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2018届高三数学一轮复习:课时作业39 Word版


课时作业 39

基本不等式

一、选择题 1.已知 a,b∈R+且 a≠b,x= 大小关系是( A.x<y C.x=y ) B.x>y D.视 a,b 的值而定 a+b a+ b ≥ 2 2 ,又因 a+ b 2 ,y= a+b,则 x,y 的

a2+b2 ?a+b?2 ? ,可得 解析:由不等式 2 ≥? ? 2 ? 为

a+b a+ b < a + b ,所以可得 2 2 < a+b,即 x<y. 答案:A 1 2.设函数 f(x)=x+ ,当 x>1 时,不等式 f(x)≥a 恒成立,则 x-1

实数 a 的取值范围是( A.(-∞,3]
?7 ? C.?2,+∞? ? ?

) B.[3,+∞) 7? ? D.?-∞,2?
? ?

解析: 当 x>1 时, x - 1>0 ,则 f(x) = x + 1≥2

1 1 = x-1+ + x-1 x-1

1 1 ?x-1?· +1=3,当且仅当 x-1= ,即 x=2 时等号成 x-1 x-1

立,函数 f(x)有最小值 3.由不等式 f(x)≥a 恒成立,得实数 a 的取值范 围是(-∞,3]. 答案:A

3. 点(a, b)在直线 x+2y=3 上移动, 则 2a+4b 的最小值是( A.8 C.4 2 B.6 D.3 2

)

解析: 由题可得 a+2b=3, 因为 2a+4b=2a+22b≥2 2a+2b=2 23 3 3 =4 2,当且仅当 a=2b,即 a=2,b=4时等号成立. 答案:C 4.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A.3 9 C.2 解析: ∵ 2xy = x· 2y≤ ? B.4 11 D. 2
?x+2y? 2 ? ,∴ 8 = x + 2y + 2xy≤(x + 2y) + ? 2 ?

)

?x+2y?2 ? ? ,令 x+2y=t,则 t2+4t-32≥0,解得 t≥4 或 t≤-8(舍去), ? 2 ?

∴x+2y 的最小值为 4. 答案:B 5.已知关于 x 的不等式 x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2), a 则 x1+x2+x x 的最小值是( 1 2 6 A. 3 2 C.3 6 ) 2 B.3 3 4 D.3 3

解析:∵关于 x 的不等式 x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2), ∴Δ=16a2-12a2=4a2,又 a>0,∴Δ>0,∴x1+x2=4a,x1x2=3a2, a a 1 ∴x1+x2+x x =4a+3a2=4a+3a≥2 1 2 1 4 3 3 4a· = , 当且仅当 a = 3a 3 6

a 4 3 时取等号.故 x1+x2+x x 的最小值是 3 . 1 2 答案:D 1 1 1 9 6.若正数 a,b 满足a+b=1,则 + 的最小值为( a-1 b-1 A.1 C.9 B.6 D.16 )

1 1 a 解析:∵正数 a,b 满足a+b=1,∴b= >0,解得 a>1,同 a-1 理 b>1, ∴ 1 9 1 + = + a-1 b-1 a-1 9 a -1 a-1 = 1 + 9(a - a-1

1)≥2

1 1 4 · 9?a-1?=6,当且仅当 =9(a-1),即 a=3时等号 a-1 a-1

成立,∴最小值为 6. 答案:B 二、填空题 7.y= ?3-a??a+6?(-6≤a≤3)的最大值为________. 解析:由-6≤a≤3,得 3-a≥0,a+6≥0.由基本不等式, 得 ?3-a??a+6?≤ ?3-a?+?a+6? 9 =2,当且仅当 3-a=a+6, 2

3 9 即 a=-2时,等号成立,故 y 的最大值为2. 9 答案:2 8.已知直线 ax+by=1 经过点(1,2),则 2a+4b 的取值范围是 ________. 解析:由直线 ax+by=1 经过点(1,2),得 a+2b=1,则 2a+

1 1 4b≥2 2a×4b=2 2a+2b=2 2,当且仅当 2a=4b,即 a=2,b=4时, 等号成立, 所以 2a+4b 的取值范围是[2 2,+∞). 答案:[2 2,+∞) 1 9. (2017· 湖北襄阳一调)已知 x>-1, y>0 且满足 x+2y=1, 则 x+1 2 +y的最小值为________. 解析:∵x>-1,y>0 且满足 x+2y=1, ∴x+1>0,且(x+1)+2y=2, ∴
? 1 2? 1 2 1 +y =2[(x+1)+2y]?x+1+y? x+1 ? ?

5 1? 2y 2?x+1?? + y ? =2+2? ?x+1 ? 5 1 ≥2+2×2 2y 2?x+1? 9 · y =2, x+1

2y 2?x+1? ? ?x+1= y , 当且仅当? ? ?x+2y=1, 1 ? x =- ? 3, 即? 2 ? y = ? 3 9 填2. 9 答案:2 三、解答题

1 2 9 时取等号,故 +y的最小值为2,所以答案应 x+1

10.已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0,求 (1)xy 的最小值; (2)x+y 的最小值. 8 2 8 解:(1)由 2x+8y-xy=0,得x+y=1,又 x>0,y>0,则 1=x+ 2 y≥2 82 8 · = , xy xy

得 xy≥64, 当且仅当 x=16,y=4 时,等号成立. 所以 xy 的最小值为 64. 8 2 (2)由 2x+8y-xy=0,得x+y=1,
?8 2? 2x 8y 则 x+y=? x+y?· (x+y)=10+ y + x ≥10+2 ? ?

2x 8y y ·x =18.

当且仅当 x=12 且 y=6 时等号成立, ∴x+y 的最小值为 18. 1 1 11.已知 a>0,b>0,a+b= ab. (1)求 a3+b3 的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由. 解:(1)∵a>0,b>0, 1 1 ∴a+b≥2 1 ab,即 ab≥2 1 ab,

由此得 ab≥2,当且仅当 a=b= 2时取等号,又 a3+b3≥2 a3b3 ≥2 23=4 2, 当且仅当 a=b= 2时取等号, ∴a3+b3 的最小值是 4 2. (2)由(1)得 ab≥2(a=b= 2时取等号),

∴2a+3b≥2 2a· 3b=2 6ab, 当且仅当 2a=3b 时等号成立, 故 2a+3b≥2 6ab>4 3>6, 故不存在 a,b,使得 2a+3b=6 成立.

xy 1.设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当 z 取得最大 2 1 2 值时,x+y- z 的最大值是( A.0 9 C.4 ) B.1 D.3

xy xy 1 解析: z = 2 2= x -3xy+4y x 4y y+ x - 3 ≤ 1 2 1 2 =1,当且仅当 x=2y 时等号成立,此时 z=2y2,x +y - z 4-3

?1 ? 1 2 =-y2+y =-? y-1?2+1≤1,当且仅当 y=1 时等号成立,故所求的 ? ?

最大值为 1. 答案:B 2.(2017· 银川模拟)若直线 2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆 x2 2 1 +y2-2x-4y-6=0,则a+b的最小值是( A.2- 2 C.3+2 2 )

B. 2-1 D.3-2 2

2 解析:∵圆心为(1,2)在直线 2ax+by-2=0 上,∴a+b=1,∴a

1 ?2 1? +b=?a+b? ? ? 2b a 2b a · (a+b)=3+ a +b≥3+2 2.当且仅当 a =b,即 a=2- 2,b= 2-1 时等号成立. 答案:C 3.若实数 a,b 满足 ab-4a-b+1=0(a>1),则(a+1)(b+2)的 最小值为________. 解析: 因为 ab-4a-b+1=0, 所以 b= 4a-1 .又 a>1, 所以 b>0, a-1 6 + 1= a-1

所以 (a+1)(b+ 2)=ab+2a+ b+2=6a+2b+ 1=6a+ 8+ 6(a - 1) + 15≥2

6 6 + 15. 因 为 a - 1>0 , 所 以 6(a - 1) + + a-1 a-1

6 6 6?a-1?× +15=27,当且仅当 6(a-1)= (a>1),即 a-1 a-1

a=2 时等号成立,故(a+1)· (b+2)的最小值为 27. 答案:27 4.某地需要修建一条大型输油管道通过 240 km 宽的沙漠地带, 该段输油管道两端的输油站已建好, 余下工程是在该段两端已建好的 输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算, 修建一个增压站的费用为 400 万元,铺设距离为 x km 的相邻两增压 站之间的输油管道的费用为 x2+x 万元.设余下工程的总费用为 y 万 元. (1)试将 y 表示成 x 的函数; (2)需要修建多少个增压站才能使 y 最小,其最小值为多少? 240 解:(1)设需要修建 k 个增压站,则(k+1)x=240,即 k= x -1.

?240 ? 240 96 000 所以 y = 400k + (k + 1)(x2 + x) = 400 ? x -1? + x (x2 + x) = x + ? ?

240x-160. 因为 x 表示相邻两增压站之间的距离, 则 0<x<240.故 y 与 x 的函 96 000 数关系是 y= x +240x-160(0<x<240). (2)y= ≥2 96 000 x +240x-160 96 000 240x-160=2×4 800-160 x ·

=9 440, 96 000 240 当且仅当 x =240x,即 x=20 时等号成立.此时 k= x -1 240 = 20 -1=11. 故需要修建 11 个增压站才能使 y 最小,其最小值为 9 440 万元.

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