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高一数学对数的运算性质


对数的运算性质

仁化县第二中学

复习上节内容

定义: 一般地,如果
的b次幂等于N, 就是
b

a?a ? 0, a ? 1?
,那么数 b叫做

a ?N

以a为底 N的对数,记作 loga N ? b a叫做对数的底数,N叫做真数。

复习上节内容 有关性质: ⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 )



loga 1 ? 0,

loga a ? 1,
loga N

⑶对数恒等式 课前练习: ⑴ ⑵ ⑶

a

? N , loga a ? b
b

log3 1 ? log3 3 ? log 3 27 ? 4 ln e ? lg100 ? 3 lg 2 ? lg 5 ? ?

对数的运算性质

如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

loga (MN ) ? loga M ? loga N ⑴

M log a ? log a M ? log a N ⑵ N n loga M ? n loga M (n ? R) ⑶
语言表达: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍

对数的运算性质

如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有: loga (MN ) ? loga M ? log a N ⑴

说明: 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
2) 有时可逆向运用公式

M log a ? log a M ? log a N ⑵ N n loga M ? n loga M (n ? R) ⑶

3)真数的取值必须是(0,+∞)
4)注意

loga (MN ) ≠ loga (M ? N ) ≠

loga M ? loga N
loga M ? loga N

讲解范例 例1 计算 (1) log2 (25 ? 47 ) 解 : log (25 ? 47 ) 2 (2) lg 5 100
5

? log2 25? log2 47 ? log2 25 ? log2 214
=5+14=19

1 2 ? lg10 解 : lg 100 5 2 ? lg10 5 2 ? 5

讲解范例 例2 用

loga x, loga y, loga z 表示下列各式:

x2 y xy (1)loga ; (2) loga 3 z z xy 解(1) log a ? log a ( xy ) ? log a z z ? loga x ? loga y ? loga z

解(2) log a

x

2 3

y z

?

log a ( x y ) ? log a z
2
1 2 1 3

1 2

1 3

? loga x 2 ? loga y ? loga z

1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3

讲解范例 解法一:

7 例3计算: (1)lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3
解法二:

7 7 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3 3 7 ? lg(2 ? 7) ? 2 lg 7 2 ? lg14 ? lg( ) ? lg 7 ? lg18 3 3 ? lg 7 ? lg(2 ? 32 ) 14? 7 ? lg 7 2 ? lg 2 ? lg 7 ? 2(lg 7 ? lg 3) ( ) ?18 3 ? lg 7 ? (lg 2 ? 2 lg 3) ? lg1 ? 0 ?0

提高练习:

? 求下列各式的值: ? (1)log26-log23 (2) lg5+lg2 (3)log53+log5 1 (4)log35-log315
6 ? 解(1) log26-log23 =log2 3 =log22 =1 3

? (2) lg5+lg2 = lg(5×2)=lg10=1 1 ? (3)原式=log5(3× )=log51=0
3

5 1 ? (4)原式= log3 15 = log3 = log33-1=-1 3

巩固练习: P60 .1.
提高练习:

1 ⑴ 若

lg x ? lg a ? 2lg b ? 3lg c, 则 x

? ______ c3

2 ab

⑵ ⑶

1 log 6 12 ? log 6 2
2 _____________

1 2 2 的值为______

log 2 8 ? 4 3 ? log 2 8 ? 4 3 ?

课堂小结:

对数的运算性质
1 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

M log a ? log a M ? log a N ⑵ Nn loga M ? n loga M (n ? R) ⑶

loga (MN ) ? loga M ? loga N ⑴

2 对数运算性质的功能主要有两个: 一是化复杂的真数(积或商的形式)为简单的真数; 二是将多个同底对数式的和差合为一个对数式。

课后作业:
㈠ P60 1 .2. 3.

证明:
证明:设

loga M ? n loga M
n

loga M ? p,

由对数的定义可以得:M


?a ,
p
n

M ?a
n

np

? loga M ? np

即证得

loga M ? nloga M(n ? R) ⑶
n

M ? log a M ? log a N 证明: log a N
证明:②设 loga M ? p, 由对数的定义可以得:M
p

loga N ? q,

?a , N ?a
p

q

M ? ∴ N
即证得

a p ?q M ?a ? log a ? p?q q N a
M log a ? log a M ? log a N ⑵ N

2.解方程

log4 (3x ?1) ? log4 ( x ?1) ? log4 ( x ? 3).
3x ? 1 ? ( x ? 1)(3 ? x)
(x>

解:原方程可化为

x ? x?2 ? 0
2

(x>

1 ) 3

1 ) 3

解得x ? 2或x ? ?1(舍去)

? 方程的解是x ? 2

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指数运算性质

a ?a ? a
m n m n n n

m? n

(m, n ? R)

(a ) ? a (m, n ? R)
mn

(ab) ? a ? b (n ? R)
n

;

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关,并放下插扣。大家回家后,各自收拾洗涮,依然还在东、西厢房里歇息了。20第百二二回 礼物有限巧搭配|(礼物有限巧 搭配,左邻右舍先看过;昨儿守夜太辛苦,美美补觉一下午。)看看时间尚早,耿老爹对妻子说:“他娘啊,俺看咱们今儿个 就说这些哇!都九年半了,好些话也不是一次就可以说完的啊!现在做午饭还早了一点儿,要不咱们喝点水,去憨子家和家成 哥家看看哇,顺便给他们送一袋儿大米去?对啦,还有一大袋莲籽呢,也分成四份,让大家都吃吃这个稀罕的东西!”郭氏长 长地呼出一口气,点点头说:“哦,俺总算对你们爷儿几个这些年来所经历的事儿有个大概的知晓了!你说得对,都九年半了, 积攒了多少话啊,怎么可能一次都说完呢。咱今儿个不再说了。英子也说得对,你们爷儿几个现在都好好儿地回来了,俺知足 了;而且啊,俺还多了这么好的一个老儿子,俺高兴着呢!”看父子几个都在点头,她又说:“这老话不是说了嘛,不吃苦中 苦,难为人上人!因此啊,你们受的那些个苦,就算是你们的另外一种收获哇。你们是要想活出个样子来的,那里有不受苦的 道理呢!这么着,水罐儿里有热水,谁要喝就自己去倒哇!对啦兰儿,把橱柜里的红糖拿出来!噢,英子,你不是说武昌镇上 的白娘娘给你们带回来了很贵重的礼物吗?娘想先看看呢!”耿正听娘如此说,赶快起身拉开炕储取出软皮箱,耿老爹也拉着 妻子站起来。耿正把软皮箱放在炕上,耿英过来开箱,神秘地说:“白娘娘和小青姐姐的礼物实在是太贵重了!俺保准你们都 会吃惊得合不上嘴,眨不了眼的!”说着打开软皮箱,先取出一个很大的牛皮纸包,说:“这是小青姐姐给俺积攒的188张好 看的绣花图样!”又打开那个大红布包袱,把五件绣品一件一件取出来展开,说:“这是白娘娘给娘绣的富贵牡丹和给妹妹绣 的五色甜菊;这是娘娘和小青姐姐给弟弟合绣的鸳鸯戏水;这两件是小青姐姐亲自给俺和哥哥绣的!”望着这五件精美绝伦的 绣品,耿老爹、郭氏、耿兰和尚武都惊呆了!不用耿英多做解释,耿老爹心里完全明白,善良的乔氏给妻子郭氏绣的那件配有 四只翩翩起舞美丽蝴蝶的富贵牡丹绣品,以及给小女儿耿兰绣的那件五彩缤纷五色甜菊绣品的含义!看着给惊呆得说不出话来 的郭氏、耿兰和尚武,他轻轻叹息一声,无限感慨地说:“你们白娘娘真是一个善良仁慈的人啊!”郭氏终于回过神儿来,一 件件看过五件绣品,赞叹不已地说:“要不是亲眼所见,俺真不敢相信,这世上还有这么好看的绣品!看看这花样儿,有多美! 再看看这做工,有多精细哇!这上面绣的,实在是比真得还要好看一百倍呢!”耿兰和尚武并不说话,只管目不暇接地反复欣 赏着!耿直虽然已经都见过了,但是当这些精美绝伦的绣品


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