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2014高三复习:导数研究函数的最值与应用

导数研究函数的最值与应用 一、知识点 1. 导数的概念

2. 导数的几何意义

3. 基本初等函数的求导公式

4.导数运算法则 二、 【导数的应用】 1. 函数的单调性 函数 y ? f ( x) 在某个区间 (a, b) 内,如果________那么函数在该区间上 为增函数;如果__________,那么函数在该区间上为减函数。 2. 函数的极值(最值) (1) 若 f ' ( x0 ) ? 0 ,且在点 x ? x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 , 则 f ( x0 ) 是函数 y ? f ( x) 的一个________。

(2) 若 f ' ( x0 ) ? 0 ,且在点 x ? x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 , 则 f ( x0 ) 是函数 y ? f ( x) 的一个________。

热身训练: 1.函数 f ( x) ? x ln x 的单调减区间为________ 2.函数 f(x)=x3-3x2+7 的极大值是________. 3.若函数 y=lnx-ax 的增区间为(0,1),则 a 的值是________. 4.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是________. 5.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则

a=______.
6.若函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的单调递减区间为(-1,2),则 b= ___,c=__. 7.已知 a>0,函数 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是单调增函数,则 a 的最大值是________. 8.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值, 则 ab 的最大值等于________. 9.已知函数 f(x)=mx3+nx2 的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线 3x+y=0 平行,若 f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数 t 的取 值范围是________.

10.若函数 y ? x 3 ? ax2 ? 4 在区间 (0,2) 内单调递减,则实数 a 的取值范 围为________ 11.函数 f ( x) ? x ? 2 cos x 在区间 [0, ] 上的最大值为________
π 2

12函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 在区间 [?3,0] 上的最小值为______ 13已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9 在 x ? ?3 时取得极值,则 a=___

14.已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ,若 f ( x) ? 1在区间 (1,??) 上恒成立,则实数 a 的取值范围为____________

15.对一切实数 x ,不等式 x 2 ? a | x | ?1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围 是 .

16.若关于 x 的方程 kx ? 1 ? ln x 有解,则实数 k 的取值范围是 典型题目: 1. 设 函 数 f ( x) ? x 3 ? 3ax2 ? 3bx 的 图 像 与 直 线 12x ? y ? 1 ? 0 相 切 于 点
(1,?11) ,则函数的递增区间为_________

2.函数 f ( x) ? x 3 ? ax ? 2 在区间 (1,??) 内是增函数, 则实数 a 的取值范围 为__________ 3.若函数 f ( x) ? m cos x ? sin 2 x 在 x ? 处取得极值,则 m=______
1 2 π 4

4. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , f (1) ? 0 ,
xf ' ( x) ? f ( x) ? 0( x ? 0) ,则不等式 x 2 f ( x) ? 0 的解集是__________ 2 x

5.对于任意的 x ? ( , ) ,不等式 p sin 2 x ? cos4 x ? 2 sin 2 x 恒成立,则实
4 2

? ?

数 p 的取值范围为

__

6.已知函数 f(x)=x3-3ax(a∈R),函数 g(x)=lnx. (1) 当 a=1 时,求函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值; (2) 若在区间[1,2]上 f(x)的图象恒在 g(x)的图象的上方(没有公共 点),求实数 a 的取值范围;

7.已知函数 f ( x) ? x ln x (1)求函数的最小值 (2)若对所有 x ? 1 ,都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围

8.已知函数 f ( x) ? a ln x ? x 2 (a 为实常数) (1)若 a ? ?2 ,求证:函数 f ( x) 在 (1,??) 上是增函数 (2)若存在 x ? [1, e] ,使得 f ( x) ? (a ? 2) x 成立,求实数 a 的取值范围。

练习
1.函数 f(x)=lnx-x 在区间(0,e]上的最大值为________. 2.函数 f(x)=12x-x3 在区间[-3,3]上的最小值是________.
?1 ? 1-x 3.已知 a≤ +lnx 对于 x∈? ,2?恒成立,则 a 的最大值为 x ?2 ?

________. 4.用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体 的长与宽之比为 2∶1,则该长方体的最大体积是________m3. 5.函数 y=2x3-2x2 在区间[-1,2]上的最大值是________. 1 6.函数 f(x)= x2-lnx 的最小值为________. 2 7.[2012· 泰安模拟] 已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元) 1 与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y=- x3+81x-234,则使 3 该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件. 8.[2011· 盐城模拟] 若函数 f(x)= 的最大值为 3 ,则 a 的值为________. 3

x
2

x +a

(a>0)在[1,+∞)上

9.[2012· 盐城模拟] 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[- 3 2,2]表示过原点的曲线,且在 x=± 1 处的切线的倾斜角均为 π,则以 4 下命题: ①f(x)的解析式为 f(x)=x3-4x,x∈[-2,2]; ②f(x)的极值点有且只有一个; ③f(x)的最大值与最小值之和等于零. 其中正确命题的序号为________.

1 10.已知函数 f(x)= x4-2x3+3m,x∈R,若 f(x)+9≥0 恒成 2 立,则实数 m 的取值范围是________. 11.[2012· 泰州调研] 若函数 f(x)=loga(x3-ax)(a>0,a≠1)

? 1 ? 在区间?- ,0?内单调递增,则 a 的取值范围是________. ? 2 ?

12. 设函数 f(x)=ax3-3x+1(x∈R), 若对于任意的 x∈[-1,1] 都有 f(x)≥0 成立,则实数 a 的值为________. 13.★在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f(x)=ex(x>0) 的图象上的动点,该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大 值是________.

14.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=3x2-3ax,f(0)=b,a,b 为 实数,1<a<2. (1)若 f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1, 求 a、b 的值; (2)在(1)的条件下,求经过点 P(2,1)且与曲线 f(x)相切的直线

l 的方程.


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