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高三一轮复习 课件 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值


-2-

考纲要求:
1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究 函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式 函数不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函 数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最 小值(其中多项式函数不超过三次).

-3-

1.函数的单调性与导数 (1)已知函数f(x)在某个区间内可导, ①如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增 ; ②如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减 ; ③若f'(x)=0,则f(x)在这个区间内是常数函数 . (2)可导函数f(x)在[a,b]上单调递增,则有f'(x)≥0 在[a,b]上恒成 立. (3)可导函数f(x)在[a,b]上单调递减,则有f'(x)≤0 在[a,b]上恒成 立.

2.函数的极值与导数 (1)函数极值的概念 ①函数的极小值:若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点 x=a附近其他点的函数值都小 ,且f'(a)=0,而且在点x=a附近的左 侧f'(x)<0 ,右侧f'(x)>0 ,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数 的极小值. ②函数的极大值:若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点 x=b附近其他点的函数值都大 ,且f'(b)=0,而且在点x=b附近的左 侧f'(x)>0 ,右侧f'(x)<0 ,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数 的极大值,极大值 和极小值 统称为极值. (2)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续且f'(x0)=0, ①如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值 ; ②如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值.

-4-

-5-

3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件:如果在区间[a,b]上函数y=f(x) 的图象是连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)设函数f(x)在[a,b]上连续且在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最 大值和最小值的步骤如下: ①求f(x)在(a,b)内的极 值; ②将f(x)的各极 值与f(a),f(b) 比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值.

-61 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)已知函数f(x)在(a,b)内可导,则f'(x)>0是f(x)为增函数的充要条 件. ( × ) (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的. ( × ) (3)对可导函数f(x),f'(x0)=0是x0点为极值点的充要条件. ( × ) (4)函数的极大值不一定比极小值大. ( √ ) (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小 值. ( √ )

-71 2 3 4 5

2.如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下面判断正确的是 ( )

A.在区间(-2,1)上f(x)是增函数 B.在区间(1,3)上f(x)是减函数 C.在区间(4,5)上f(x)是增函数 因导数大于 0(2,3) 的区间是函数的增区间 ,导数小于0的区间是函数的减区间, D.在区间 上f(x)不是单调函数
所以由图象可知在区间(4,5)上f'(x)>0,故在区间(4,5)上f(x)是增函数.
C

关闭

关闭

解析

答案

-81 2 3 4 5
1

3.函数f(x)= 2 x2-ln x的最小值是( 1 A.0 B. 2 C.1 D.不存在

)

关闭

f'(x)=x- =


1

2 -1

,且 x>0.
关闭

令 f'(x)>0,得 x>1;令 f'(x)<0,得 0<x<1. 1 1 故 B f(x)在 x=1 时取得最小值 f(1)= -ln 1= .
2 2

解析

答案

-91 2 3 4 5

4.(教材习题改编P32T4)如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极 小值点的个数为 .

关闭

由题意知在x=-1处f'(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正.
关闭

1

解析

答案

-101 2 3 4 5

5.若函数f(x)=x3+ax-2在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围 是 .

关闭

f'(x)=3x2+a,且f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,
则f'(x)=3x2+a≥0在(1,+∞)上恒成立, 即 a+∞ ≥-3 [-3, )x2在(1,+∞)上恒成立.故a≥-3.
解析 答案
关闭

-111 2 3 4 5

自测点评 1.函数f(x)在区间(a,b)上递增,则f'(x)≥0,“f'(x)>0在(a,b)上成立”是 “f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必 要不充分条件.如函数y=x3在x=0处导数为零,但x=0不是函数y=x3 的极值点. 3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需 要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极 小值之间没有必然的大小关系.

-12考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点1利用导数研究函数的单调性 例1(2015兰州、张掖联考)已知函数f(x)=ln x,g(x)=f(x)+ax2+bx,其 中g(x)的函数图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴. (1)确定a与b的关系; (2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性. 思考:如何利用导数的方法研究函数的单调性?

解:(1)依题意,得 g(x )=ln

x+ax 2+bx,则

1 g'(x )= +2ax+b.

由函数 g(x )的图象在点(1,g(1))处的切线平行于 x 轴,得 g'(1)=1+2a+b=0, ∴b=-2a-1.

-13考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)由(1)得

22 -(2 +1) +1 g'(x )=

=

(2 -1 )(- 1) ,

∵函数 g(x )的定义域为(0,+∞ ), ∴当 a=0
-1 时,g'(x )=- .

由 g'(x )>0 得 0<x<1,由 g'(x )<0 得 x>1, 即函数 g(x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞ )上单调递减; 当 a>0 时,令 g'(x )=0 得 x=1 或 x= , 若 <1,即 a> ,由 g'(x )>0 得 x>1 或 0<x< ,由 g'(x )<0 得
1 <x<1, 2 1 2 1 2 1 2 1 2

-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

即函数 g(x )在 0,
1 若 >1,即 2

1 2

,(1,+∞ )上单调递增,在 g'(x )>0 得
1 x> 或 2

1 ,1 2

上单调递减;

1 0<a< ,由 2

0<x<1,由 g'(x )<0 得

1<x< , 即函数 g(x )在(0,1), 2 , + ∞ 上单调递增,在 1, 2 上单调递 减; 若2 =1,即 a=2,在(0,+∞ )上恒有 g'(x )≥0, 即函数 g(x )在(0,+∞ )上单调递增.
1 1 1 1

1 2

-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

综上可得,当 a=0 时,函数 g(x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞ )上单 调递减; 当
1 1 0<a< 时,函数 2

g(x )在(0,1)上单调递增,在

1 1, 2

上单调递减,

在 2 , + ∞ 上单调递增; 当 a= 时,函数 g(x )在(0,+∞ )上单调递增; 当 a> 时,函数 g(x )在 0, 在(1,+∞ )上单调递增.
1 2 1 2 1 2

上单调递增,在

1 ,1 2

上单调递减,

-16考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:如何利用导数的方法研究函数的单调性? 解题心得:1.导数法求函数单调区间的一般流程: 求定义域→求导数f'(x)→求f'(x)=0在定义域内的根→用求得的根 划分定义区间→确定f'(x)在各个开区间内的符号→得相应开区间 上的单调性. 2.利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当 f(x)不含参数时,解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)直接得到单调递增(或递 减)区间;当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行 分类讨论. 3.若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问 题,可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注 意“=”是否可以取到.

-17考点1 考点2

对点训练1 3 (1)当 a= 时,求函数f(x)的单调区间; 2 (2)若函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数a的取值范围.

e (2015浙江嘉兴质检)已知函数 f(x)= 2

考点3

知识方法

易错易混

1 ? -ax(a∈R). e

解:(1)当 a= 时,f(x)= ? f'(x)=
1 2 2 2e
x 2 x [(e ) 3e +2]=

3

e

1 e

? x,
2

3

1 2e

x x (e 1)(e -2),

令f'(x)=0,得ex=1或ex=2, 即x=0或x=ln 2; 令f'(x)>0,则x<0或x>ln 2; 令f'(x)<0,则0<x<ln 2. ∴f(x)的递增区间是(-∞,0),(ln 2,+∞);递减区间是(0,ln 2).

-18考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)f'(x)= + 令 h(t)= +
2 1 2 1

e

1 e

x -a , 令 e =t,由于 x∈[-1,1],∴t∈

1 e

,e .



1 e

,e ,h'(t)= ?
2

1

1 2

=

2 -2 2 2

,

∴当 t∈ e ,√2 时 ,h'(t)<0,函数 h(t)为单调减函数 ;
当 t∈(√2,e]时 ,h'(t)>0,函数 h(t)为单调增函数 . 故 h(t)在 ,e 上的极小值点为 t=√2. 又 h(e)= + <h
2 e e e 1 1 e 1 1

=

1 2e

+e,

∴√2≤h(t)≤e+2e . ∵函数 f(x)在 [-1,1]上为单调函数 ,若函数 f(x)在 [-1,1]上单调递
增, 则 a≤ + 对 t∈ ,e 恒成立 ,
2 e 1 1

-19考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

所以 a≤√2; 若函数 f(x)在[-1,1]上单调递减, 则 a≥ + 对 t∈ ,e 恒成立,所以 a≥e+ ,
2 e 1 1 1

综上可得 a 的取值范围是(-∞,√2]∪ e +

2e 1

2e

,+∞ .

-20考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点2利用导数研究函数的极值 例2(2015天津模拟)已知函数f(x)=ln x-a2x2+ax(a∈R). (1)求f(x)的单调区间与极值. (2)若函数在区间(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围.

解 :(1)函数 f(x)=ln x-a2x2+ax 的定义域为 (0,+∞), f'(x)= -2a x+a=
1
2

-2 2 2 + +1 -(2 +1)( -1) 1

=



.

①当 a=0 时 ,f'(x)= >0,

所以 f(x)的单调递增区间为(0,+∞), 此时 f(x)无极值 . ②当 a>0 时 ,令 f'(x)=0, 1 1 得 x= 或 x=- (舍去 ).
2

-21考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

f(x)的单调递增区间为 0, 有极大值为 f
1

1

,单调递减区间为
1 1

1

, + ∞ ,所以 f(x)

=-ln a,无极小值 .
1

③当 a<0 时 ,令 f'(x)=0,得 x= (舍去 )或 x=-2 ,
所以 f(x)的单调递增区间为 0,单调递减区间为 1 2 2 1 2

, ? =-ln(-2a)- ,无极小值 .
4 4 3 3

,+∞ ,
1 2

所以 f(x)有极大值为 f -

=ln -

-22考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)由 (1)可知 :①当 a=0 时 ,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,不合题 意.

②当 a>0 时 ,f(x)的单调递减区间为
1

1

,+∞ ,

依题意 ,得

得 a≥1. > 0, ③当 a<0 时 ,f(x)的单调递减区间为

≤ 1,

1 2

,+∞ ,

≤ 1, 1 即 a ≤- . 2 < 0, 1 综上 ,实数 a 的取值范围是 -∞,- ∪[1,+∞). 依题意 ,得 2 2

1

-23考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:函数的导数与函数的极值有怎样的关系? 解题心得:1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是 f'(x0)=0,且在x0左侧与右侧f'(x)的符号不同. 2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是 单调函数,即在某区间上单调函数没有极值. 3.利用导数研究函数极值的一般流程:

-24考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练2 已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,c∈R)的导函数f'(x) 为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4-c. (1)确定a,b的值; (2)若c=3,判断f(x)的单调性; (3)若f(x)有极值,求c的取值范围.

-25考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

解:(1)对 f (x )求导,得

f'(x )=2ae2 x+2be-2



-c,由 f'(x )为偶函数,知

f'(-x )=f'(x )恒成立, 即 2(a-b)(e2 x-e-2 x)=0,所以 a=b. 又 f'(0)=2a+2b-c=4-c,故 a=1,b=1. (2)当 c=3 时,f (x )=e2 x-e-2 x-3x ,那么 f'(x )=2e2 x+2e-2 x-3≥2 2e2 · 2e-2 -3=1>0, 故 f (x )在 R 上为增函数.

-26考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(3)由(1)知 f'(x )=2e2x+2e-2 x-c, 而 2e2 x+2e-2 x≥2 2e2 · 2e-2 =4, 当 x=0 时等号成立. 下面分三种情况进行讨论: 当 c<4 时,对任意 x ∈R,f'(x )=2e2 x+2e-2x-c>0,此时 f (x)无极值; 当 c=4 时,对任意 x ≠0,f'(x )=2e2 x+2e-2x-4>0,此时 f (x)无极值; 当 c>4 时,令 e2 x=t ,注意到方程 2t+ -c=0 有两根 t 1,2 =
± 2 -16 4 2

>0(设 t 1<t 2),

-27考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

即 f'(x )=0 有两个根 x 1= ln t 1 且 x 2 = ln t 2 . 当 x1 <x<x2 时,f'(x )<0;又当 x>x2 时,f'(x )>0,从而 f (x )在 x=x 2 处取 得极小值. 综上,若 f (x )有极值,则 c 的取值范围为(4,+∞ ).

1 2

1 2

-28考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点3利用导数研究函数的最值

例 3(2015 河南洛阳统考)已知函数 f(x)= +kln x,k< e ,求函数
f(x)在
1 ,e e

1-

1

上的最大值和最小值.
1- - -(1- ) 2 1

解 :∵f(x)=

+kln x, + =
1 -1 2

∴f'(x)=

.
1 e

①若 k=0,则 f'(x)=- 2 在
1-e

,e 上恒有 f'(x)<0,
1 e

∴f(x)在 e ,e 上单调递减. ∴f(x)min=f(e)= e ,f(x)max=f

=e-1.

-29考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
1

②若 k ≠0,f'(x)=
1

-1 2 1

=

2

.
2
1

ⅰ.若 k<0,则在 e ,e 上恒有 ∴f(x)在 e ,e 上单调递减,
1-e 1

<0,

∴f(x)min=f(e)= e +kln e=e +k-1,
f(x)max=f
1 2

1 e

=e-k-1.
1 1 1 e 1

ⅱ.若 k>0,由 k<e ,得 >e,则 x- <0, ∴
<0,∴f(x)在
1-e

,e 上单调递减.
1 1 e

∴f(x)min=f(e)= e +kln e=e +k-1,f(x)max=f
综上 ,当 k=0 时 ,f(x)min=
1 e 1-e e 1 e

=e-k-1.

,f(x)max=e-1;

当 k≠0 且 k< 时 ,f(x)min= +k-1,f(x)max=e-k-1.

-30考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:求函数的最值可划分为哪几步? 解题心得:求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤: (1)求函数在(a,b)内的极值. (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b). (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最 小的一个为最小值.

-31考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练3 若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对 称,则f(x)的最大值为 .
答案:16

-32考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

解析:∵函数 f (x )的图象关于直线 x=-2 对称, ∴f (x )满足 f (0)=f (-4),f (-1)=f (-3), 即 = - 15(16-4 + ), 0 = - 8(9-3 + ), 解得 = 8, = 15.

∴f (x )=-x 4-8x 3 -14x2+8x+15.
由 f'(x )=-4x 3 -24x 2 -28x+8=0, 得 x 1 =-2-√ 5,x 2 =-2,x 3=-2+√ 5. 易知,f (x )在(-∞ ,-2-√ 5)上为增函数,在(-2-√ 5,-2)上为减函数,在 (-2,-2+√ 5)上为增函数,在(-2+√ 5,+∞ )上为减函数.

-33考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

∴f (-2-√5)=[1-(-2-√5)2 ][(-2-√5)2 +8(-2-√5)+15]
=(-8-4√5)(8-4√5)=80-64=16. f (-2+√5)=[1-(-2+√5)2 ][(-2+√5)2 +8(-2+√ 5)+15] =(-8+4√ 5)(8+4√ 5)=80-64=16. 故 f (x )的最大值为 16.

-34考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.函数y=f(x)在(a,b)内可导,f'(x)在(a,b)上任意子区间内都不恒等 于零,则f'(x)≥0?f(x)在(a,b)上为增函数;f'(x)≤0?f(x)在(a,b)上为 减函数. 2.求可导函数极值的步骤: (1)求f'(x);(2)求f'(x)=0的根;(3)判定根两侧导数的符号;(4)下结论. 3.求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值时,首先求出各极值 及区间端点处的函数值;然后比较其大小,得结论(最大的就是最大 值,最小的就是最小值).

-35考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函 数的定义域内进行. 2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认 真比较才能下结论. 3.一个函数在其定义域内最值是唯一的,可以在区间的端点取得. 4.解题时,要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好当 f'(x)=0时的情况,正确区分极值点和导数为0的点.

-36-

高频小考点——用导数的方法求参数的取值范围 典例1已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0, 则a的取值范围是( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1) 答案:C 解析:当a=0时,f(x)=-3x2+1存在两个零点,不合题意;

当 a>0 时 ,f'(x)=3ax -6x=3ax 令 f'(x)=0,得
2 2 x1=0,x2= ,

2

2

,

所以 f(x)在 x=0 处取得极大值 f(0)=1, 在 x= 处取得极小值 f
2

=1- 2 ,

要使 f(x)有唯一的零点,需 f

但这时零点 x0 一定小于 0,不合题意;

4 2 >0,

-37-

当 a<0 时 ,f'(x)=3ax -6x=3ax
2 令 f'(x)=0,得 x1=0,x2= ,这时 2 2 4 x= 处取得极小值 f =1- 2 ,

2

2

,

f(x)在 x=0 处取得极大值 f(0)=1,在
2 4 =1- 2 >0,解得

要使 f(x)有唯一零点,应满足 f

a<-2(a>2 舍去 ),

且这时零点 x0 一定大于 0,满足题意,故 a 的取值范围是(-∞,-2).

-38-

2 2 2 0 +[f (x0 )] <m , 则 m 的取值范围是(

典例 2 设函数 f (x)=√3sinπ . 若存在 f (x)的极值点 x0 满足
)

A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 答案:C

-39-

解析:∵x0 是 f (x)的极值点, π0 π ∴f'(x0 )=0, 即 ·√3· cos =0,
π π
2 2 ∴ 2 0 +[ f ( x0 )] <m 可转化为

得 x0 =k π+2 , k ∈Z, 即 x0 =mk+2m, k ∈Z.
1 π 1 + 2 + √3sin + 2 <m2 , k ∈Z, 2 2 1 1 3 即 + m2 +3<m2 , k ∈Z, 即 + <1- 2 , k ∈Z. 2 2 2 3 1 要使原问题成立, 只需存在 k ∈Z, 使 1- 2 > + 成立即可. 2 2 1 1 + 2 的最小值为4, 3 1 ∴1-2 > 4 , 解得 m<-2 或 m>2. 故选 C.
2 2

1



-40-

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