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线面垂直的性质定理


2015/12/10

掌握线面垂直的性质定理 ,并会运用

1

一、知识回顾 如果直线和这个平面内的任意一条 直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂 直.

1. 直线和平面垂直的定义?

注 :若 l ? ? , b ? ? 则l ?b.
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l
α

b

A

掌握线面垂直的性质定理 ,并会运用

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2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直,则该直线与此平面垂直。 图形表示 符号表示 m ? ?,n ? ? ? a ? m?n?O ?a ?? ? m ? a ? m , a ? n ? O n ?

线线垂直
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?

线面垂直
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关键:线不在多,相交则行
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二、新知探究
如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱 AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的 位置关系如何?它们彼此之间具有什么 位置关系? C1
D1
B1 C B
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A1 D A
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线面垂直的性质定理

垂直于同一平面的两直线互相平行.
图形语言:
a b

α
符号语言:

a ? ?,b ? ? ? a // b
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垂直于同一个平面的两条直线平行 反证法 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明: 假设 a与b不平行. 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴a∥b .
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否定结论b’
a b

α

正确推理
o

导出矛盾

肯定结论
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掌握线面垂直的性质定理 ,并会运用

垂直于同一个平面的两条直线平行 反证法 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明: 假设 a与b不平行. 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴a∥b .
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否定结论b’
a b

α

正确推理
o

导出矛盾

肯定结论
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直线与平面垂直的性质1:
如果一条直线垂直于一个平面,那么这 条直线垂直于面上任意直线.(定义)
a ??? 符号语言: ? b ???
图形语言:
a
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a?b
α

b

简述为:线面垂直 ? 线线垂直
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直线与平面垂直的性质2:
如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面,那么另一条也垂直于这个平面.
a / /b ? 符号语言: ? a ???
a b

b ??

图形语言:
?
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O
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直线与平面垂直的性质3:
a ??? 符号语言: ? b ?? ?
图形语言:
?

如果两条直线同时垂直于一个平面, 那么这两条直线平行.

a // b
a b

O

简述为:线面垂直 ? 线线平行
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三、理论迁移 例 : 如图,已知 ? ? ∩ ? ? l , CA ? ? 于点A,CB ? ? 于点B, a ? ? , a ? AB, 求证: a // l .
β B l A a C

α

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性质定理: a ⊥α , b ⊥α 1.类比探究:

a ∥b

变式探究

①交换“平行”与“垂直”

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性质定理: a ⊥α , b ⊥α 1.类比探究:

a ∥b

变式探究

①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ⊥α ? a ∥ b

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性质定理: a ⊥α , b ⊥α 1.类比探究:

a ∥b

变式探究

①把b⊥α换为b∥α则a与b? a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面”

b
l

a

α
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性质定理: a ⊥α , b ⊥α 1.类比探究:

a ∥b

变式探究

①把b⊥α换为b∥α则a与b? a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②②在①基础上,将线b换 成面β则a与β?

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性质定理: a ⊥α , b ⊥α 1.类比探究:

a ∥b

变式探究

①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , b ∥α a⊥b β β

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性质定理: a ⊥α , b ⊥α 1.类比探究:

a ∥b

变式探究

①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②在①基础上,将线b换成面β则a与β? a ∥ ⊥ a ⊥α , β α a β α β
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性质定理: a ⊥α , b ⊥α 1.类比探究:

a ∥b

变式探究

①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , β ∥α a ⊥β α β
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a
b
c
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性质定理: a ⊥α , b ⊥α 1.类比探究:

a ∥b

变式探究

①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , β ∥α a ⊥β

a
b
c
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2.逆向探究:

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α 交换“条件”与“结论” β

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性质定理: a ⊥α , b ⊥α 1.类比探究:

a ∥b

变式探究

①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , β ∥α a ⊥β

2.逆向探究:
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , b ∥α
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a⊥ b
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性质定理: a ⊥α , b ⊥α 1.类比探究:

a ∥b

变式探究

①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , β ∥α a ⊥β

a

b
α

2.逆向探究:
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , a ⊥ b
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b
α

a

b ∥α

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性质定理: a ⊥α , b ⊥α 1.类比探究:

a ∥b

变式探究

a
b

①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , β ∥α a ⊥β

α

b
α

a

2.逆向探究:
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , a ⊥ b

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b ∥α 或 b ? ?
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性质定理: a ⊥α , b ⊥α 1.类比探究:

a ∥b

变式探究

①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②交换“直线”与“平面” a ⊥α , β ∥α a ⊥β
α
β

a

2.逆向探究:
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , a ⊥ b ②a ⊥α , β ∥α

b // ?或b ? ?
a ⊥β
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随堂测试
1.判断下列命题是否正确: 正确的是:①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③平行于同一个平面的两条直线互相平行; ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.

2.若a,b表示直线, ? 表示平面,下列命题 正确的是 (3)(4) 。 (1)a ? ? , a ? b, 则b // ? (2)a // ? , a ? b, 则b ? ? (3)a // ? , b ? ? , 则b ? a (4)a ? ? , b ? ? , 则b ? a
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课堂练习:
1、判断下列命题是否正确;
(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行;(

(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行;(

√ √





(3)一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂 直,则这两条直线互相垂直。( ) 2、

b // ?或b ? ? 与α的位置关系_____________________
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√ 已知直线a、b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b
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小 结
1.知识方法
①线面垂直的性质定理及其应用 ③类比探究,逆向探究

2.数学思想
线面关系 转化 垂直关系 空间问题
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线线关系 平行关系 平面问题
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