 2
y? a x ? a ( x ? a)

Q?
?

b Y? x a b 2 y? x ? a2 a
b ?a? ? x 1?? ? a ?x?
2

M(x,y)

0

x

b ? x?Y a

b 2 2 ? ( x ? x ? a ) MN ? Y ? y a

b ( x ? x ? a ) ( x? x ? a ) ? ? a ( x ? x2 ? a2 )
2 2 2 2

y

Q?
?

N(x,Y)
M(x,y)

?

ab ( x ? x2 ? a2 )
0
x

在该式子中x (x≥a)逐渐增大时, |MN|逐渐减小且不等于0. 又|MQ| <|MN|,所以|MQ|逐渐减小且不等
于0.即双曲线 x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩 形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交.在

其它象限内,我们可类似证明.

? (三)、请注意:
1、当焦点在y轴上时也可类似证明具有同样性质; 2、我们把两条直线 y =±bx /a 叫做双曲线的渐近线.
3、当焦点在x轴上时,方程为 x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0),渐

近线方程为y =±bx /a ;
当焦点在y轴上时,方程为y2/a2- x2/b2=1(a>0,b>0),渐近 线方程为y =±ax /b .

九、动脑筋

y=-bx/a

1、如何求双曲线的渐近线? 例:求下列双曲线 的渐近线 (1) 9y2-16x2=144; (2) 9y2-16x2= -144 . 规律总结:
(1)求矩形对角线所在的直线方程;

y

y=bx/a

b 0 a

x

(2)化成标准式后再将1换成0或直接将常数项换为0.

解答:(1)y=±4x/3 ,

(2)y=±4x/3

2、双曲线与其渐近线之间是否是一对一关系?
例:当渐近线方程为y=±bx/a时,双曲线的标准方 程一定是x2/a2-y2/b2=1吗?为什么?

? 3、类比作椭圆的简图,如何较规范地作出

双曲线的图形?
例:画出下列双曲线的图形 (1) 9y2-16x2=144; (2) x2 -y2= 4 .
-3

y
4 3 M

0

x
-4

注:实轴和虚轴等长的双曲线 叫做等轴双曲线.

十、让我们来共同回顾
本节课我们共同学习了那些内容:

椭圆
标准方程
几何 图形 范围 对称性 顶点 a,b,c的含义
离心率e定义

双曲线

x2/a2+y2/b2=1(a>b>0) x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0) y B2 y X=-a X=a
A1
F1 0

F2
B1

A2

x

F1

A
1

B2

0

A2 F 2

B1

x

|x |≤a 、|y |≤ b
中心对称,轴对称
A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b)
a (长半轴长) c(半焦距长) b(短半轴长) a2=b2+c2

x ≥a 或 x ≤ -a
中心对称,轴对称
A1(-a,0 ) 、 A2(a,0)
a (实半轴长)c (半焦距长) b (虚半轴长) a2=c2-b2

焦距与长轴长的比 e=c/a 0<e<1

焦距与实轴长的比 e=c/a e>1

标准方程

x2/a2-2/b2=1(a>0,b>0)

y2/a2-x2/b2=1(a>0、b>0)

y

几何 图形
范围 对称性 顶 点 a、b、c的含 义
离心率e

X=-a F1

A
1

B2 B1

X=a

yF
A2

1

0

A2

F2

x

B1 o A1 B2 x
F2

x ≥ a 或 x ≤ -a 中心对称,轴对称
A1(-a,0 ) , A2(a,0)
a (实半轴长) c(半焦距) b (虚半轴长) a2=c2-b2

y ≥ a 或 y ≤ -a 中心对称,轴对称
A1(0,-a ) , A2(0,a)
a(实半轴长) c(半焦距长) b(虚半轴长) a2=c2-b2

焦距与实轴长的比 e=c/a e>1

焦距与实轴长的比 e=c/a e>1

? 双曲线的渐近线
X=-a

y
B2

X=a

y
A2

F1

F1

A1
0

A2

F2

B1

x

B1

o A B2 1
F2

x

当焦点在x轴上时,方程为 x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0),渐

近线方程为y =±bx /a ;
当焦点在y轴上时,方程为 y2/a2-x2/b2=1(a>0,b>0),渐近 线方程为y =±ax /b .

十一、课后请你思考题
1、离心率e的变化对双曲线图形有何影响?
如何解释?
y

F1

b
0 a
C

F2

2、 如图,双曲线和椭圆的离心率分别为e1、 e2、e3、e4, 试比较e1、e2、e3、e4 的大小. y e1 e2 0 e4 e3 x

居家用品 http://www.01home.com/

ryi459ops


友情链接:学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 酷我资料网 | 省心范文网 | 海文库 | 学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 酷我资料网 | 省心范文网 | 海文库 | 学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 酷我资料网 | 省心范文网 | 海文库 | 学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:3088529994@qq.com