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2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(新课标III卷)试题及答案解析


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2016 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(新课标 III 卷) 试题及答案解析

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1)设集合 A ? {0, 2, 4,6,8,10}, B ? {4,8} ,则 ?A B =
8} (A) {4, 2, 6} (B) {0, 2, 6, 10} (C) {0, 2, 4, 6, 8, 10} (D) {0,

(2)若 z ? 4 ? 3i ,则

z = |z|

(A)1

(B) ?1

4 3 + i (C) 5 5

4 3 ? i (D) 5 5

(3)已知向量 BA =(

?

? 1 3 3 1 , ), BC =( , ),则∠ABC= 2 2 2 2

(A)30°(B)45°(C)60°(D)120° (4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最 低气温的雷达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15℃,B 点表示四月的平均最低气 温约为 5℃.下面叙述不正确的是 (A)各月的平均最低气温都在 0℃以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同

1

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(D)平均最高气温高于 20℃的月份有 5 个 (5) 小敏打开计算机时, 忘记了开机密码的前两位, 只记得第一位是 M, I,N 中的一个字母, 第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是

8 1 1 1 (A) 15 (B) 8 (C) 15 (D) 30
(6)若 tanθ = ?

1 ,则 cos2θ = 3

4 1 1 4 ? (A) 5 (B) 5 (C) 5 (D) 5 ?
3 3 3 (7)已知 a ? 2 , b ? 3 , c ? 25 ,则 4 2 1

(A)b<a<c

(B) a<b<c

(C) b<c<a

(D) c<a<b

(8)执行右面的程序框图,如果输入的 a=4,b=6,那么输出的 n=

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

1 , BC 边上的高等于 BC , 则 sin A ? 3 (9)在 ? ABC 中,B= 4
3 (A) 10

?

10 (B) 10

5 (C) 5

3 10 (D) 10

(10)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多 面体的三视图,则该多面体的表面积为

(A) 18 ? 36 5 (B) 54 ? 18 5 (C)90 (D)81 (11) 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球.若 AB⊥BC, AB=6, BC=8, AA1=3,

2

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则 V 的最大值是 (A) 4 π (B)

9π 32π (C) 6π (D) 2 3

x2 y 2 (12)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,A,B 分别为 C a b
的左,右顶点.P 为 C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于 点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为 (A)

1 1 2 3 (B) (C) (D) 3 2 3 4

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13—21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22—24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? (13)设 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 则 z=2x+3y–5 的最小值为______. ? x ? 1, ?

(14)函数 y=sin x– 3 cosx 的图像可由函数 y=2sin x 的图像至少向右平移______个单 位长度得到.
2 2 (15)已知直线 l: x ? 3 y ? 6 ? 0 与圆 x ? y ? 12 交于 A、B 两点,过 A、B 分别作 l 的

垂线与 x 轴交于 C、D 两点,则|CD|= __________. (16)已知 f(x)为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? e 切线方程是_________________________. 【分值】 5 分 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分)
2 已知各项都为正数的数列{an}满足 a1=1, an ? (2an?1 ?1)an ? 2an?1 ? 0

? x ?1

? x ,则曲线 y= f(x)在点(1,2)处的

(I)求 a2,a3; (II)求{an}的通项公式。

3

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(18)(本小题满分 12 分) 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图。

注:年份代码 1–7 分别对应年份 2008–2014. (I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (II)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测 2016 年我国生活垃圾无害化处 理量。 附注: 参考数据:

? yi ? 9.32
i ?1

7

,

? ti yi ? 40.17
i ?1

7

,

?( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 ,≈2.646.

参考公式:相关系数 r ?

? (t ? t )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (t ? t ) ? (y
2 i ?1 i i ?1

n

n



i

? y) 2

回归方程 y = a + b t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

?

?

?

? b?

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

n

? ? ? , a=y ? bt .

? t )2

4

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(19) (本小题满分 12 分) 如图 ,四棱锥 P-ABCD 中 ,PA⊥底面 ABCD,AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一 点,AM=2MD,N 为 PC 的中点 (I)证明 MN//平面 PAB; (II)求四面体 N-BCM 的体积. .

(20) (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C:y =2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交 C 于 A,B 两点,交 C 的准 线于 P,Q 两点. (I)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明 AR//FQ; (II)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程
2

(21) (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=lnx-x+1 (I)讨论 f(x)的单调性; (II)证明当 x ? (1,+ ? )时,1<

x ?1 <x; linx

(III)设 c>1,证明当 x ? (0,1)时, 1 ? (c ?1) x ? c x 。 请考生在第 22-24 题中任意选一题作答,若果多做,则按所做的第一题计分。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,☉O 中 AB 的中点为 P,弦 PO,PD 分别交 AB 于 E,F 两点。 (I)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD 的大小; (II)若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G,证明 OG⊥CD 。 【答案】见解析
?

5

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【知识点】圆周角定理 【考查能力】推理论证 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与 参数方程 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ,(为参数),以坐标原点为极

点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin( (I)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程; (II)设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标。 (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-a|+a (I)当 a=2 时,求不等式 f(x) ? 6 的解集; (II)设函数 g(x)=|2x-1|。当 x ? R 时,f(x)+g(x) ? 3,求 a 的取值范围。

)=

.

6

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参考答案

一、选择题 1.【答案】C 【知识点】补集的求法 【考查能力】运算求解能力 【解析】? A ? {0,2,4,6,8,10}, B ? {4,8} ?CA B ? {0,2,6,10} 【难度】易 【分值】 5 分 2.【答案】D 【知识点】 复数的概念共轭复数复数的模 【考查能力】运算求解能力 【解析】? Z ? 4 ? 3i ? Z ? 4 ? 3i, | Z |? 5 ? 【难度】易 【分值】 5 分 3.【答案】A 【知识点】 平面向量的数量积的坐标表示平面向量数量积的性质 【考查能力】运算求解能力 【解析】 【难度】易 【分值】 5 分 4.【答案】D 【知识点】 极差、众数、中位数、平均数的作用与求法 【考查能力】数据处理能力

Z 4 3 ? ? i |Z| 5 5

? cos B ?

BA? BC 3 0? ? ?ABC ? 180 ? ? B ? 30? ? | BA || BC | 2

7

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【解析】 显然平均气温高于 20 摄氏度的月份有 2 个 【难度】易 【分值】 5 分 5.【答案】C 【知识点】古典概型的应用 【考查能力】运算求解能力 【解析】 列举可知共有 15 个基本事件,所以输入一次密码成功开机的概率 【难度】易 【分值】 5 分 6.【答案】D 【知识点】 二倍角的余弦公式 【考查能力】运算求解能力 【解析】 ? cos2? ? 【难度】中 【分值】 5 分 7.【答案】A 【知识点】 幂函数的图象与性质 【考查能力】运算求解能力 【解析】 ? a ? 2 ? (2 ) ? 16 ,b ? 3 ? 9 因此 b ? a ? c 【难度】易 【分值】 5 分 8.【答案】B 【知识点】 输入语句、输出语句和赋值语句 【考查能力】数据处理能力 【解析】 当 n ? 0, s ? 0 ? a ? 2, b ? 4, a ? 6, s ? 6, n ? 1
4 3 1 4 3 1 3
2 3 1 3

1 15

cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan2 ? 4 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan2 ? 5

,c ? 25 而函数 y ? x 3 在 R 上单调递增,

1 3

1

n ? 2, s ? 6 ? a ? ?2, b ? 6, a ? 4, s ? 10, n ? 2

8

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n ? 3, s ? 10 ? a ? 2, b ? 4, a ? 6, s ? 16, n ? 3 n ? 4, s ? 16 ? a ? ?2, b ? 6, a ? 4, s ? 20, n ? 4
【难度】易 【分值】 5 分 9.【答案】D 【知识点】 已知两角一边问题 【考查能力】运算求解能力 【解析】 如图不妨设 | BC |? 3 ,则 AD ? 1 ,又 ?B ?

?
4

,所以在三角形 ABD 中

sin BAD ?

2 2 5 ,在三角形 ADC 中 sin CAD ? 2 5

sin A ? sin(BAD ? CAD) ?
【难度】易 【分值】 5 分 10.【答案】B

2 1 2 2 3 10 ? ? ? ? 2 10 5 2 5

【知识点】 几何体的三视图与体积、表面积问题 【考查能力】空间想象能力 【解析】 三视图还原为平行六面体,表面积为: (3? 6 ? 3? 3 ? 3? 3 5) ? 2 ? 54 ? 18 5 【难度】易 【分值】 5 分 11.【答案】B 【知识点】 柱、锥、台、球的结构特征 【考查能力】空间想象能力

(a ? b ? c)r 则有 48 ? (10 ? 6 ? 8)r 2 4 3 9? ? r ? 2 ,所以体积最大时球与直三棱柱上下底面相切 Vmax ? ? ? ? ( )3 ? 3 2 2
【解析】 设三角形 ABC 的内切圆半径为 r , 因为 s?ABC ? 【难度】中 【分值】 5 分

9

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12.【答案】A 【知识点】 椭圆的几何性质及其应用 【考查能力 】运算求解能力 【解析】 如图 A(?a,0), B(a,0) , 记 OE 中点为 N , 设 M (?c, yM ) , 则 N (0, E (0, yE ) , 由 A, M , E 共线有 得e ?

yE ), 2

yE y y y a 2a ? M ,再由 M , N , B 共线有 E ? m ,从而 ? ,解 a a?c 2a a ? c a?c a?c

a 1 ? 。 c 3

【难度】中 【分值】 5 分 二、填空题 13.【答案】 ? 10 【知识点】 简单线性规划 【考查能力】运算求解能力 【解析】 线性约束条件的可行域如图 所以目标函数在 A(?1,?1) 处取得最小值 ? 10 . 【难度】易 【分值】 5 分 14.【答案】 截距问题

? 3

【知识点】 正弦函数的图象及图象变换 【考查能力】运算求解能力 【解析】 y ? sin x ? 3 cos x ? 2 sin( x ? 位即可得到 【难度】易 【分值】 5 分 15.【答案】4 【知识点】 直线与圆的位置关系及其判定方法 【考查能力】运算求解能力 【解析】 由题可知 | CD | 在直线 AB 上的射影为 | AB | , | CD |?

?
3

) ,所以由 y ? 2 sin x 的图像至少向右平移

? 单 3

| AB | (? 为直线 AB 的倾斜 cos ?

10

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角)。 设圆心到直线 AB 的距离为 d,则 d ? 3 ,所以 | AB |? 2 3 因此 | CD |? 4 【难度】中 【分值】 5 分 16.【答案】 y ? 2 x 【知识点】 奇偶性的应用导数的几何意义与物理意义 【考查能力】推理论证能力 【解析】 f ( x) 为偶函数,则 f ' ( x) 为奇函数。 x ? 0 时 f ' ( x) ? ?e? x?1 ?1 , f ' (?1) ? ?2 所以 f ' (1) ? 2 ,因此曲线在 (1,2) 处的切线方程为 y ? 2 ? 2( x ? 1) 即 y ? 2 x 【难度】难 三、解答题 17.【答案】 见解析 【知识点】 等比数列的通项公式 【考查能力】推理论证能力
2 【解析】 (Ⅰ) 由已知, 当 n ? 1 时, 有 a1 ? (2a2 ?1)a1 ? 2a2 ? 0 , 且 a1 ? 1, a2 ? 0 , 得 a2 ?

1 ; 2

2 当 n ? 2 时,有 a2 ? (2a3 ?1)a2 ? 2a3 ? 0 ,且 a3 ? 0 ,得 a3 ?

1 。 4

2 (Ⅱ)由 an ? (2an?1 ?1)an ? 2an?1 ? 0 ,得到 (an ? 1)(an ? 2an?1) ? 0 ,因为 an ? 0 ,

所以 an ? 2an?1 ,即

1 an?1 1 ? ,且 a1 ? 1 ,因此, {an} 是以1 为首项, 为公比的 2 an 2 1 。 2 n ?1

等比数列。所以, an ? 【难度】中 【分值】12 分 18.【答案】 见解析

【知识点】最小二乘法与线性回归方程线性回归方程的应用 【考查能力】 数据处理能力 【解析】(1)由折线图中数据和附注中参考数据得

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t ? 4 , ? (ti ? t ) ? 28,
i ?1
7

7

? ( y ? y) ? 0.55
i ?1 1

7

? (t ? t )( y ? y) ? 40.17 ? 4 ? 9.32 ? 2.89
i ?1 i i

r?

2.89 ? 0.99 0.55 ? 2 ? 2.646
(2)因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 线性相关程度高,所以

由y?

9.32 ? 1.331 b ? 7

? (t ? t )( y ? y)
i ?1 i i

7

? (t ? t )
i ?1 i

7

?

2

2.89 ? 0.103 28

a ? y ? bt ? 1.331? 0.103? 4 ? 0.92
所以 y 关于 t 的回归方程为: y ? 0.92 ? 0.10t 又 2016 对应的 t=9, 则 y=1.82 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量约为 1.82 吨 【难度】中 【分值】 12 分 19.【答案】 见解析 【知识点】线面平行的判定几何体的体积 【考查能力】空间想象能力 【解析】(Ⅰ)取 PB 的中点为 G ,连结 NG , AG ,由已知可得 AM // BC ,且 AM ? 2 , 又 N 是 PC 的中点,则 GN // BC ,且 GN ? 2 ,所以 AM // GN 且 AM ? GN ,从而四边 形 MNGA 为平行四边形,所以 MN // AG ,又 AG ? 平面 PAB , MN ? ? 平面 PAB ,所以

MN // 平面 PAB 。
(Ⅱ)在 ?ABC 中,因为 AB ? AC ? 3, BC ? 4 ,所以 S ?ABC ?

1 ? 4? 5 ? 2 5 , 2

N 是 PC 的中点, 又因为 PA ? 平面 ABCD , 所以 N 到平面 ABCD S?BCM ? S?ABC ? 2 5 。
的距离为 h ? 【难度】难

1 1 4 5 PA ? 2 ,从而体积 VN ?BCM ? ? 2 5 ? 2 ? 。 2 3 3

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【分值】 12 分 20.【答案】见解析 【知识点】 直线与圆锥曲线的位置关系

【考查能力】推理论证能力 【解析】 由题意 F ( ,0) ,设 l1 : y ? a, l2 : y ? b ,则 ab ? 0 ,且

1 2

A(

a2 b2 1 1 1 a?b , a), B( , b), P(? , a), P(? , b), R(? , ) 2 2 2 2 2 2

记过 A, B 两点的直线为 l ,则 l 的方程为 2 x ? (a ? b) y ? ab ? 0 (Ⅰ)由于 F 在线段 AB 上,故 1 ? ab ? 0 记的 AR 斜率为 k1 , FQ 的斜率为 k2 ,则 k1 ? 所以 AR // FQ . ( Ⅱ ) 设 l 与 x 轴 的 交 点 为 D( x1,0) , 则 S ?ABF ?

a ?b a ?b 1 ab ? 2 ? ?? ? ?b ? k2 , 2 1? a a ? ab a a

1 1 1 | b ? a || FD |? | b ? a || x1 ? | , 2 2 2

| a ?b| 。 2 1 1 | a ?b| 由题意可得 | b ? a || x1 ? |? ,所以 x1 ? 0 (舍去), x1 ? 1 2 2 2 S ?PQF ?
设满足条件的 AB 的中点为 E ( x, y ) 当 AB 与 x 轴不垂直时,由 k AB ? kDE ,可得

2 y a?b ? ( x ? 1) ,而 ? y ,所以 a ? b x ?1 2

y 2 ? x ? 1( x ? 1) 。
当 AB 与 x 轴垂直时, E 与 D 重合,所以,所求轨迹方程为 y 2 ? x ?1 . 【难度】难 【分值】 12 分 21.【答案】见解析 【知识点】 函数的单调性与导数用导数处理不等式恒成立问题 【考查能力】推理论证能力

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【解析】(Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0,??) , f ?( x) ?

1 1? x ?1 ? ,所以,当 0 ? x ? 1 时, x x

f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减。
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得: f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 ? 0 ,ln x ? x ? 1 。当 x ? 1 时,有 ln x ? x ? 1 , ln

1 1 x ?1 ? ? 1 。因此,当 x ? 1 时, 1 ? ? x。 x x ln x

(Ⅲ) 令 h( x) ? 1 ? (c ? 1) x ? c x , 其中 0 ? x ? 1, c ? 1 , 则 h?( x) ? c ? 1 ? c x ln c 。 由 (Ⅱ) 可知 c ? 1 ? ln c ,所以 h?( x) ? ln c ? c x ln c ? ln c(1 ? c x ) 。因为, c ? 1 ,所以, ln c ? 0 ,
x 当 0 ? x ? 1 时, 1 ? c ? 0 ,所以 0 ? x ? 1, c ? 1时, h?( x) ? 0 ,即 h( x) 单调递减。从而,

h( x) ? h(1) ? 0 ,即 1 ? (c ?1) x ? c x ? 0 ,也即 1 ? (c ?1) x ? c x 。
【难度】难 【分值】 12 分 22. 【答案】见解析 【知识点】圆周角定理 【考查能力】推理论证能力 【解析】 (Ⅰ)连结 PB, BC ,则: ?BFD ? ?PBA? ?BPD, ?PCD ? ?PCB ? ?BCD 因为弧 AP ? 弧 BP ,所以 ?PBA ? ?PCB ,又 ?BPD ? ?BCD , 所以 ?BFD ? ?PCD . 又 ?PFB ? ?BFD ? 180?, ?PFB ? 2?PCD 所以 3?PCD ? 180 ? ,因此 ?PCD ? 60?

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(Ⅱ)因为 ?PCD ? ?BFD ,所以 ?EFD ? ?PCD ? 180 ? ,由此知 C , D, F , E 四点共圆, 其圆心既在 CE 的垂直平分线上,又在 DF 的垂直平分线上,故 G 就是过 C , D, F , E 四点的 圆的圆心, 所以 G 在 CD 的垂直平分线上, 又 O 也在 CD 的垂直平分线上, 因此 OG ? CD . 【难度】中 【分值】 10 分 23.【答案】见解析 【知识点】参数方程 【考查能力】运算求解能力 【解析】 (Ⅰ) C1 的普通方程为

x2 ? y 2 ? 1, C2 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 。 3

(Ⅱ)由题意,可设点 P 的直角坐标为 ( 3 cos? , sin ? ) ,因为 C2 是直线,所以 | PQ | 的最 小值即为 P 到 C2 的距离 d (a ) 的最小值,

d ( a) ?

| 3 cos? ? sin ? ? 4 | ? ? 2 | sin(? ? ) ? 2 | 3 2

当且仅当 ? ? 2k? ?

?
6

(k ? Z ) 时,d (a) 取得最小值,最小值为 2 ,此时 P 的直角坐标为

3 1 ( , ) 2 2
【难度】中 【分值】 10 分 24.【答案】见解析 【知识点】含绝对值不等式的解法 【考查能力】推理论证能力 【解析】(Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| 2 x ? 2 | ?2 解不等式 | 2 x ? 2 | ?2 ? 6 ,得 ? 1 ? x ? 3 因此 f ( x) ? 6 的解集为 {x ?1 ? x ? 3} 。

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(Ⅱ)当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ?| 2 x ? a | ?a? | 1 ? 2 x |?| 2 x ? a ? 1 ? 2 x | ?a

?| 1 ? a | ?a
当x?

1 时等号成立,所以当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ? 3 等价于 | 1 ? a | ?a ? 3 .......? 2

当 a ? 1 时,?等价于 1 ? a ? a ? 3 ,无解 当 a ? 1 时,?等价于 a ? 1 ? a ? 3 ,解得 a ? 2 所以的取值范围是 [2,??) 。 【难度】中 【分值】 10 分

来源:阳光兔一对一

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