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内蒙古包头一中高三上学期期中考试数学文试卷 Word版含解析

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2016-2017 学年内蒙古包头一中高三(上)期中数学试卷(文
科)
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请把答案涂在答题卡相应的位置.). 1.已知集合 A={x|x2﹣3x≥0},B={x|1<x≤3},则如图所示阴影部分表示的集合为( )

A.[0,1) B.(0,3] C.(1,3) D.[1,3]

2.若变量 x,y 满足

,则 z=x﹣2y 的最大值等于( )

A.1 B.2 C.3 D.4
3.当 x>0,y>0, + =1 时,x+y 的最小值为( )
A.10 B.12 C.14 D.16 4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4=18﹣a5,则 S8=( ) A.72 B.68 C.54 D.90 5.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织, 日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何.”其意思为:有个女子不善 于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问 三十天共织布( ) A.30 尺B.90 尺C.150 尺 D.180 尺 6.若函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则 ω=( )

A.5 B.4 C.3 D.2 7.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=﹣ ,则{an}的前 10 项和等于( )

A.﹣6(1﹣3﹣10) B.

C.3(1﹣3﹣10) D.3(1+3﹣10)

8.将函数 y=sin(2x﹣ )的图象向左平移 个单位长度,所得图象对应的函数( )

A.在区间[﹣ , ]上单调递减 B.在区间[﹣ , ]上单调递增

C.在区间[﹣ , ]上单调递减 D.在区间[﹣ , ]上单调递增

9.数列 , , ,

,…的前 n 项和为( )

A.

B.

C.

D.

10.已知数列{an}的通项公式 an=log2 (n∈N*),设其前 n 项和为 Sn,则使 Sn<﹣4 成
立的自然数 n 有( ) A.最大值 15B.最小值 15C.最大值 16D.最小值 16

11.数列{an}是等差数列,若 <﹣1,且它的前 n 项和 Sn 有最大值,那么当 Sn 取的最

小正值时,n=( ) A.11 B.17 C.19 D.21 12.在△OAB 中, 则 S△OAB=( ) A. B. C. D.

,若



二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在相应位置的答题卡上). 13.若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数 x+yi 的模是 . 14.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1﹣an,则 a2015= .

15.若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,

,则公比 q= .

16.已知数列{an}的首项 a1=2,其前 n 项和为 Sn.若 Sn+1=2Sn+1,则 an= .

三.简答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应在答题卡相应位置写出文字说明,证明过 程或演算步骤.). 17.(12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=﹣5. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+…+a3n+1. 18.(12 分)已知以角 B 为钝角的△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,

,且



(1)求角 B 的大小; (2)求 cosA+cosC 的取值范围.

19.(12 分)已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,{bn}是等比数列,且 a1=b1=2, a4+b4=27,S4﹣b4=10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记 Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,n∈N*,求 Tn(n∈N*,n≥2)
20.(12 分)已知函数 f(x)=lnx+ (a∈R)
(1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 a=2 时,求函数 f(x)在区间[1,e]上的最值. 21.(12 分)设数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,已知 an>0,(an+1)2=4(Sn+1), bnSn﹣1=(n+1)2,其中 n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的前项和 Tn.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清 题号.(共 1 小题,满分 10 分)[选修 4-5:不等式选讲] 22.(10 分)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (1)若 ab>cd,则 + > + ; (2) + > + 是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
[选修 4-4:坐标系与参数方程]
23.已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos(θ﹣ )=﹣1,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2 cos
(θ﹣ ).以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值.

2016-2017 学年内蒙古包头一中高三(上)期中数学试卷
(文科)
参考答案与试题解析
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请把答案涂在答题卡相应的位置.). 1.(2016 秋?涞水县校级期中)已知集合 A={x|x2﹣3x≥0},B={x|1<x≤3},则如图所示 阴影部分表示的集合为( )

A.[0,1) B.(0,3] C.(1,3) D.[1,3] 【考点】Venn 图表达集合的关系及运算. 【专题】数形结合;定义法;集合.
【分析】根据 Venn 图得到阴影部分对应的集合为 B∩(?UA).根据集合的基本运算关系进 行求解. 【解答】解:A={x|x2﹣3x≥0}={x|x≥3 或 x≤0}, 图中阴影部分所表示的集合为 B∩(?UA). 则?UA={x|0<x<3}, 则 B∩(?UA)={x|1<x<3}=(1,3), 故选:C. 【点评】本题主要考查集合的基本运算,利用 Venn 图表示集合关系是解决本题的关键.

2.(2013?湖南模拟)若变量 x,y 满足

,则 z=x﹣2y 的最大值等于( )

A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;数形结合. 【分析】先画出满足约束条件的可行域,并求出特殊点的坐标,然后代入目标函数,即可求 出目标函数 z=x﹣2y 的最大值. 【解答】解:满足约束条件的可行域如下图所示: 由图可知,当 x=1,y=﹣1 时,z=x﹣2y 取最大值 3 故选:C.

【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划,其中根据约束条件画出可行域,进而求出角 点坐标,利用“角点法”解题是解答本题的关键.

3.(2016 春?内蒙古校级期末)当 x>0,y>0, + =1 时,x+y 的最小值为( )
A.10 B.12 C.14 D.16 【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵x>0,y>0, + =1,

∴x+y=(x+y)

=10+

=16,当且仅当 y=3x=12 时取等号.

∴x+y 的最小值为 16. 故选:D. 【点评】本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质,属于基础题.

4.(2014?西藏一模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4=18﹣a5,则 S8=( ) A.72 B.68 C.54 D.90 【考点】等差数列的性质.
【专题】计算题.
【分析】根据已知中 a4=18﹣a5,我们易得 a4+a5=18,根据等差数列前 n 项和公式,我们易 得 S8=4(a1+a8),结合等差数列的性质“p+q=m+n 时,ap+aq=am+an”即可得到答案. 【解答】解:在等差数列{an}中, ∵a4=18﹣a5, ∴a4+a5=18, 则 S8=4(a1+a8)=4(a4+a5)=72 故选:A 【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质,其中利用 p+q=m+n 时,ap+aq=am+an,是解 答本题的关键.

5.(2016?南昌校级二模)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下 问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何.”

其意思为:有个女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天 织一尺,三十天织完,问三十天共织布( ) A.30 尺B.90 尺C.150 尺 D.180 尺 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】对应思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列的定义与前 n 项和求解即可. 【解答】解:由题意每天织布的数量组成等差数列,在等差数列{an}中, a1=5,a30=1,

∴S30=

=90(尺).

故选:B. 【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和的求法问题,解题时应注意数列知识在生产生活中 的合理运用,是基础题目.

6.(2014?沧州校级一模)若函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则 ω=( )

A.5 B.4 C.3 D.2 【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 【专题】计算题;三角函数的图像与性质. 【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值,求出函数的周期,然后求解 ω.

【解答】解:由函数的图象可知,(x0,y0)与 相邻的对称点,

,纵坐标相反,而且不是

所以函数的周期 T=2(

)= ,

所以 T= = ,所以 ω= =4.
故选 B. 【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法,考查学生的视图用图能力.

7.(2016?白银模拟)已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=﹣ ,则{an}的前 10 项和等于( )

A.﹣6(1﹣3﹣10) B.
【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】计算题;等差数列与等比数列.

C.3(1﹣3﹣10) D.3(1+3﹣10)

【分析】由已知可知,数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列,结合已知 然后代入等比数列的求和公式可求 【解答】解:∵3an+1+an=0


可求 a1,

∴数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列 ∵ ∴a1=4

由等比数列的求和公式可得,S10=

=3(1﹣3﹣10)

故选 C 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题

8.(2016?湖南模拟)将函数 y=sin(2x﹣ )的图象向左平移 个单位长度,所得图象 对应的函数( ) A.在区间[﹣ , ]上单调递减 B.在区间[﹣ , ]上单调递增
C.在区间[﹣ , ]上单调递减 D.在区间[﹣ , ]上单调递增 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得所得函数的图象对应的函数解析 式,再根据正弦函数的单调性,得出结论. 【解答】解:将函数 y=sin(2x﹣ )的图象向左平移 个单位长度,所得图象对应的函
数为 y=sin[2(x+ )﹣ ]=﹣sin(2x﹣ ),
在区间[﹣ , ]上,2x﹣ ∈[﹣ , ],函数 y=﹣sin(2x﹣ ) 没有单 调性,故排除 A、B. 在区间[﹣ , ]上,2x﹣ ∈[﹣ , ],函数 y=﹣sin(2x﹣ ) 单调递减, 故排除 D, 故选:C. 【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的单调性,属于基 础题.

9.(2016 秋?东河区校级期中)数列 , , ,

,…的前 n 项和为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】将数列看成两个数列,一个等差数列与一个等比数列,然后分别利用等差数列的求 和公式和等比数列的求和公式进行求解,即可求出所求.

【解答】解: + + +

+…+n+

=(1+2+3+…+n)+( + +…+ )

=

+

=



故选:C. 【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的求和,该题运用了分组求和的方法,解题的 关键是熟练掌握数列求和公式,同时考查了运算求解的能力,属于中档题.

10.(2012?琼海模拟)已知数列{an}的通项公式 an=log2
则使 Sn<﹣4 成立的自然数 n 有( ) A.最大值 15B.最小值 15C.最大值 16D.最小值 16 【考点】数列的求和;数列与不等式的综合. 【专题】计算题.

(n∈N*),设其前 n 项和为 Sn,

【分析】利用对数的运算性质可求 Sn=
的范围,从而可求. 【解答】解:∵Sn=a1+a2+a3+…+an

,解对数不等式,

可得 n

=

=

=



由 Sn<﹣4 可得,
解不等式可得,n>15 故选 D. 【点评】本题主要考查了对数的基本运算性质 logaNM=logaM+logaM,(M>0,N>0)的应 用,解决本题目的关键在于灵活利用迭乘法的应用.

11.(2016 秋?月湖区校级期中)数列{an}是等差数列,若 <﹣1,且它的前 n 项和 Sn
有最大值,那么当 Sn 取的最小正值时,n=( ) A.11 B.17 C.19 D.21 【考点】等差数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】根据题意判断出 d<0、a10>0>a11、a10+a11<0,利用前 n 项和公式和性质判断出 S20<0、S19>0,再利用数列的单调性判断出当 Sn 取的最小正值时 n 的值. 【解答】解:由题意知,Sn 有最大值,所以 d<0,
因为 <﹣1,所以 a10>0>a11,
且 a10+a11<0, 所以 S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)<0, 则 S19=19a10>0, 又 a1>a2>…>a10>0>a11>a12 所以 S10>S9>…>S2>S1>0,S10>S11>…>S19>0>S20>S21 又 S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9(a10+a11)<0, 所以 S19 为最小正值, 故选:C. 【点评】本题考查了等差数列的性质、前 n 项和公式以及 Sn 最值问题,要求 Sn 取得最小正 值时 n 的值,关键是要找出什么时候 an+1 小于 0 且 an 大于 0.

12.(2008?襄阳模拟)在△OAB 中,





,则 S△OAB=( )

A. B. C. D.

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;平面向量及应用. 【分析】由题意可得向量的模长和夹角的余弦值,进而可得正弦值,代入面积公式可得.

【解答】解:由题意可得

=

=2,

=

=5

设向量 , 的夹角为 θ,



=

cosθ=10cosθ=﹣5,

解之可得 cosθ=﹣ ,所以 sinθ= ,

故 S△OAB=

sinθ=

=

故选 D 【点评】本题考查平面向量数量积的运算,涉及三角形的面积公式,属中档题.

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在相应位置的答题卡上). 13.(2016 秋?东河区校级期中)若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数 x+yi 的模是 5 . 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算法则把 (i x+yi)可化为 3+4i,利用复数相等即可得出 x=4,y=﹣3.再 利用模的计算公式可得|x+yi|的值. 【解答】解:∵i(x+yi)=xi﹣y=3+4i,x,y∈R, ∴x=4,﹣y=3,即 x=4,y=﹣3.

∴|x+yi|=|4﹣3i|=

=5.

故答案为:5. 【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键.

14.(2016 秋?东河区校级期中)在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1﹣an,则 a2015= ﹣5 . 【考点】数列递推式.
【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】a1=1,a2=5,an+2=an+1﹣an(n∈N*),可得 an+6=an.利用周期性即可得出. 【解答】解:∵a1=1,a2=5,an+2=an+1﹣an(n∈N*), ∴a3=a2﹣a1=4,同理可得:a4=﹣1,a5=﹣5,a6=﹣4,a7=1,a8=5,…. ∴an+6=an. 则 a2015=a6×335+5=a5=﹣5. 故答案为:﹣5. 【点评】本题考查了数列的周期性、数列递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档
题.

15.(2013?浙江模拟)若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,





【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列.

,则公比 q= 1

【分析】根据等比数列的前 n 项和建立等式,利用 a3 和 q 表示出 a1 与 a2,然后解关于 q 的 一元二次方程,即可求出所求. 【解答】解:∵
∴a1+a2+a3= 则 a1+a2=3



化简得 2q2﹣q﹣1=0

解得 q=1 或

故答案为:1 或
【点评】本题主要考查了等比数列的前 n 项和,以及等比数列的通项,同时考查了运算求解 的能力,属于基础题.

16.(2014?上海模拟)已知数列{an}的首项 a1=2,其前 n 项和为 Sn.若 Sn+1=2Sn+1,则 an= .

【考点】数列递推式.
【专题】点列、递归数列与数学归纳法.
【分析】把已知递推式两边加 1,得到等比数列{Sn+1},求出其通项公式后,由 an=Sn﹣Sn ﹣1(n≥2)求解数列{an}的通项公式. 【解答】解:∵Sn+1=2Sn+1, ∴Sn+1+1=2(Sn+1), ∵S1+1=a1+1=3≠0,





∴数列{Sn+1}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, ∴Sn+1=3?2n﹣1, ∴Sn=3?2n﹣1, ∴an=Sn﹣Sn﹣1=3?2n﹣1﹣1﹣3?2n﹣2+1=3?2n﹣2(n≥2),
n=1 时,a1=2 不满足上式,





故答案为:



【点评】本题考查了数列递推式,关键是把已知递推式变形,得到新的等比数列,是中档题.

三.简答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应在答题卡相应位置写出文字说明,证明过 程或演算步骤.). 17.(12 分)(2016 秋?东河区校级期中)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5= ﹣5. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+…+a3n+1. 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题;转化思想;转化法;等差数列与等比数列.
【分析】(1)根据等差数列的前 n 项和公式解方程组即可求{an}的通项公式; (2)易得 a1+a4+a7+…+a3n+1 表示首项为 1 且公差为﹣3 的等差数列的前 n+1 项和,由求和公 式可得.

【解答】解:(1)由等差数列的性质可得



解得 a1=1,d=﹣1, 则{an}的通项公式 an=1﹣(n﹣1)=2﹣n; ∵{an}为等差数列, ∴a1+a4+a7+…+a3n+1 以 1 为首项,以﹣3 为公差的等差数列,

∴a1+a4+a7+…+a3n+1=n+1+

=

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式的求解,以及等差数列的求和公式,考查学生的 计算能力.

18.(12 分)(2009?闵行区一模)已知以角 B 为钝角的△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别

为 a、b、c,

,且



(1)求角 B 的大小; (2)求 cosA+cosC 的取值范围. 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值;数量积判断两个平面向量的垂直关系;余弦函数 的定义域和值域. 【专题】计算题.

【分析】(1)利用

,结合正弦定理,求出

,B 为钝角,所以角



(2)利用和差化积化简 cosA+cosC=

=

,由(1)知

,确定 cosA+cosC 的取值范围即可.

【解答】解:(1)∵

.∴

,得

由正弦定理,得 a=2RsinA,b=2RsinB,代入得:(3 分) sinA﹣2sinBsinA=0,sinA≠0,





(2 分)

B 为钝角,所以角

.(7 分)

(2)(理科)∵cosA+cosC=

=

(或:cosA+cosC= 分) 由(1)知

= ,

)(10



(12 分)

故 cosA+cosC 的取值范围是
【点评】本题是基础题,考查三角函数的化简与求值,余弦定理的应用,平面向量的数量积 的应用,考查计算能力,常考题型.

19.(12 分)(2010?德阳模拟)已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,{bn}是等比数 列,且 a1=b1=2,a4+b4=27,S4﹣b4=10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)记 Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,n∈N*,求 Tn(n∈N*,n≥2) 【考点】数列的求和;等差数列的性质;等比数列的性质.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】(Ⅰ)设出公比和公差,根据条件和等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式列 出方程,求出公比和公差,即可求出通项;
(Ⅱ)由(Ⅰ)求出 anbn,利用错位相减法求出 Tn 的表达式. 【解答】解:(Ⅰ)设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q, 由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q3,s4=8+6d,

由 a4+b4=27,S4﹣b4=10,得方程组



解得



所以:an=3n﹣1,bn=2n; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an?bn=(3n﹣1)?2n, 则 Tn=2×2+5×22+8×23+…+(3n﹣1)×2n,① 2Tn=2×22+5×23+…+(3n﹣4)×2n+(3n﹣1)×2n+1,② 由①﹣②得,﹣Tn=2×2+3(22+23+…+2n)﹣(3n﹣1)×2n+1

=4+3×

﹣(3n﹣1)×2n+1

=﹣(3n﹣4)×2n+1﹣8. 所以 Tn=(3n﹣4)×2n+1+8. 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的综合问题,以及错位相减法求数列的和,考查
计算能力,解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识、基本方法.

20.(12 分)(2016 秋?东河区校级期中)已知函数 f(x)=lnx+ (a∈R)
(1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 a=2 时,求函数 f(x)在区间[1,e]上的最值. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】函数思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】(1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,得到函数的单调区间; (2)a=2 时,求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间,从而求出函 数的最大值和最小值即可.

【解答】解:(1)f′(x)= ﹣ (x>0)(2 分)

①当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增, ②当 a>0 时,在区间(0,a)上,f′(x)<0,f(x)单调递减; 在区间(a,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增. 综上可知:当 a≤0 时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 当 a>0 时,在区间(0,a)上,f(x)单调递减; 在区间(a,+∞)上,f(x)单调递增.(7 分)

(2)当 a=2 时,f(x)=lnx+ ,f′(x)= ﹣ ,

令 f′(x)=0,得 x=2

x

1 (1, 2 (2, e

2)

e)

f′(x) ﹣1 ﹣

0

+

f(x) 2

减 极小值 增 1+

f(x)min=f(2)=ln2﹣1,f(x)max=f(1)=2. 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,是一道
中档题.

21.(12 分)(2016 秋?东河区校级期中)设数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,已 知 an>0,(an+1)2=4(Sn+1),bnSn﹣1=(n+1)2,其中 n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的前项和 Tn. 【考点】数列的求和;数列递推式.
【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列.

【分析】(1)由 an>0,(an+1)2=4(Sn+1),可得 n=1 时,

=4(a1+1),解得 a1.n

≥2 时,

=4(Sn﹣1+1),可得:an﹣an﹣1=2,利用等差数列的通项公式可得 an.

(2)由(1)可得:Sn=n2+2n.又 bnSn﹣1=(n+1)2,其中 n∈N*.bn=1+

用“裂项求和”方法即可得出. 【解答】解:(1)∵an>0,(an+1)2=4(Sn+1),

∴n=1 时,

=4(a1+1),解得 a1=3.

n≥2 时,

=4(Sn﹣1+1),可得:(an+1)2﹣

化为:(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0, ∴an﹣an﹣1=2, ∴数列{an}是等差数列,公差为 2. ∴an=3+2(n﹣1)=2n+1.

(2)由(1)可得:Sn=

=n2+2n.

又 bnSn﹣1=(n+1)2,其中 n∈N*.

=4an,

∴bn=

=1+



.利

∴数列{bn}的前项和 Tn=n+

+

+

+…+

+

=n+ ﹣



【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法、数列递推关系,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题.

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清 题号.(共 1 小题,满分 10 分)[选修 4-5:不等式选讲] 22.(10 分)(2015?新课标 II)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (1)若 ab>cd,则 + > + ; (2) + > + 是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件. 【考点】不等式的证明;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】不等式的解法及应用;简易逻辑. 【分析】(1)运用不等式的性质,结合条件 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,ab>cd,即 可得证; (2)从两方面证,①若 + > + ,证得|a﹣b|<|c﹣d|,②若|a﹣b|<|c﹣d|, 证得 + > + ,注意运用不等式的性质,即可得证. 【解答】证明:(1)由于( + )2=a+b+2 , ( + )2=c+d+2 , 由 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,ab>cd, 则>, 即有( + )2>( + )2, 则+>+;

(2)①若 + > + ,则( + )2>( + )2, 即为 a+b+2 >c+d+2 ,
由 a+b=c+d,则 ab>cd, 于是(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab, (c﹣d)2=(c+d)2﹣4cd, 即有(a﹣b)2<(c﹣d)2,即为|a﹣b|<|c﹣d|; ②若|a﹣b|<|c﹣d|,则(a﹣b)2<(c﹣d)2, 即有(a+b)2﹣4ab<(c+d)2﹣4cd, 由 a+b=c+d,则 ab>cd, 则有( + )2>( + )2.
综上可得, + > + 是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
【点评】本题考查不等式的证明,主要考查不等式的性质的运用,同时考查充要条件的判断,
属于基础题.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.(2015 春?定州市期末)已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos(θ﹣

)=﹣1,曲线 C2 的

极坐标方程为 ρ=2 cos(θ﹣ ).以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角
坐标系. (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值. 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】(1)根据 x=ρcosθ,y=ρsinθ,把曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)把曲线 C1 的极坐标方程化为直角坐标方程,求得圆心 C2(1,1)到曲线 C1 的距离 d 的值,则 d 加上半径,即为所求.
【解答】解:(1)曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2 cos(θ﹣ ),即 ρ2=2 ρ( cosθ+
sinθ), 化为直角坐标方程为 x2+y2=2x+2y,即 (x﹣1)2+(y﹣1)2=2.
(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos(θ﹣ )=﹣1 即 x+ y=﹣1,即 x+ y+2=0.

圆心 C2(1,1)到曲线 C1 的距离为 d=

=



故曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为 d+r=

+.

【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式的应用, 属于基础题.


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