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高二期中数学试卷参考答案及评分标准 2015


高二期中数学试卷参考答案及评分标准
一、填空题: 1. 2 8. x 2 ? 14. 2. y 2 ? ?8 x
y2 ?1 9

2015.11

3. 4 10. 6

4. 60 0 11.

5. 平面 BDG(或平面 AFH)

6.

? 2?? 4?

7. 4

9. ?1, 2?

? 2?

12. 1, 2

?

?

13. 3

10 ? 1 ? r ? 10 ? 1 或 r ? 5 ? 1 2

二、解答题: 15. 解:(1)设圆的方程为 ( x ? a) 2 ? y 2 ? r 2 (a ? 0) , ……2 分

?(?1 ? a)2 ? r 2 ? 2 由题意得 ?? a ? 1 ? ? ? 2 ?? ?? 2 ?
解得 ?

? ?

2

? r2



……4 分

?a ? ?3
2 ?r ? 4



……6 分
2

所以圆的方程为 ? x ? 3? ? y 2 ? 4

……7 分 ……9 分

(2)若直线 l 的斜率不存在,直线 l 的方程是 x ? ?5 ,满足题意,

若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 5) ? 4 ,即 kx ? y ? 4 ? 5k ? 0 由题意得
?3k ? 4+5k k ?1
2

3 ? 2 ,即, k ? ? , 4

……13 分 ……14 分

所以直线 l 的方程是 x ? 2 或 3x ? 4 y ? 1 ? 0 16. 证明:(1)因为 AB ? AC , D 为 BC 的中点,所以 AD ? BC . 因为 AA1 ? AD , AA 1 ? CC1 ,所以 AD ? CC1 , 又 CC1 ? BC ? C ,所以 AD ? 平面 BCC1B1 , 因为 DC1 ? 平面 BCC1B1 ,所以 AD ? DC1

……7 分

O ,连结 OD , 则 O 为 AC (2)连结 AC 1 交 AC1 于点 1 的中点.
因为 D 为 BC 的中点, 所以 OD ? A 1B 又因为 OD ? 平面 ADC1 , A1B ? 平面 ADC1 , 所以 A1 B ? 平面 ADC1
第 1 页 共 5 页

……14 分

(思路正确的情况下,运用定理中每少一个条件扣 2 分) 17. (1)证明: 2 依题意知圆 C 以点(a, )为圆心,以 a 4 a2+ 2为半径, a ……2 分

2 4 所以圆 C 的方程为:(x-a)2+(y- )2=a2+ 2, a a 在曲线 C 的方程中令 y=0,得 ax(x-2a)=0,得点 A(2a,0), 4 在曲线 C 方程中令 x=0,得 y(ay-4)=0,得点 B(0, ), a 1 1 4 ∴S= |OA|· |OB|= · |2a|· | |=4(定值). 2 2 a (3)∵圆 C 过坐标原点,且|OM|=|ON|,∴OC⊥MN, 2 1 ∴ 2= ,∴a=± 2, a 2 当 a=-2 时,圆心坐标为(-2,-1),圆的半径为 5, |-4-1-4| 9 圆心到直线 l:y=-2x+4 的距离 d= = > 5, 5 5 直线 l 与圆 C 相离,不合题意舍去, a=2 时符合题意. 这时圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,即 x2+y2-4x-2y=0.

……4 分 ……7 分 ……8 分 ……10 分

……12 分

……14 分

18. 证明: (1) 连接 BD1.在△BDD1 中,∵ E、F 分别为 DD1,BD 的中点,EF 为中位线 ∴ EF∥BD1.又∵ BD1 ? 平面 ABC1D1,且 EF ? 平面 ABC1D1,

∴ EF∥平面 ABC1D1.

……8 分

(2) ∵ AB⊥平面 BCC1B1,B1C ? 平面 BCC1B1,∴ AB⊥B1C.又∵ B1C⊥BC1,且 AB∩BC1=B,∴ B1C⊥平 面 ABC1D1. ∵ BD1 ? 平面 ABC1D1,∴ B1C⊥BD1.由(1)知,BD1∥EF,∴ B1C⊥EF. ……16 分

c 5 19. 解:(1)由题意知,2b=4,∴b=2,又∵e= = ,且 a2=b2+c2, a 5 x2 y2 解得:a= 5,c=1,∴椭圆 C 的标准方程为 + =1; 5 4 (2)① 由(1)知:B(0,-2),F1(-1,0),∴BF1:y=-2x-2 ………4 分 ………5 分

第 2 页 共 5 页

?x0=- 6t ? → → 设 M(t,-2t-2),由 PO = 6· OM 得:? ?y0=2 6(t+1) ?

………7 分

6t2 代入椭圆方程得: +6(t+1)2=1, 5 5 5 1 ∴36t2+60t+25=0,∴(6t+5)2=0, ∴t=- ,∴M(- ,- ) 6 6 3 2 2 ∴OM 的斜率为 ,即直线 OP 的斜率为 ; 5 5 y0 ② 由题意,PF1:y= (x+1),即 y0x-(x0+1)y+y0=0 x0+1 y0 y0 ∴d1= 2 ,同理可得:d2= 2 2 y0+(x0+1) y0+(x0-1)2 y0 y0 2 2 ∴ + = y0+(x0+1)2+ y0+(x0-1)2=PF1+PF2=2a= 2 5 d1 d2 ………9 分 ………10 分 ………11 分

………16 分

? y ? kx 20 ? ①【法二】设直线 OP 的方程为 y ? kx ,由 ? x 2 y 2 ,得 xP ? ………6 分 2 4 ? 5 k ? ? 1 ? 4 ?5 ? y ? kx ?2 由? 得 xM ? , ………8 分 k ?2 ? y ? ?2 x ? 2 2 → → 由 PO = 6· OM 得 xP ? ? 6 xM 解得: k ? ………10 分 5
1 1 y0 ②【法二】∵S△OPF1= PF1· d1= OF1· y0,∴PF1· d1=y0,∴ =PF1. 2 2 d1 y0 同理在△OPF2 中,有 =PF2. d2 y0 y0 ∴ + =PF1+PF2=2a= 2 5 . d1 d2 20. 解:(1)由题意可设椭圆 C 的方程为
? 1· 2a? b ? 2 3, ?2 ? 由题意知 ?a ? 2, ? 2 2 2 ?a ? b ? c , ?

………13 分

………16 分

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , F (c, 0) . a 2 b2

解得 b ? 3 , c ? 1 .

……3 分

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

……4 分

(2)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证明如下:由题意可设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2) (k ? 0) . 则点 D 坐标为 (2, 4k ) , BD 中点 E 的坐标为 (2, 2k ) .
第 3 页 共 5 页

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4
设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ?2 x0 ?

……6 分

16k 2 ? 12 . 3 ? 4k 2
……8 分

所以 x0 ?

6 ? 8k 2 12k , y0 ? k ( x0 ? 2) ? . 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k

因为点 F 坐标为 (1, 0) , ①当 k ? ?

3 1 时,点 P 的坐标为 (1, ? ) ,点 D 的坐标为 (2, ? 2) . 2 2

2 2 直线 PF ? x 轴,此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1与直线 PF 相切.……9 分

②当 k ? ?

1 y0 4k 时,则直线 PF 的斜率 k PF ? . ? 2 x0 ? 1 1 ? 4k 2 4k ( x ? 1) . 1 ? 4k 2

所以直线 PF 的方程为 y ?

点 E 到直线 PF 的距离 d ?

8k 4k ? 2k ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 16k 2 ?1 (1 ? 4k 2 ) 2
1 | BD | . 2

2k ? 8k 3 1 ? 4k 2 ? ? 2| k |. 1 ? 4k 2 |1 ? 4k 2 |

又因为 | BD |? 4 | k | ,所以 d ?

故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 综上得,当直线 AP 绕点 A 转动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. (3) 设点 P 的坐标为(x0,y0),l1,l2 的斜率分别为 k1,k2. 1 则 l1,l2 的方程分别为 l1:y-y0=k1(x-x0),l2:y-y0=k2(x-x0),且 k1k2= . 2 |2k1+y0-k1x0| 由 l1 与圆 C:(x-2)2+y2=2 相切得 = 2. k2 1+1
2 即[(2-x0)2-2]k2 1+2(2-x0)y0k1+y0-2=0. 2 同理可得[(2-x0)2-2]k2 2+2(2-x0)y0k2+y0-2=0.

……12 分

从而 k1,k2 是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y2 0-2=0 的两个实根.

……14 分

第 4 页 共 5 页

y2 1 0-2 于是 k1k2= = .① ?2-x0?2-2 2 联立解得 x0 ? 0或 ,

x0 2 y0 2 又 ? ?1② 4 3

8 5

所以满足条件的 P 点坐标为 0, 3 , 0, ? 3 , ? ? ,

?

??

?

?8 3 3? ?8 3 3 ? ? ?,? ? ,? 5 ? ? ?5 5 ? ?5 ?

……16 分

第 5 页 共 5 页


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