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高二文科数学选修1-1学案_图文

大庆市东风中学数学(文科)学案

2013.5.1

编写:申占宝 校对:于高源

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1.1.1 命题及其关系学案(一) 编写:申占宝 校对:于高源 班级 姓名 学习目标:能说出一个语句是不是命题,会判断一个命题的真假,并会将一个命题改写成“若 p ,则 q ”的形式. 学习重点:命题的改写. 学习方法:学生自主学习,探究合作法 一、新旧知识连接: 阅读下列语句,你能判断它们的真假吗? (1)矩形的对角线相等; (2)3 ? 12 ; (3)3 ? 12 吗?(4)8 是 24 的约数; (5)两条直线相交,有且只有一个交点; (6)他是个高个子. 二、我能自学: 1.认识命题的概念: ①命题:可以 叫做命题. 也就是说,判 断一个语句是不是命题关键是看它是否符 合“ ”和“ ”这两个条件. 所以上述 6 个语句中,(1)(2)(4)(5)是命题. ②真命题: 叫做真命题; 假命题: 做假命题. 上述 5 个命题中,(2)是假命题,其它 4 个都是真命题. ③例 1:判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题? (1)空集是任何集 合的子集; (2)若整数 a 是素数,则 a 是奇数; (3)2 小于或等于 2; (4)对数函数是增函数吗? (5) 2x ? 15 ; (6)平面内不相交的两条直线一定平行; (7)明天下雨. 2. 将一个命题改写成“若 p ,则 q ”的形式: ①例 1 中的(2)就是一个“若 p ,则 q ”的命题形式,我们把其中的 p 叫做 ,q 叫 做 . ③例 2:将下列命题改写成“若 p ,则 q ”的形式. (1)两条直线相交有且只有一个交点;

(2)对顶角相等; (3)全等的两个三角形面积也相等. 3. 小结:命题概念的认识,会判断一个命题的真假,并会将命题改写“若 p ,则 q ”的形式. 三、达标训练:

1. 1.2 四种命题及其关系学案(二) 编写:申占宝 校对:于高源 班级 学习目标:能写出原命题的逆命题、否命题与逆否命题, 学习重点:四种命题的概念及相互关系. 一、新旧知识连接: 指出下列命题中的条件 与结论,并判断真假: (1)矩形的对角线互相垂直且平分; 条件: ;结论: . 二、我可以自学: 1. 阅读教材后写出下表中四种命题的形式:教材 P6 探究结论 原命题 逆命题 否命题

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逆否命题

①写出命题 “菱形的对角线互相垂直” 的逆命题、 否命题及逆否命题,并判断它们的真假.来源:Z。 xx。k.Com] ②例 1:类比①写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假: (1)同位角相等,两直线平行; (2)正弦函数是周期函数; (3)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ③讨论:写出原命题:“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”的逆命题、否命题、逆否命题,同时 判断出各自的真假间. ④总结③得出结论一: ;(教材 P7) 结论二: . 2 2 ⑤例 2 若 p ? q ? 2 ,则 p ? q ? 2 .(利用结论一来证明)
2

2. 小结:四种命题的概念及相互关系.
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三、达标训练: 1. 课堂练习:写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题,并判断它们的真假. (1)函数 y ? x 2 ? 3x ? 2 有两个零点; (2)若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ; (3)若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x, y 全为 0; (4)全等三角形一定是相似三角形; (5)相切两圆的连心线经过切点. 2. 课后作业

总结:从集合角度去理解命题:小充分大必要 三、达标训练: 课堂练习 四、课堂小结:1.充分条件的意义;2.必要条件的意义. 五、课后作业: 1.2 充要条件学案 编写:申占宝 校对:于高源 班级 学习目标:能写出简单命题条件的证明。 学习重点:掌握命题条件的充要性判断. 一、新旧知识连接:(阅读教材 P11) ⑴ “ a ? b ? c” 是 “ ? a ?b ?? 的 b ? c c ?? a ? ?? 0 ”

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条件. 反过来 “ ? a ? b ?? b ? c ?? c ? a ? ? 0 ”

1.2 充分条件和必要条件学案 编写:申占宝 校对:于高源 班级 学习目标:针对具体命题,能说出命题的充分条件、必要条件; 学习重点: 对命题条件的充分性、必要性的判断. 学习方法:师生共研讨、生生互助。 一、新旧知识连接: 2.四种命题及相互关系:(教材 P7 图 1.1-1) 3.请判断下列命题的真假: (1)若 x ? y ,则 x ? y ; (2)若 x ? y ,则 x ? y ;
2 2 2 2

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是“ a ? b ? c ”的 条件。 ⑵若 a、 b 都是实数, 从① ab ? 0 ; ② a ? b ? 0; ③ ab ? 0 ; ④ a ? b ? 0; ⑤ a 2 ? b2 ? 0 ; ⑥ a 2 ? b2 ? 0 中选出使 a、b 都不为 0 的充分条件是 . 二、例题赏析 1.要注意转换命题判定,培养思维的灵活性 例 1:已知 p: x ? y ? ?2 ;q:x、y 不都是 ?1 ,p 是 q 的什么条件? 分析:要考虑 p 是 q 的什么条件,就是判断“若 p 则 q”及“若 q 则 p”的真假性 从正面很难判断是,我们从它们的逆否命题来判断其真假性,“若 p 则 q”的逆否命题是“若 x、

y 都是 ?1 ,则 x ? y ? ?2 ”真的,“若 q 则 p”的逆否命题是“若 x ? y ? ?2 ,则 x、y 都是 ?1 ”
假的,故 p 是 q 的充分不必要条件. 注:当一个命题很难判断其真假性时,我们可以从其逆否命题来着手. 2 练习:已知 p: x ? 2 或 x ? ;q: x ? 2 或 x ? ?1 ,则 ?p 是 ?q 的什么条件? 3 2.要注意 充要条件的传递性,培养思维的敏捷性 例 2:若 M 是 N 的充分不必要条件,N 是 P 的充要条件,Q 是 P 的必要不充分条件,则 M 是 Q 的 什么条件? 分析:命题的充分必要性具有传递性 M ? N ? P ? Q 显然 M 是 Q 的充分不必要条件 3.充要性的求解是一种等价的转化
2

(3)若 x ? 1 ,则 x 2 ? 1 ;

(4)若 x ? 1 ,则 x ? 1 [
2

二、我能自学: 1.(阅读教材 P9)把下列命题改写成“ p ? q ”或“ p ? ? q ”的形式: ⑴若 a ? b ,则 ac ? bc ;⑵若 a ? b , 则 a ? c ? b ? c ; ②例题 1 说出下列命题中 P 是 q 的什么条件: 2 2 2 (1)P:若 x=1,q:则 x -4x+3=0;(2)p:若 x=y,q:则 x =y 2.(教材 P18-20 阅读材料)说出下列各题中 p 是 q 的什么条件: (1)命题 p:A={1,2},命题 q:B={1,3,5} 2 (2)命题 p:A={x|2x-1>0},命题 q: B={x|x -x-5>0}

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例 3:求关于 x 的一元二次不等式 ax2 ? 1 ? ax 于一切实数 x 都成立的充要条件 分析:求一个问 题的充要条件,就是把这个问题进行等价转化
?a ? 0 ? 由题可知等价于 a ? 0 或 ?a ? 0 ? a ? 0 或 0 ? a ? 4 ? 0 ? a ? 4 ?? ? 0 ?

4.充要性的证明,关键是理清题意,特别要认清条件与结论分别是什么 例 4:证明:对于 x、y ? R, xy ? 0 是 x2 ? y 2 ? 0 的必要不充分条件. 分析:要证明必要不充分条件,就是要证明两个,一个是必要条件,另一个是不充分条 件 必要性:对于 x、y ? R,如果 x2 ? y 2 ? 0 则 x ? 0, y ? 0 即 xy ? 0

学习目标:加深对“或”“且”“非”的含义的理解,能利用真值表判断复合命题的真假; 学习重点:判断复合命题真假的方法; 一、课前准备: 1.逻辑联结词有那些?简单命题: ,复合命题: 。 2.复合命题的构成形式是什么? 二、学习:、 问题 1: 判断下列复合命题的真假 (1)8≥7 (2)2 是偶数且 2 是质数; (3) ? 不是整数; 三、师生探究 1.“非 p”形式的复合命题真假:(阅读教材 P17) 例 1:写出下列命题的非,并判断真假: 2 2 (1)p:方程 x +1=0 有实数根 (2)p:存在一个实数 x,使得 x -9=0. 2 (3)p:对任意实数 x,均有 x -2x+1≥0; (4)p:等腰三角形两底角 相等 2.“p 且 q”形式的复合命题真假:(阅读教材 P14) 例 2:判断下列命题的真假: (1)正方形 ABCD 是矩形,且是菱形;(2)5 是 10 的约数且是 15 的约数 (3)5 是 10 的约数且是 8 的约数 (4)x2-5x=0 的根是自然数 3.“p 或 q”形式的复合命题真假:(阅读教材 P15) 例 3:判断下列命题的真假: (1)5 是 10 的约数或是 15 的约数;(2)5 是 12 的 约数或是 8 的约数; (3)5 是 12 的约数或是 15 的约数;(4)方程 x2-3x-4=0 的判别式大于或等于零 四、达标训练: 例 4:把下列命题写成 p 或 q 的形式,并判断出命题的真假: (1))4≥5 (2)对一切实数 x, x 2 ? x ? 1 ? 0

故 xy ? 0 是 x2 ? y 2 ? 0 的必要条件 不充分性:对于 x 、y ? R,如果 xy ? 0 ,如 x ? 0 , y ? 1 ,此时 x2 ? y 2 ? 0 故 xy ? 0 是 x2 ? y 2 ? 0 的不充分条件 综上所述:对于 x、y ? R, xy ? 0 是 x2 ? y 2 ? 0 的必要不充分条件.[来源:Zxxk.Com] 三、达标训练: (一)课堂训练 1.若命题甲是命题乙的充分不必要条件 ,命题丙是命题乙的必要非充分条件,命题丁是命题 丙的充要条件,那么:命题丁是命题甲的什么条件.(类比例 2) 2.对于实数 x、y,判断“x+y≠8”是“x≠2 或 y≠6”的什么条件.(类比例 1) 3.已知 ab ? 0 , 求证: a ? b ? 1的充要条件是: a3 ? b3 ? ab ? a2 ? b2 ? 0 .(类比例 4) (二)课后作业 1.3 简单的逻辑联结词(复合命题)学案

五、课后练习: 1.命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是(


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A.简单命题 B.非 p 形式的命题 C.p 或 q 形式的命题 D.p 且 q 的命题 2.如果命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,则下列错误的是( ) A.“p 且 q”是假命题 B.“p 或 q”是真命题 C.“非 p”是真命题 D.“非 q”是真命题 3.(1)如 果命题“p 或 q”和“非 p”都是真命题,则命题 q 的真假是_________。 (2)如果命题“p 且 q”和“非 p”都是假命题,则命题 q 的真假是_________。 4.分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题,并指出复合命题的真假. (1)5 和 7 是 30 的约数. (2)菱形的对角线互相垂直平分. (3)8x-5<2 无自然数解. 5.判断下列命题真假: (1)10≤8; (2)π 为无理数且为实数; (3) 2+2=5 或 3>2. (4) 若 A∩B= ? ,则 A= ? 或 B= ? . 6.已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负实根,q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围。

填一填:全称量词: 全称命题: 全称命题的符号表示: 全称命题真假的判断方法 你能否举出一些全称命题的例子? 试一试:判断下列全称命题的真假. (1)所有的素数都是奇数; (2) ? x ? R, x 2 ? 1 ? 1 ; (3)每一个无理数 x , x 2 也是无理数.

1.4 全称量词与存在量词教学案 编写:申占宝 校对:于高源 命题和特称命题的真假; 学习重点:正确判断全称命题和特称命题的真假. 一.学习:观察以下命题: (1)对任意 x ? R , x ? 3 ; (2)所有的正整数都是有理数; (3)若函数 f ( x) 对定义域 D 中的每一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,则 f ( x) 是偶函数; (4)所有有中国国籍的人都是黄种人. 问题 1.(1)这些命题中的量词有何特点? (2)上述 4 个命题,可以用同一种形式表示它们吗? 班级 姓名

(4) ?a, b ? x x ? m ? n 2 , m, n ? Q , a ? b ? x x ? m ? n 2 , m, n ? Q . 想一想:你是如何判断全称命题的真假的? 问题 2.下列命题中量词有何特点?与全称量词有何区别? (1)存在一个 x0 ? R, 使 2 x0 ? 1 ? 3 ; (2)至少有一个 x0 ? Z , x 0 能被 2 和 3 整除; (3)有些无理数的平方是无理数.[来源:学科网 ZXXK][来源:学.科.网 Z.X.X.K] 类比归纳: 存在量词 特称命题

?

?

?

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学习目标:能够用全称量词符号表示全称命题,能用存在量词符号表述特称命题;能判断全称

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特称命题的符号表示 特称命题真假的判断方法 练一练:判断下列特称命题的真假.

一定是全称命题. 4、设函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? m ,若对 ?x ? ?2, 4? , f ( x) ? 0 恒成立,求 m 的取值范围; 四.课后练习 1.下列命题中为全称命题的是( )

(1)有一个实数 x 0 ,使 x0 2 ? 2 x0 ? 3 ? 0 ; (2)存在两个相交平面垂直于同一平面; (3)有些整数只有两个正因数. 三.学习诊断: 1、用符号“ ? ” 、“ ? ”语言 表达下列命题 (1)自然数的平方不小于零 (2)存在一个实数,使 2 X ? X ? 1 ? 0
2

(A)有些圆内接三角形是等腰三角形 ;(B)存在一个实数与它的相反数的和不为 0; (C)所有矩形都有外接圆 ; (D)过 直线外一点有一条直线和已知直线平行. )

2.下列全称命题中真命题的个数是(

①末位是 0 的整数,可以被 3 整除;②对 ?x ? Z ,2 x 2 ? 1 为奇数. ③角平分线上的任意一点到这 个角的两边的距离相等; (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 )

3.下列特称命题中假命题 的个数是( ...

① ?x ? R, x ? 0 ;②有的菱形是正方形;③至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数. 2、判断下列命题的真假: (A) 0 (1)每个指数函数都是单调函数; (2)任何实数都有算术平方根; (3) ?x ? x | x是无理数 ,x 是无理数
2

(B) 1

(C) 2

(D) 3 )

4.命题“存在一个三角形,内角和不等于 180? ”的否定为(

(A)存在一个三角形,内角和等于 180? ;(B)所有三角形,内角和都等于 180? ; (C)所有三角形,内角和都不等于 180? ;(D)很多三角形,内角和不等于 180? . 5.用符号“ ? ”与“ ? ”表示含 有量词的命题“ p :已知二次函数 f ( x) ? a( x 2 ? 1) ? b( x ? 1) , 则存在实数 a, b ,使不等式 x ? f ( x) ? 6.教材 P28 A 组 5
5

?

?

(4) ?x0 ? R, x0 ? 0; 3、下列说法正确 吗? 因为对 ?x ? M , p( x) ? ?x ? M , p( x) ,反之则不成立.所以说全称命题是特称命题,特称命题不

1 2 ( x ? 1) 对任意实数 x 恒成立”. 2

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二、达标训练:

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姓名 学习目标: 1、能用自然语言和符号语言写出含有一个量词的命题的否定。 2、会在全称命题和特称命题的否定中,转换对应全称量词和存在量词。 3、掌握含有一个量词的命题及其命题的否定的真假的判断方法。 一、我参与学习: 探究 1: (全称命题的否定)试写出下列命题的否定: (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3) ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0.
2

1.4.3 含有一个量词的命题的否定学案 编写:申占宝 校对:于高源 班级

1、命题“对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是(
3 2

)
3 2

A:不存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

B:存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0 D:对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

C:存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

(4) ?x ? z, 2 x ? 1是奇数 。

2、命题“正多边形的内角都相等”的否定是( ) A:正多边形的内角都不相等 B:正多边形的内角不都相等 C:有的正多边形的内角不相等 D:非正多边形的内角不都相等 3、下列命题的否定是真命题的是( ) A:在 ?ABC 中存在 A ? B ,使 sin A ? sin B B:空间中任意两条没有公共点的直线都平行 C:任两个全等三角形的对应角都相等
2

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? 全称命题的否定: ?x ? M , p( x) 命题的否定,形式为________________,从而全称命题变成 了特称命题。 练习:(类比例 3)写出下列全称命题的否定,并判断它们的真假性。 (1) p : 直线与 x 轴都有交点 (2) p : 正方形都是菱形 (3) p : 梯形的对角线相等 探究 2:(特称命题的否定)试写出下列命题的否定: (1)有些实数的绝对值是正数 (2)某些平行四边形是菱形 (3) ?x0 ? R, x ? 0
2 0

D: ?x, y ? R, x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0
2 2

4、命题“至少有一个正实数满足方程 x ? 2(a ? 1) x ? 2a ? 6 ? 0 ”的否定是______________。 5、写出下列各命题的否定,并判断它们的真假 (1) p : 一切分数都是有理数; (2) p : 有些三角形是锐角三角形; (3)至少有一个整数,它既能被 2 整除,也能被 5 整除; (4)存在无理数 x , x 是无理数。 (5)存在实数 ? , ? ,使 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 三、课后练习:
2

(4)有些质数是奇数

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? 特称命题的否定: ?x0 ? M , p( x0 ) 命题的否定,形式为__________,从而 特称命题变成了全称命题。 练习:(类比例 4)写出下列特称命题的否定,并判断它们的真假。 (1) p : 存 在 一 个 三 角 形 , 它 的 内 角 和 大 于 180 (2) p : ?x ? R, x ? x ? x ? 2
?
2

(3) p : 有些菱形是正方形。

1. 2.1《椭圆及其标准方程》学案 2. 编写:申占宝 校对:于高源 班级 姓名 学习目标:会根据 条件写出椭圆的标准方程,能根据椭圆的标准方程写出焦点坐标、顶
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点坐标。 学习的重点:椭圆的标准方程 一、学习: 1.演示定义: 我们把 叫做椭圆, 这两个定点 F1、F2 叫做椭圆的 ,两个 焦点之间的距离 叫做椭圆的 ,通常用 2c (c>0) 表示,而这个常数通常用 2a 表示,椭圆 用集合表示为 。 问题(1)定义应注意哪几点? (2)定长和两个定点之间的距离大小还有哪些情况?.[ 2.椭圆的标准方程:焦点在 X 轴的椭圆的标准方程为: 。 思考:焦点在 Y 轴上椭圆的标准方程? . 3.小结:同学们完成下表 椭圆的定义 图 形

x 2 y2 2.如果方程 ? ? 1 表示焦点在 X 轴的椭圆,则实数 m 的取值范围是 4 m
3.求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1).a=4,b=1,焦点在 x 轴上. (2)a= 4,c= 15 ,焦点在坐标轴上



4.已知两定点 (-3, 0) , (3, 0) , 若点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 10 , 则点 P 的轨迹是 若点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 6 ,则点 P 的轨迹是 .



x2 y2 5.P 为椭圆 ? ? 1 上一点,P 到一个焦点的距离为 4,则 P 到另一个焦点的距离为 25 16
6.椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,过焦点 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,则 ?ABF2 的周长为 16 9
x 2 ? ( y ? 3) 2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 ,点

7.如果点 M(x,y)在运动过程中,总满足关系式: 标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 焦点位置的判断 M 的轨迹是什么曲线?写出它的方程.

8.已知△ABC 的一边长 BC ? 6 ,周长为 16,求顶点 A 的轨迹方程. 三、课堂小结: 1.椭圆的定义,应注意什 么问题?2.求椭圆的标准方程,应注意什么问题? 四、布置作业: 1.已知椭圆两个焦点 F1 (-2,0),F2(2,0),并且经过点 P ( ,? ) ,求它的标准方程 .

5 2

3 2

二、达标训练: 1.在椭圆 25 x ? 4 y ? 100 中,a=
2 2

,b=

,焦距是

焦点坐标是

,______.焦

2.椭圆的两个焦点 F1(-8,0),F2(8,0),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是 20,求此椭圆的标准方程. 2.2 椭圆的简单几何性质学案 编写:申占宝 校对:于高源 班级

点位于________轴上

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(3) 椭圆位于直线________和________所围成的________区域里. 教学目标:(1)通过对椭圆标准方程的讨 论,能说出椭圆的几何性质; (2)能够根据椭圆的标准方程写出焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图; 学习重点:椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图 一、新旧知识连接: 1.椭圆的定义: ,椭圆的焦点坐标 ,焦距 . 2.椭圆的标准方程 . 二、学习: 问题 1 方程中 x、y 的取值范围是什么? 2.对称性 复习关于 x 轴,y 轴,原点 对称的点的坐标之间的关系: 点(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为 ; 点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为 ; 点(x,y)关于原点对称的点的坐标为 ; 问题 2 在椭圆的标准方程中①以-y 代 y②以-x 代 x③同时以-x 代 x、以-y 代 y,你有什么 发现? 归纳提问:从上面三种情况看出,椭圆具有怎样的对称性? 椭圆的对称轴是什么?椭圆的对称中心是什么? 3.顶点 问题 3 怎样求曲线与 x 轴、y 轴的交点? 4.离心率 定义: 叫做椭圆的离心率;记为: ;取值范围: 。 问题 4 观察图形(教材 P39 思考),说明当离心率 e 变化时,椭圆形状是怎样随之变化的? 5.例题 : 求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图 形.(提问:怎样用描点法画出椭圆的图形呢?) 三、达标训练: 1、填空:已知椭圆的方程是 9x2+25y2=225, (1) 将其化为标准方程是_________________. (2) a=___,b=___,c=___.[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 椭圆的长轴、短轴长分别是____和____,离心率 e=_____,两个焦点分别是_______、______,四 个顶点分别是______、______、______、_______. 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程. (学生演板,教师点评) ⑴经过点 P ?2 2, 0 , Q 0, 5 ; ⑶焦距是 8 ,离心率等于 0.8 3 点 M ? x, y ? 与定点 F ? 4, 0 ? 的距 离和它到直线 l : x ? 迹. (教师分析——示范书写) 四、小结:焦点在 x 轴、y 轴上的椭圆的几何性质对比.

?

? ?

?

⑵长轴长是短轴长的 3 倍,且经过点 P ? 3, 0 ? ;

25 4 的距离之比是常数 , 求点 M 的轨 4 5

五、课后作业 课后思考: 1、椭圆上到焦点和中心距离最大和最小的点在什么地方? 2、点 M(x,y)与定点 F(c,0)的距离和它到定直线 l:x=2 的距离的比是常数 (a>c>0), 求点 M 轨迹,并判断曲线的形状。 2.2.1.双曲线及标准方程学案 编写:申占宝 校对:于高源 班级 姓名
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学习目标:能根据所给条件写出双曲线的标准方程,能由标准方程写出焦点、顶点坐标。 学习重点:双曲线的方程、焦点和顶点坐标。 一、新旧知识连接:椭圆的定义: 二、我参与学习: 问题 1 我们知道:与两个定点距离的和为非零常数(大于两个定点间的距离)的点的轨迹是 椭圆。那么,与两个定点距离的差的绝对值为非零常数的点的轨迹又是什么? 双曲线上的点 满足的集合: 。 ;椭圆的标准方程: 。

求点 M 的轨迹方程。 2.2.2 双曲线的几何性质学案 编写:申占宝 校对:于高源 班级 姓名 学习目标:(1)通过对双曲线标准方程的讨 论,能说出双曲线的几何性质; (2)能够根据双曲线的标准方程写出焦点、顶点坐标、离心率、渐近线方程,并能根据其性质画 图; 学习重点:双曲线的几何性质. 通过几何性质求双曲线方程并画图 一、新旧知识连接:双曲线的定义: 二、学习: ;双曲线标准方程: 。

问题 2 类比椭圆的定义,你能得出双曲线的定义吗?定义又应注意几点? 试一试:类比椭圆的方程得:焦点在 x 轴的双曲线标准方程: 焦点在 y 轴的双曲线的标准方程:
2 2



x2 y2 1.范围:类比椭圆求出双曲线 2 ? 2 ? 1 中 x, y 的取值范围? a b
2.双曲线

。 ,②

问题 3 已知双曲线的方程: 16 x ? 9 y ? 144 ①将其化为标准方程:

x2 y2 ? ? 1 的对称轴是: a2 b2

,对称中心:



a?

;b ?

;c ?

。 3.

二、达标训练: 1、求适合下列条件的双曲线的标准方程:

x2 y2 ? ? 1 的顶点为: a2 b2

,求顶点坐标的方法是



15 , 2) ; ①焦点在 x 轴上,a=4,b=3; ②焦点在 x 轴上,经过 (? 2, ? 3), ( 3
③焦点为(0,-6),(0,6),且经过点(2,-5); 2、已知双曲线方程: x ? 15 y ? 15 ,椭圆方程: 9 x ? 25 y ? 225 。则双曲线的焦点坐标
2 2
2 2

x2 y2 4.双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程是: a b
5、 6、双曲线的离心率是 三、达标训练: 1. 求双曲线的标准方程:

他们是如何确立的?(教材 P50,P55) 。

叫做等轴双曲线;等轴双曲线的渐近线是 ;取值范围:

为:

;椭圆的焦点坐标为:

,观察后发现:



3 探究:已知点 A(-5,0),B(5,0),直线 AM 与直线 BM 相交于点 M,且它们的斜率之积为

4 ,试 9

⑴实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上 ⑵焦距是 10,虚轴长是 8,焦点在 y 轴上;
9

大庆市东风中学数学(文科)学案

2013.5.1

编写:申占宝 校对:于高源

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⑶离心率 e ? 2 ,经过点 M ? ?5 , 3? ;
2 ?9 ? ⑷两条渐近线的方程是 y ? ? x ,经过点 M ? , ? 1? 。 3 ?2 ?

1、已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心率 为 .

2、求双曲线 9 y ? 16 x ? 144 的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程。
2 2

2、已知双曲线的中心在坐标原点,焦点 F1 , F2 在坐标轴上,离心率为 2 ,且过点 (4, ? 10) , (1)求双曲线方程; (2)若点 M (3, m) 在双曲线上,求证: MF1 ? MF2 ;[来源:学。 (3)求 ?F1MF2 的面积。 六、课后作业

3. 双曲线

x2 y2 x2 y2 的离心率为 ,双曲线 e ? ? ?1 的离心率为 e 2 ,则 e1 ? e2 的最小 ? ? 1 1 a2 b2 a2 b2

值是( ) A. 2 B.2
2 2

C. 2 2

D.4

2.3.1 抛物线及其标准方程学案
编写:申占宝 校对:于高源 班级 姓名

4.求与双曲线 4 x ? y ? 4 有共同渐近线,且过点 M (2, 2) 的双曲线的方程。

学习目标:掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程. 学习重点:抛物线的定义和标准方程,准线方程,焦点坐标。 一、新旧知识连接:椭圆、双曲线的定义;方程、准线、焦点、顶点。 二、我参与学习:(阅读教材 P56-59)

5. 求证:双曲线 四、雾里看花:

x2 y 2 x2 y2 ( )与双曲线 ? ? ? ? ? 1 有共同的渐近线。 ? ? 0 a 2 b2 a 2 b2

已知点 M(x,y)与 定点 F(c,o)的距离和它到定直线 l:x= 点 M 的轨迹。

a2 c 的距离的比是常数 (c ? a ? 0), 求 c a

1、

的轨迹叫做抛物线; 。

2、抛物线的标准方程是 三、达标训练:

c (双曲线第二定义:当点 M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e= (e>1) a
时,这个点的轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点,定直线叫双曲 线的准线,常数 e 是双曲线的 离心率.准线方程:x= ?

1. 顶点在原点,准线方程 y=2 的抛物线方程是( A、x =-4y
2


2

B、x =-8y
2

2

C、x =4y

2

D、x =8y )

a2 a2 x2 y2 a2 . 其中 x= 相应于双曲线 2 ? 2 ? 1 的右焦点 F(c,0);x=- 相 c c c a b

2.抛物线 y ? 4 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( A.

应于左焦点 F′(-c,0).) 五、课后训练:

17 16

B.

15 16

C.

7 8

D.0

10

大庆市东风中学数学(文科)学案

2013.5.1

编写:申占宝 校对:于高源

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3. 焦点 F(3,0)的抛物线的标准方程( A、y =12x
2

) D、x =-12y 。
2

三、达标训练: 1.抛物线 y=ax 的准线方程是 y=2,则 a 的值为( A、
2

B、y =-12x C、x =12y

2

2



4、焦点在直线 3x-4y-12=0 上的抛物线标准方程: 5 设双曲线

1 8 17 16

B、 ?
2

1 8

C、8

D、-8 )

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的离心率为 3 ,且它的一条准线与抛物线 y 2 ? 4 x 的准 2 a b


2.抛物线 y=4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( A、 B、
2

线重合,则此双曲线的方程为(

15 16

C、

7 8

D、0 )

x2 y 2 A. ? ?1 12 24

x2 y 2 B. ? ?1 48 96

x2 2 y 2 C. ? ?1 3 3

x2 y 2 D ? ? 1. 3 6

3.在抛物线 y =2px 上,横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则 P 的值为(

A、

6.根据下列条件,求抛物线的方程,并描点画出图形: (1)顶点在原点,对称轴是 x 轴,并且顶点与焦点的距离等于 6; (2)顶点在原点,对称轴是 y 轴,并经过点 p( ? 6, ? 3). 四、课后作业:教材 P64 B 组 2 P68 B 组 2

1 2

B、 1

C、2

D、4[来源:Z.xx.k.Co

2.若抛物线 A.1 B.2

上横坐标为 6 的点到焦点的距离为 8, 则焦点到准线的距离为 ( ) C.4 D.6

2.3.2 抛物线的几何性质学案 编写:申占宝 校对:于高源 班级 姓名 学习目标:会根据抛物线的几何性质确定抛物线的位置及基本量 p 。 学习重点:抛物线的范围、对称性、顶点和准线。 一、我能自学: 1、抛物线的离心率是 .2、阅读教材 P60,类比椭圆、双曲线说说抛物线具有那些性质?

6.若抛物线 标及抛物线方程. 四、课后作业:

上一点

到准线及对称轴的距离分别是 10 和 6,求

的横坐

3.1.1.2 变化率与导数的概念学案 编写:申占宝 校对:于高源 班级 姓名 学习目标:了解瞬时速度的定义,能够区分平均速度和瞬时速度.能求出简单函数在某一点的导 数(瞬时变化率) 学习重点:导数概念的形成,导数内涵的理解 一、自学: [问题 1] 一般地,函数 y ? f ( x), x1 , x2 是其定义域内不同的两点,那么函数的变化率可以用式
11

二、学习:思考下列问题: 问题 1 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点 M (2, ?2 2) 的抛物线会有几条,能 求出它的标准方程? 问题 2 如果过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6, 能求|AB|的值吗?

大庆市东风中学数学(文科)学案

2013.5.1

编写:申占宝 校对:于高源

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子 。习惯用

表示,我们把这个式子称为函数 f ( x) 从 x1 到 x2 的 来表示,即: 。(注:上式中 ?x 、 ?f 的 三、达标训练:(学生自练 ? 个别回答 ? 教师点评) 1.自变量 x 从 x 0 变到 x1 时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A、在区间[ x 0 , x1 ]上的平均变化率 C、在 x1 处的变化量 。
'

值可正、可负,但不能为 0, f ( x) 为常数时, ?f =0) [ 问题 2] 我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地,若物体的运动规律为 s ? f (t ) ,则物体在时刻 t 的瞬 时速度 v 就是物体在 t 到 t ? ?t 这段时间内,当_________时

?s 平均速度的极限,即 v ? lim =___________________ ?x ?0 ?t
[问题 3]函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是:

B、在 x 0 处的变化率 D、在区间[ x 0 , x1 ]上的导数

我们称它为 函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的___,记作 f ( x0 ) 或_____,即_________。 附注: ①导数即为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率; ②定义的变化形式: f
'

2、求 y ? x ? 2 在点 x=1 处的导数. 3、求函数 y ?
2

x 在 x ? 1处的导数。

4、已知函数 y ? f ( x) ,下列说法错误的是( A、 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 叫函数增量



?x ? = ? lim x ?0

f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) ?y ; ? lim ? x ? 0 (?x) ?x

f ( x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ' ? lim f ' ? x ? = lim ; f ? x ? = lim ; x ? x0 ( ?x ) x ? x0 ? ?x ?0 x ? x0 ? ?x
?x ? x ? x0 ,当 ?x ? 0 时, x ? x0 ,所以 f ?( x0 ) ? lim

B、

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 叫函数在[ x0 , x0 ? ?x ]上的平均变化率 ? ?x ?x
D、 f ( x) 在点 x 0 处的导数记为 f ?( x0 ) )

?x ?0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

C、 f ( x) 在点 x 0 处的导数记为 y ?
2

5、若质点 A 按规律 s ? 2t 运动,则在 t ? 3 秒的瞬时速度为( A、6 B、18 C、54
?x ?0

③求函数 y ? f ?x ? 在 x ? x0 处的导数步骤:“一差;二比;三极限” 。 [问题 3]求函数 f ( x) 在 x0 处导数三步法: ①求函数的增量: ②求平均变化率: ③取极限,得导数 f ( x0 ) ?
'

D、81 ) D、以上都 不对[来

6、设函数 f ( x) 可导,则 lim A、 f ?(1) 四、课后作业: 1、函数 y ? x ? 。 B、

f (1 ? ?x) ? f (1) =( 3?x
C、不存在

。 。

1 f ?(1) 3

1 在 x ? 1处的导数是______________ x

12

大庆市东风中学数学(文科)学案

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编写:申占宝 校对:于高源

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2、已知自由下落物体的运动方程是 s ?

1 2 gt ,(s 的单位是 m,t 的单位是 s),求: 2

到 t+Δ t 这段时间内,当Δ t→0 时平均速度的极限,即 v=Δ lim t→0 5.一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是

Δs = Δt =Δ lim x→0 Δf ,我们称它为函 Δx .

(1)物体在 t 0 到 t 0 ? ?t 这段时间内的平均速度; (2)物体在 t 0 时的瞬时速度; (3)物体在 t 0 =2s 到 t1 ? 2.1s 这段时间内的平均速度; (4)物体在 t ? 2s 时的瞬时速度。[来源:学_科_网]

数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x0,即 f′(x0)= 学习过程 1.平均变化率 [例 1]

1 3 求函数 y=x 在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率,并计算当 x0=1,Δ x= 时平均变化 2 率的值. [分析] 直接利用概念求平均变化率,先求出表达式,再直接代入数据就可以得出相应的平均 变化率.

3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题与导数概念
编写:申占宝 校对:于高源 班级 姓名 学习目标 1.知识与技能:理解函数在某点的平均变化率的概念并会求此变化率. 2.过程与方法:理解函数在 x0 处的瞬时变化率,理解导数的概念和定义. 学习重、难点 重点:函数在某一点的平均变化率,瞬时变化率、导数的概念. 难点:导数的概念的理解. 知识梳理 1.在高台跳水运动中,运动员在 t1≤t≤t2 这段时间里的位置为 s1≤s≤s2,则他的平均速度 为 . Δf 2.已知函数 y=f(x),令Δ x= ,Δ y= ,则当Δ x≠0 时,比值 = , Δx 称作函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率. 3.物体在某一时刻的速度称为 . 4.一般地,如果物体的运动规律是 s=s(t),那么物体在时刻 t 的瞬时速度 v,就是物体在 t

应用变式 1 某质点沿曲线运动的方程为 f(x)=-2x2+1(x 表示时间,f(x)表示位移),则该质点从 x =1 到 x=2 时的平均速度为 ( ) A.-4 B.-8 C.6 D.-6 2.瞬时变化率 1 2 [例 2] 以初速度 v0(v0>0)垂直上抛的物体,t 秒时的高度为 s(t)=v0t- gt ,求物体在时刻 2 t0 处的瞬时速度.

应用变式 2 一作直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s=3t-t2,求此物体在 t=2 时的瞬时速 度.

3.利用定义求函数某点处的导数 [例 3] 1 2 根据导数定义求函数 y=x + +5 在 x=2 处的导数.

x

13

大庆市东风中学数学(文科)学案

2013.5.1

编写:申占宝 校对:于高源

班级

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应用变式 3 求 y=f(x)= x ? 2 x ? 1在 x=1 处的导数.
3

[例 4]

设 f(x)在 x0 处可导,求Δ lim x→0

f(x0-Δ x)-f(x) 的值. Δx

一、选择题 1.在函数变化率的定义中,自变量的增量Δ x 满足( ) A.Δ x<0 B.Δ x>0 C.Δ x=0 D.Δ x≠0 2.函数在某一点的导数是( ) A.在该点的函数的增量与自变量的增量的比 B.一个函数 C.一个常数,不是变数 D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 1 2 3 3.在 x=1 附近,取Δ x=0.3,在四个函数①y=x②y=x ③y=x ④y= 中,平均变化率最大

x

课堂巩固训练 一、选择题 Δy 1.若函数 f(x)=2x -1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δ x,1+Δ y),则 等于( Δx A.4 B.4x C.4+2Δ x D.4+2(Δ x)2 2.如果质点 A 按规律 s=2t3 运动,则在 t=3 秒时的瞬时速度为 ( A.6 B.18 C.54 D.81 3.当自变 x0 变到 x1 时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( )
2

的是( ) A.④ B.③ C.② D.① 2 4.质点 M 的运动规律为 s=4t+4t ,则质点 M 在 t=t0 时的速度为( ) 2 A.4+4t0 B.0 C.8t0+4 D.4t0+4t0 1 5.函数 y=x+ 在 x=1 处的导数是( )

x

) )

A.在区间[ x0 , x1 ]上的平均变化率 C.在 x1 处的导数
2

B.在 x0 处的变化率 D.在区间[ x0 , x1 ]上的导数

4.已知 f(x)= x ? 3 x ,则 f′(0)= ( ) A.Δ x-3 B.(Δ x)2-3Δ x C.-3 D.0 二、填空题 5.已知函数 f(x)=ax+4,若 f′(1)=2,则 a 等于______. 6.球的半径从 1 增加到 2 时,球的体积平均膨胀率为____________. 三、解答题 7.枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动,如果它的加速度是 a=5?105m/s2,枪弹从 枪口射出所用的时间为 1.6?10-3s.求枪弹射出枪口时的瞬时速度.

课后强化作业

5 C.1 D.0 2 6.函数 y=f(x),当自变量 x 由 x0 改变到 x0+Δ x 时,Δ y=( ) A.f(x0+Δ x) B.f(x0)+Δ x C.f(x0)?Δ x D.f(x0+Δ x)-f(x0) 2 7.一个物体的运动方程是 s=3+t ,则物体在 t=2 时的瞬时速度为( ) A.3 B.4 C.5 D.7 f(x0+Δ x)-f(x0) 8.f(x)在 x=x0 处可导,则Δ lim ( ) x→0 Δx A.与 x0,Δ x 有关 B.仅与 x0 有关,而与Δ x 无关 C.仅与Δ x 有关,而与 x0 无关 D.与 x0,Δ x 均无关 2 9.设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,且有 f(x0+Δ x)-f(x0)=aΔ x+b(Δ x) (a,b 为常数), 则( ) A.f′(x)=a B.f′(x)=b C.f′(x0)=a D.f′(x0)=b f(a+3h)-f(a-h) 10.f(x)在 x=a 处可导,则lim 等于( ) h→0 2h 1 A.f′(a) B. f′(a) C.4f′(a) D.2f′(a) 2 二、填空题 f(x0+2Δ x)-f(x0) 11.f(x0)=0,f′(x0)=4,则Δ lim =________. x→0 Δx 12.某物体做匀速运动,其运动方程是 s=vt+b,则该物体在运动过程中其平均速度与任何时 刻的瞬时速度关系是________. A.2 B.
14

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2013.5.1

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13.设 x0∈(a,b),y=f(x)在 x0 处可导是 y=f(x)在(a,b)内可导的________条件. 2 14.一球沿斜面自由滚下,其运动方程是 S=t (S 的单位:m,t 的单位:s),则小球在 t=5 时的瞬时速度为______. 三、解答题 1 2 15.一物体作自由落体运动,已知 s=s(t)= gt .(1)计算 t 从 3 秒到 3.1 秒、3.01 秒,两段 2 内的平均速度;2)求 t=3 秒时的瞬时速度.

知识梳理 1.导数的几何意义 ①割线斜率与切线斜率 设函数 y=f(x)的图象如图所示,AB 是过点 A(x0,f(x0))与点 Δy B(x0+Δ x, f(x0+Δ x))的一条割线, 此割线的斜率是 = Δx

当点 B 沿曲线趋近于点 A 时,

16.若 f′(x)=A,求lim h→0

f(x+h)-f(x-2h) . h

17.求函数 y= x在 x=1 处的导数.

割线 AB 绕点 A 转动, 它的极限位置为直线 AD, 这条直线 AD 叫做此曲线在点 A 处的 . 于是, 当Δ x→0 时,割线 AB 的斜率无限趋近于过点 A 的切线 AD 的斜率 k,即 k= = ②导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的 .也就是说,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 .相应地,切线方程 为 . 2.函数的导数 学习过程 1.求割线的斜率 [例 1] 过曲线 y=f(x)= x 上两点 P(1,1)和 Q(1+Δ x,1+Δ y)作曲线的割线,求出当Δ x=0.1 时割线的斜率.
3

18.路灯距地面 8m,一个身高 1.6m 的人以 84m/min 的速度在地面上从路灯在 地面上的射影 C 沿某直线离开路灯,(1)求身影的长度 y 与人距路灯的距离 x 之间的关系式; (2)求人离开路灯第 10 秒时身影的瞬时变化率.

2.用定义求切线方程 1 3 4 已知曲线 C:y= x + .(1)求曲线 C 上的横坐标为 2 的点处的切线方程; 3 3 (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点? [例 2]

3.1.2 导数的几何意义 编写:申占宝 校对:于高源 班级

姓名

学习目标 1.知识与技能:了解导函数的概念,理解导数的几何意义. 2.过程与方法:会求导函数,根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 学习重、难点 重点:导数的几何意义. 难点:对导数几何意义的理解.

应用变式 1 已知曲线 y=2 x 上一点 A(1,2),则点 A 处的切线斜率等于 A.2 3.求切点坐标 B .4 C.6+6Δ x2

3

( D.6

)

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2013.5.1

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[例 3] 抛物线 y= x 在点 P 处的切线与直线 2x-y+4=0 平行,求 P 点的坐标及切线方程. 课堂巩固训练 一、选择题 1.曲线 y=-2 x +1 在点(0,1)处的切线的斜率是( 应用变式 2 若抛物线 y= x 与直线 2x-y+m=0 相切,求 m.
2

2

2

) D.不存在 ) π D.- 4

4.导数几何意义的应用 [例 4] 若抛物线 y=4 x 上的点 P 到直线 y=4x-5 的距离最短,求点 P 的坐标.
2

B.0 C.4 1 2 3 2.曲线 y= x -2 在点(1,- )处切线的倾斜角为( 2 2 π 5π A.1 B. C. 4 4

A.-4

3.若曲线 y=h(x)在点 P(a,h(a))处的切线方程为 2x+y+1=0,那么 ( ) A.h′(a)=0 B.h′(a)<0 C.h′(a)>0 D.h′(a)不确定 4.曲线 y= x 在点 P 处的切线斜率为 3,则点 P 的坐标为 应用变式 3 求抛物线 y=4 x 上的点到直线 y=4x-5 的距离的最小值. A.(-2,-8) 二、填空题 1 1 1 5.已知曲线 y= -1 上两点 A(2,- ),B(2+Δ x,- +Δ y),当Δ x=1 时,割线 AB 的斜 x 2 2 率为________. 1 2 6.P 是抛物线 y=x 上一点,若过点 P 的切线与直线 y=- x+1 垂直,则过点 P 的切线方程 2 为________. 三、解答题 1 7 7.求曲线 y= - x上一点 P(4,- )处的切线方程. x 4 B.(1,1),(-1,-1) C.(2,8)
2 3

( 1 1 D.(- ,- ) 2 8

)

[例 5]

曲线 y= x 在 x0=0 处的切线是否存在,若存在,求出切线的斜率和切线方程;若不

3

存在,请说明理由.

应用变式 4 4 已知曲线 y= 在点(1,4)处的切线与直线 l 平行且距离等于 17,则直线 l 的方程为(

x

)

A.4x-y+9=0 或 4x-y+25=0 C.4x+y+9=0 或 4x+y-25=0 [例 6]
3

B.4x-y+1=0 D.以上都不对

试求过点 M(1,1)且与曲线 y= x +1 相切的直线方程.

课后强化训练 一、选择题 3 1.曲线 y=x -3x 在点(2,2)的切线斜率是( ) A.9 B.6 C.-3

D.-1
16

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2013.5.1

编写:申占宝 校对:于高源

班级

姓名

1 3 7 2.曲线 y= x -2 在点(-1,- )处切线的倾斜角为( ) 3 3 A.30° B.45° C.135° D.60° 1 1 3.函数 y=- 在点( ,-2)处的切线方程是( ) x 2 A.y=4x B.y=4x-4 C.y=4(x+1) D.y=2x+4 4.如果曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 x+2y-3=0,那么( ) A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0 C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在 5.下列说法正确的是( ) A.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线 B.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则 f′(x0)必存在 C.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在 D.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在,则曲线在该点处就没有切线 f(1)-f(1-2x) 6.设 f(x)为可导函数且满足lim =-1,则过曲线 y=f(x)上点(1,f(1))处 x→0 2x 的切线斜率为( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 π 2 7.在曲线 y=x 上的点________处的倾斜角为 ( ) 4 1 1 1 1 A.(0,0) B.(2,4) C.( , ) D.( , ) 4 16 2 4 8.若函数 f(x)的导数为 f′(x)=-sinx, 则函数图像在点(4, f(4))处的切线的倾斜角为( ) A.90° B.0° C.锐角 D.钝角 3 9.曲线 y=x +x-2 在点 P0 处的切线平行于直线 y=4x-1,则点 P0 的坐标是( ) A.(0,1) B.(-1,-5) C.(1,0)或(-1,-4) D.(0,1)或(4,1) 2 10.设曲线 y=ax 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a 等于( ) 1 1 A.1 B. C.- D.-1 2 2 二、填空题 3 11.已知函数 f(x)=x +2,则 f′(2)=________. 2 12.曲线 y=x -3x 的一条切线的斜率为 1,则切点坐标为________. 3 13.曲线 y=x 在点(1,1)处的切线与 x 轴,x=2 所围成的三角形的面积为________. 3 14.曲线 y=x +x+1 在点(1,3)处的切线是________. 三、解答题 2 15.求曲线 y=x +3x+1 在点(1,5)处的切线的方程.

16.直线 l:y=x+a(a≠0)和曲线 C:y=x -x +1 相切.(1)求 a 的值;(2)求切点的坐标.

3

2

1 17.求过点(2,0)且与曲线 y= 相切的直线方程.

x

18.曲线 y=x -3x 上的点 P 处的切线平行于 x 轴,求点 P 的坐标.

2

3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式 编写:申占宝 校对:于高源 班级 姓名 学习目标 1.知识与技能:了解常数函数和幂函数的求导方法和规律,会求任意 y=xα (α ∈Q)的导数. 2.过程与方法:掌握基本初等函数的导数公式,并能利用这些公式求基本初等函数的导数. 学习重、难点 重点:常数函数、幂函数的导数 难点:由常见幂函数的求导公式发现规律,得到幂函数的求导公式. 知识梳理 1.若 f(x)=c,则 f′(x)= 2.若 f(x)=sinx,则 f′(x)= 3.若 f(x)= a ,则 f′(x)=
x

.若 f(x)= x (n∈N*),则 f′(x)= .若 f(x)=cosx,则 f′(x)= .若 f(x)= e ,则 f′(x)=
x

n

. .

.
17

大庆市东风中学数学(文科)学案
4. 若 f(x)=logax,则 f′(x)= 学习过程 1.导数公式的直接应用 [例 1] 求下列函数的导数. (1)y= a 2 (a 为常数). (2)y= x12 . (3)y=cosx.

2013.5.1
.

编写:申占宝 校对:于高源

班级

姓名

.若 f(x)=lnx,则 f′(x)=

一、选择题 1.函数 f(x)=0 的导数是 ( ) A.0 B.1 C.不存在 1 2 2.抛物线 y= x 在点(2,1)处的切线方程是( ) 4 A.x-y-1=0 B.x+y-3=0 C.x-y+1=0 1 3.已知函数 f(x)= ,则 f′(-2)=( )

D.不确定

D.x+y-1=0

x

应用变式 1 求下列函数的导数(1)y=

1

x

2

(2)y= 3 x

(3)y=2 (4)y=log2x

x

A.4 4.下列结论中不正确的是 A.若 y=3,则 y′=0

B.

1 4

2.求某一点处的导数 [例 2] 求函数 f(x)= 1

1 D.- 4 ( 1 1 B.若 y= ,则 y′=- x 2 x C.-4 D.若 y=3x,则 y′|x=1=3

)

x

在 x=1 处的导数.

1 C.若 y=- x,则 y′=- 2 x

应用变式 2 已知 f(x)=

1 1 ,且 f′(1)=- ,求 n. n 3 x

二、填空题 5.曲线 y=xn 在 x=2 处的导数为 12,则 n 等于________. 6.若函数 y=sint,则 y′|t=6π =________. 三、解答题 7.求抛物线 y= x 上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离.
2

3.利用导数求切线的斜率及方程 [例 3] 求过曲线 y=cosx 上点 P ?

?? 1 ? , ? 且与在这点的切线垂直的直线方程. ? 3 2?

应用变式 3 求曲线 y=3 x 的斜率等于 12 的切线方程.

2

课后强化训练 一、选择题 2 (1+Δ x) -1 1.lim 表示( ) Δ x→0 Δx 2 2 A.曲线 y=x 的斜率 B.曲线 y=x 在点(1,1)处的斜率 2 2 C.曲线 y=-x 的斜率 D.曲线 y=-x 在(1,-1)处的斜率 2π 2.若 y=cos ,则 y′=( ) 3

课堂巩固训练
18

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2013.5.1
1 D. 2

编写:申占宝 校对:于高源

班级

姓名

3 1 B.- C.0 2 2 3.下列命题中正确的是( ) ①若 f′(x)=cosx,则 f(x)=sinx②若 f′(x)=0,则 f(x)=1 ③若 f(x)=sinx,则 f′(x)=cosx A.① B.② C.③ 4.若 y=ln x,则其图象在 x=2 处的切线斜率是( ) A.- A.1 B.0 C.2

4 13. 在曲线 y= 2上求一点 P, 使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 135°, 则 P 点坐标为

x



D.①②③ D. 1 2

14.y=10 在(1,10)处切线的斜率为 . 三、解答题 3 15.已知曲线 C:y=x (1)求曲线 C 上点(1,1)处的切线方程(2)在(1)中的切线与曲线 C 是否还 有其它公共点?

x

5.已知直线 y=kx 是 y=ln x 的切线,则 k 的值为(
1

6.已知函数 f(x)= x 2 ,则 ? f ? ?? =( 1 7.y= 在点 A(1,1)处的切线方程是(

? ? 1 ?? ? ? 2 ??

?

)

16.求下列函数的导数(1)y=lnx (2)y=

1

x4

5 (3)y= x

5

) ) 17.已知点 P(-1,1),点 Q(2,4)是曲线 y=x 上两点,求与直线 PQ 平行的曲线 y=x 的切线方 程.
2 2

B.x-y+2=0 C.x+y+2=0 D.x-y-2=0 8.下列结论中正确的个数为( ) 1 1 2 x x ①y=ln2,则 y′= ②y= 2,则 y′|x=3=- ③y=2 ,则 y′=2 ln2 ④y=log2x, 2 x 27 1 则 y′= xln2 A.0 B.1 C.2 D.3 9.下列结论中不正确的是( ) 3 1 A.若 y=0,则 y′=0 B.若 y= ,则 y′=- 3 3

x A.x+y-2=0

18.求过曲线 y=sinx 上的点 P ?

?? ?4

,

2? ? 且与在这点处的切线垂直的直线方程. 2 ?

x

x x

3.2.2 导数的运算法则 编写:申占宝 校对:于高源 班级

姓名

C.若 y=- x,则 y′=- 2 x π 10.若 y=sinx,则 y′|x= =( ) 3 A.

1

D.若 y=3x ,则 y′=3x

3

2

1 1 3 B.- C. 2 2 2 二、填空题 11.曲线 y=lnx 与 x 轴交点处的切线方程是

D.- .

3 2

学习目标 能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数 学习重、难点 重点:导数的四则运算及其运用. 难点:导数的四则运算法则的推导. 知识梳理 1.设函数 f(x)、g(x)是可导函数,(f(x)±g(x))′= ;(f(x)?g(x))′= .



12.质点沿直线运动的路程与时间的关系是 s= 5 t ,则质点在 t=32 时的速度等于

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2013.5.1
a、b 的值.

编写:申占宝 校对:于高源

班级

姓名

? ? f ?x ?? 2.设函数 f(x)、g(x)是可导函数,且 g(x)≠0, ? ? = ? g ?x ? ?
学习过程 1.导数公式法则的直接应用 [例 1] 求下列函数的导数: 1 2 3 2 2 2 (1)y= ?x ? 1? ?x ? 1? ;(2)y= x sin x ;(3)y= + 2+ 3;(4)y=xtanx- . x x x cosx

应用变式 1 求下列函数的导数: 2 3 x x 2 (1)y= -2+ -3 (2)y=(2x +3)(3x-2) (3)y=x-sin ?cos x x 2 2

2.求导法则的灵活运用 [例 2] 求函数 y=sin +cos 的导数. 4 4
4

x

4

x

应用变式 2 求函数 y=-sin (1-2sin )的导数. 2 4 3.利用导数求有关参数 [例 3] 偶函数 f(x)= ax ? bx ? cx ? dx ? e 的图象过点 P(0,1), 且在 x=1 处的切线方程为 y
4 3 2

x

2

x

1 3 13 1 3 给出下列结论:①若 y= 3,则 y′=- 4;②若 y= x,则 y′= x;③若 y= 2, x x 3 x -3 则 y′=-2x ;④若 f(x)=3x,则 f′(1)=3,其中正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 课堂巩固训练 一、选择题 1.函数 y=2sinxcosx 的导数为 ( ) A.y′=cosx B.y′=2cos2x C.y′=2(sin2x-cos2x) D.y′=-sin2x 1 2.函数 f(x)= 3 的导数是( ) x +2x+1 2 2 2 1 3x +2 -3x -2 -3x A. 3 B. C. D. 2 3 2 3 2 3 2 (x +2x+1) (x +2x+1) (x +2x+1) (x +2x+1) 3.函数 y=(x-a)(x-b)在 x=a 处的导数为 ( ) A.ab B.-a(a-b) C.0 D.a-b 4.函数 y=x?lnx 的导数是 ( ) 1 A.x B. C.lnx+1 D.lnx+x [例 4]

x

二、填空题 5.函数 y= 2 x ? 3x ? 4 x ? 1 的导数为
3 2

6.函数 y=xsinx-cosx 的导数为__________________. 三、解答题 7.函数 f(x)= x ? x ? x ? 1 的图象上有两点 A(0,1)和 B(1,0),在区间(0,1)内求实数 a,使得函
3 2

=x-2,求 y=f(x)的解析式.

数 f(x)的图象在 x=a 处的切线平行于直线 AB.

应用变式 3 已知抛物线 y= ax ? bx ? 7 通过点(1,1),过点(1,1)的切线方程为 4x-y-3=0,求
2

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2013.5.1

编写:申占宝 校对:于高源

班级

姓名

课后强化作业 一、选择题 cosx 1.函数 y= 的导数是(

1-sinx 11.若函数 f(x)= ,则 f′(π )=

x

. . .

1 2 12.曲线 y= 和 y=x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是 )

x

x sinx xsinx+cosx A.- 2 B.-sinx C.- x x2 3 2 2.已知 f(x)=ax +3x +2,若 f′(-1)=4,则 a 的值是( )
16 13 C. 3 3 1-t 2 3.曲线运动方程为 s= 2 +2t ,则 t=2 时的速度为( A. B. 19 3 D. 10 3

D.-

xcosx+cosx x2

t

)

13.设 f(x)=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx,若已知 f′(x)=xcosx,则 f(x)= 2x 14.设 f(x)=lna (a>0 且 a≠1),则 f′(1)= . 三、解答题 15.求下列函数的导数. x 1+ x 1- x lnx+2 3 2 (1)f(x)=(x +1)(2x +8x-5);(2) + ;(3)f(x)= . x2 1- x 1+ x

A.4 B.8 C.10 D.12 3 2 4.函数 y=(2+x ) 的导数为( ) 5 2 3 3 2 A.6x +12x B.4+2x C.2(2+x ) 5.下列函数在点 x=0 处没有切线的是( ) 1 2 A.y=3x +cosx B.y=xsinx C.y= +2x

D.2(2+x )?3x D.y= 1 cosx 16.已知 f(x)=x +ax+b,g(x)=x +cx+d,又 f(2x+1)=4g(x),且 f′(x)=g′(x),f(5) =30,求 g(4).
2 2

3

x

?? ? ? x ? 的导数为( ) ?4 ? ?? ? ?? ? ?? ? A.-cos ? ? x ? B.cos ? ? x ? C.-sin ? ? x ? ?4 ? ?4 ? ?4 ?
6.函数 y=sin ?

D.-sin ?

?? ? ? x? ?4 ?

7.已知函数 f(x)在 x=x0 处可导,函数 g(x)在 x=x0 处不可导,则 F(x)=f(x)±g(x)在 x=x0 处( ) A.可导 B.不可导 C.不一定可导 D.不能确定 -5 8.(x )′=( ) 1 -6 1 -4 -6 4 A.- x B. x C.-5x D.-5x 5 5 2 9.函数 y=3x(x +2)的导数是( ) 2 2 2 2 A.3x +6 B.6x C.9x +6 D.6x +6 10.已知函数 f(x)在 x=1 处的导数为 3,则 f(x)的解析式可能为( ) 2 2 A.f(x)=(x-1) +3(x-1) B.f(x)=2(x-1) C.f(x)=2(x-1) D.f(x)=x-1 二、填空题

1 3 a 2 17.(2010?湖北文,21)设函数 f(x)= x - x +bx+c,其中 a>0,曲线 y=f(x)在点 P(0, 3 2 f(0))处的切线方程为 y=1.求 b,c 的值.

18.已知函数 f(x)=2x +ax 与 g(x)=bx +c 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x)的表达式.

3

2

3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数 编写:申占宝 校对:于高源 班级

姓名
21

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2013.5.1

编写:申占宝 校对:于高源

班级

姓名

学习目标 1.知识与技能:结合实例,借助几何直观发现函数的单调性与导数的关系. 2.过程与方法:能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 学习重、难点 重点:利用求导的方法判断函数的单调性. 难点:函数的导数与单调性的关系. 知识梳理 1.设函数 y=f(x)在区间(a,b)内可导, (1)如果在区间(a,b)内,f′(x)≥0,则 f(x)在此区间是 的; (2)如果在区间(a,b)内,f′(x)≤0,则 f(x)在此区间内是 的. 2.如果函数 y=f(x)在 x 的某个开区间内,总有 f′(x)>0,则 f(x)在这个区间上严格增加, 这时该函数在这个区间为 ; 如果函数当自变量 x 在某区间上, 总有 f′(x)<0, 则 f(x) 在这个区间为 . 学习过程 1.用导数求函数的单调区间 [例 1] 求下列函数的单调区间 (1)f(x)= x ? 3x ? 1 (2)f(x)=x+ (b>0)
3

3.已知函数的单调性,确定参数的取值范围 1 3 1 2 [例 3] 若函数 f(x)= x - ax +(a-1)x+1 在区间(1,4)内单调递减, 在(6, +∞)上单调递 3 2 增,试求 a 的范围.

应用变式 3 1 3 1 2 已知 f(x)= x + ax +ax-2(a∈R).若函数 f(x)在(-∞,+∞)上为单调递增函数,求 3 2 a 的取值范围.

b x

[例 4] 已知函数 f(x)= 2a ? x ,x∈(0,1],a>0,若 f(x)在(0,1]上单调递增,求 a 的取值范围.
x 3

应用变式 1 求下列函数的单调区间: (1)f(x)= x ? 3x ? 9 x
3 2

(2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π )

2.利用导数证明不等式 [例 2] 已知 x>1,求证 x>lnx.

课堂巩固训练 一、选择题 1.函数 f(x)=2x-sinx 在(-∞,+∞)上 ( ) A.是增函数 B.是减函数 C.在(0,+∞)上增,在(-∞,0)上增 D.在(0,+∞)上减,在(-∞,0)上增 2.函数 y=xlnx 在区间(0,1)上是 ( ) 1 1 A.单调增函数 B.单调减函数 C.在(0, )上是减函数,在( ,1)上是增函数

e

e

应用变式 2 已知:x>0,求证:x>sinx.
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1 1 D.在(0, )上是增函数,在( ,1)上是减函数

2013.5.1
? ?

编写:申占宝 校对:于高源

班级

姓名

e

e

C. ? ? ? ,?

??

3.若在区间(a,b)内有 f′(x)>0,且 f(a) ≥0,则在(a,b)内有 ( ) A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)=0 D.不能确定 4.在下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( ) A.sin2x 二、填空题 5.函数 f(x)= x ? x 的增区间是
3 2

?? ? ? 和 ? ,? ? 2? ?2 ?
3

D. ? ?

? ? ? ?? ? ,0 ? 和 ? , ? ? ? 2 ? ?2 ?
) C.a<2

5.函数 f(x)=ax -x 在 R 上为减函数,则( A.a≤0 B.a<1

B. xe

x

C.3 x ? x
3

D.-x+ln(1+x)



,减区间是

. .

6.已知函数 y= ax ? 2 x ? 3 在(-1,+∞)上是减函数,则 a 的取值范围是 三、解答题 7.已知函数 f(x)= x ? ax ? 8 的单调递减区间为(-5,5),求函数 f(x)的递增区间.
3

1 D.a≤ 3 3 6.已知 a>0,函数 f(x)=-x +ax 在[1,+∞)上是单调减函数,则 a 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.设 f(x)在(a,b)内可导,则 f′(x)<0 是 f(x)在(a,b)上单调递减的( ) A.充分不必要条件你 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 8.若函数 y=x -2bx+6 在(2,8)内是增函数,则( ) A.b≤2 B.b<2 C.b≥2 D.b>2 9.(2009?湖南文,7)若函数 y=f(x)的导函数 在区间 [ a , b ] 上是增函数,则函数 y=f(x)在 ... 区间[a,b]上的图象可能是( )

课后强化作业 一、选择题 3 2 1.设 f(x)=ax +bx +cx+d(a>0),则 f(x)为增函数的一个充分条件是( ) 2 2 A.b -4ac>0 B.b>0,c>0 内部 C.b=0,c>0 D.b -3ac>0 2 2.函数 f(x)=2x -lnx 的单调递增区间是( ) 1 2 1 1 1 A.(0, ) B.(0, ) C.( ,+∞) D.(- ,0)及(0, ) 2 4 2 2 2 x 3.(2009?广东文,8)函数 f(x)=(x-3)e 的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 4.函数 y=xsinx+cosx,x∈(-π ,π )的单调增区间是( )

10.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象可能 为( )

?? ? ?? ? A. ? ? ? ,? ? 和 ? 0, ? 2? ? 2? ?

? ? ? ? ?? B. ? ? ,0 ? 和 ? 0, ? ? 2 ? ? 2?

二、填空题 3 2 11.函数 y=x -x -x 的单调递增区间为 . 3 2 12.若函数 y=x -ax +4 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是 3 2 13.若函数 f(x)=x +x +mx+1 是 R 上的单调函数,则 m 的取值范围是 4 3 14.若函数 y=- x +ax 有三个单调区间,则 a 的取值范围 . 3 三、解答题

. .

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bx
2

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班级

姓名

15.讨论函数 f(x)=

x -1

(-1<x<1,b≠0)的单调性.

难点:函数的极值与导数的关系. 知识梳理 1.已知函数 y=f(x)及其定义域内一点 x.对于包含 x0 在内的开区间内的所有点 x,如果都有 ,则称函数 f(x)在点 x0 处取得 ,并把 x0 称为函数 f(x)的一个 ;如果都

16.已知曲线 y=x +3x +6x-10,点 P(x,y)在该曲线上移动,在 P 点处的切线设为 l. (1)求证:此函数在 R 上单调递增;(2)求 l 的斜率的范围.

3

2



,则称函数 f(x)在点 x0 处取得

, 并 把 x0 称 为 函 数 f(x) 的 一

个 .极大值与极小值统称为 ,极大值点与极小值点统称为 . 2.假设函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条 ,该函数在[a,b]上一定能够取 得 与 ,该函数在(a,b)内是 ,该函数的最值必在 取得. 17.已知向量 a=(x ,x+1),b=(1-x,t),若函数 f(x)=a?b 在区间(-1,1)上是增函数, 求 t 的取值范围.
2

3.当函数 f(x)在点 x0 处连续时,判断 f( x0 )是否存在极大(小)值的方法是: (1)如果在 x0 附近的左侧 (2)如果在 x0 附近的左侧 ,右侧 ,右侧 ,那么 f( x0 )是极 ,那么 f( x0 )是极 值; 值;

18.设函数 f(x)=(ax -bx)e (e 为自然对数的底数)的图象与直线 ex+y=0 相切于点 A, 且点 A 的横坐标为 1.(1)求 a,b 的值;(2)求函数 f(x)的单调区间,并指出在每个区间上的增减性.

2

x

(3)如果 f′(x)在点 x0 的左右两侧符号不变,则 f( x0 ) 学习过程 1.利用导数求函数的极值 [例 1] 求函数 y= 3x ? x ? 1 的极值.
3

函数 f(x)的极值.

3.3.2 函数的极值与导数,函数的最大(小)值与导数 编写:申占宝 校对:于高源 班级 姓名 学习目标 1.知识与技能:结合函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.过程与方法:会用导数求不超过三次的多项式函数的极值,以及在给定区间上求最大值、 最小值. 学习重、难点 重点:利用导数的知识求函数的极值. 应用变式 1 函数 y= x ? 3x ? 9 x (-2<x<2)有
3 2

(

)

A.极大值为 5,极小值为-27 B.极大值为 5,极小值为-11 C.极大值为 5,无极小值 D.极大值为-27,无极小值 2.利用导数求函数的最大值与最小值
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班级

姓名

[例 2] 求函数 f(x)= x ? 2 x ? 1在区间[-1,2]上的最大值与最小值.
3 2

常数.(1)试确定 a,b 的值;(2)若对任意 x>0,不等式 f(x)≥ ? 2c 恒成立,求 c 的取值范围.
2

应用变式 2 求函数 f(x)= x ? 8x ? 2 在[-1,3]上的最大值与最小值.
4 2

[例 5] 已知 f(x)= x ? 3ax ? bx ? a 在 x=-1 时有极值 0,求常数 a、b 的值.
3 2 2

3.求函数极值的逆向问题 [例 3] 已知 f(x)= ax ? bx ? cx (a≠0)在 x=±1 时取得极值,且 f(1)=-1,
3 2

(1)试求常数 a、b、c 的值; (2)试判断 x=±1 时函数取得极小值还是极大值,并说明理由.

课堂巩固训练 一、选择题 1.若函数 y=f(x)是定义在 R 上的可导函数,则 f′(x)=0 是 x0 为函数 y=f(x)的极值点( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 2.函数 f(x)=x -x+1 在区间[-3,0]上的最值为 ( ) 3 A.最大值为 13,最小值为 B.最大值为 1,最小值为-17 4 C.最大值为 3,最小值为-17 D.最大值为 9,最小值为-19 3.函数 y= x +1 的极大值是 A.1
3 3

应用变式 3 设 a>0,(1)证明 f(x)=

ax+b 2 取得极大值和极小值的点各有 1 个; 1+x (2)当极大值为 1,极小值为-1 时,求 a 和 b 的值.

( C.2

) D.不存在 ( ) D.1 .

B.0
2

4.y=f(x)= 2 x ? 3x ? a 的极大值是 6,那么 a 等于 A.6 二、填空题 B .0 C.5

5.(2009?辽宁文,15)若函数 f(x)= [例 4] 已知函数 f(x)= ax ln x ? bx ? c (x>0)在 x=1 处取得极值-3-c,其中 a、b、c 为
4 4

x2+a 在 x=1 处取极值,则 a= x+1

6.函数 y=x?ex 的最小值为________.
25

大庆市东风中学数学(文科)学案
三、解答题

2013.5.1

编写:申占宝 校对:于高源

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1 7.设 y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当 x= 时,f(x)的极小值为-1,求出函数 2 f(x)的解析式.

课后强化作业 一、选择题 1.设 x0 为 f(x)的极值点,则下列说法正确的是( ) A.必有 f′(x0)=0 B.f′(x0)不存在 C.f′(x0)=0 或 f′(x0)不存在 D.f′(x0)存在但可能不为 0 2.对于可导函数,有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 3 3.函数 y=2-x -x 的极值情况是( ) A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既无极大值也无极小值 D.既有极大值也有极小值 4. 函数 f(x)的定义域为开区间(a, b), 导函数 f′(x)在(a, b)内的图象如图所示, 则函数 f(x) 在开区间(a,b)内有极小值点( )

2 3 2 2 3 2 3 B. C. D. 9 9 9 8 3 2 8.已知函数 f(x)=x -px -qx 的图像与 x 轴切于(1,0)点,则函数 f(x)的极值是( ) 4 4 A.极大值为 ,极小值为 0 B.极大值为 0,极小值为 27 27 4 4 C.极大值为 0,极小值为- D.极大值为- ,极小值为 0 27 27 2 9.已知函数 y=|x -3x+2|,则( ) A.y 有极小值,但无极大值 B.y 有极小值 0,但无极大值 1 1 C.y 有极小值 0,极大值 D.y 有极大值 ,但无极大值 4 4 2 10.设 f(x)=x(ax +bx+c)(a≠0)在 x=1 和 x=-1 处均有极值,则下列点中一定在 x 轴上 的是( ) A.(a,b) B.(a,c) C.(b,c) D.(a+b,c) 二、填空题 2x 11.函数 y= 2 的极大值为____________,极小值为____________. x +1 3 12.函数 y=x -6x+a 的极大值为____________,极小值为____________. 3 13.函数 y=x-x (x∈[0,2])的最小值是________. 2 14.已知函数 f(x)=x(x-c) 在 x=2 处取极大值,则常数 c 的值为________. 三、解答题 3 2 15.已知函数 f(x)=x -3x -9x+11. (1)写出函数的递减区间;(2)讨论函数的极大值或极小值,如有试写出极值. A.

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.下列命题:①一个函数的极大值总比极小值大;②可导函数导数为 0 的点不一定是极值点; ③一个函数的极大值可以比最大值大;④一个函数的极值点可在其不可导点处达到,其中正确 命题的序号是( ) A.①④ B.②④ C.①② D.③④ 6.函数 y=|x-1|,下列结论中正确的是( ) A.y 有极小值 0,且 0 也是最小值 B.y 有最小值 0,但 0 不是极小值 C.y 有极小值 0,但不是最小值 D.因为 y 在 x=1 处不可导,所以 0 既非最小值也非极值 2 7.函数 f(x)=x(1-x )在[0,1]上的最大值为( )

16.求下列函数的最值 (1)f(x)=3x-x (- 3≤x≤3);
3

(2)f(x)=sin2x-x ? ?

?? ? ? ? x? ?. 2? ? 2

17.已知 a∈R,讨论函数 f(x)=e (x +ax+a+1)的极值点的个数.
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x

2

大庆市东风中学数学(文科)学案

2013.5.1

编写:申占宝 校对:于高源

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应用变式 1 已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y=4-x2 在 x 轴上方的 曲线上,求这个矩形面积最大时的长和宽. 18.(2010?江西理,19)设函数 f(x)=lnx+ln(2-x)-ax(a>0). 1 (提示:[ln(2-x)]′=- )(1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)在(0,1]上 的 2-x 1 最大值为 ,求 a 的值. 2 2.利用导数解决几何中的问题 [例 2] 将一段长为 100cm 的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆,问如何截法使正 方形与圆面积之和最小? 3.4 生活中的优化问题举例 编写:申占宝 校对:于高源 班级

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学习目标 1.知识与技能:了解导数在实际问题中的应用,对给出的实际问题,如使利润最大、效率最 高、用料最省等问题,体会导数在解决实际问题中的作用. 2.过程与方法:能利用导数求出某些特殊问题的最值. 学习重、难点 重点:利用导数知识解决实际中的最优化问题. 难点:将实际问题转化为数学问题,建立函数模型. 知识梳理 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为 . 学习过程 1.面积、容积最大问题 [例 1] 在边长为 60cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做 成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?

应用变式 2 已知圆柱的表面积为定值 S,求当圆柱的容积 V 最大时圆柱的高 h 的值.

3.获利最大 [例 3] 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆, 出厂价为 13 万元/辆, 年销售量为 5000 辆,本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每 辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.7x,年销售量也相应增 加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)?年销售量.

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大庆市东风中学数学(文科)学案

2013.5.1

编写:申占宝 校对:于高源

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应用变式 3 某厂生产某种电子元件,如果生产出一件正品,可获利 200 元,如果生产出一件次 3x 品, 则损失 100 元. 已知该厂制造电子元件过程中, 次品率 p 与日产量 x 的函数关系是: p= 4x+32 (x∈N+).

1 ? ?400x- x2 (0≤x≤400) 2 总收益 R 与年产量 x 的关系是 R(x)=? ? ?80000 (x>400)

,则总利润最大时,每年

生产的产品是 ( ) A.100 B.150 C.200 D.300 4.设底为正三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长为 ( 3 3 3 A. V B. 2V C. 4V 二、填空题 5.面积为 S 的一切矩形中,其周长最小的是________. 6.函数 f(x)= x (2 ? x) 的单调递减区间是________.
2

)

3 D.2 V

[例 4] 甲、乙两地相距 s 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/时,已知 汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米/时) 的平方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

三、解答题 7.用边长为 120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把 四边翻转 90° 角,再焊接成水箱.问:水箱底边的长取多少时,水箱容积最大?最大容积是多 少?

课堂巩固训练 一、选择题 1.三次函数当 x=1 时,有极大值 4;当 x=3 时,有极小值 0,且函数过原点,则此函数是( A.y= x ? 6 x ? 9 x B.y= x ? 6 x ? 9 x C.y= x ? 6 x ? 9 x
3 2 3 2 3 2 3 2

)

D.y= x ? 6 x ? 9 x

2.函数 f(x)=x -3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则(

) 1 A.0<b<1 B.b<1 C.b>0 D.b< 2 3.某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元,已知

3

课后强化作业 一、选择题 1.将 8 分解为两个非负数之和,使其立方之和为最小,则分法为( ) A.2 和 6 B.4 和 4 C.3 和 5 D.以上都不对 2?60-x? 2.某箱子的容积与底面边长的关系为 V(x)=x ? ?(0<x<60),则当箱子的容积最大时,箱 ? 2 ? 子底面边长为( ) A.30 B.40 C.50 D.以上都不正确 3.用边长为 48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小 正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边 长为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 4.内接于半径为 R 的球且体积最大的圆锥的高为( )
28

大庆市东风中学数学(文科)学案

2013.5.1

编写:申占宝 校对:于高源

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4 3 C. R D. R 3 4 5.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积为最大,则高为( ) 3 10 3 16 3 20 3 A. cm B. cm C. cm D. cm 3 3 3 3 6.圆柱形金属饮料罐的容积一定时,为了使所用材料最省,它的高与底半径应为( A.h=2R B.h=R C.h= 2R D.h= 2R 7.以长为 10 的线段 AB 为直径画半圆,则它的内接矩形面积的最大值为( ) A.10 B.15 C.25 D.50 8.设圆柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面半径为( ) A.R B.2R 3 A. V B.

16.如图,水渠横断面为等腰梯形,水的横断面面积为 S,水面的高为 h,问侧面与地面成多 大角度时,才能使横断面被水浸湿的长度最小?

)

3 V 3 V 3 C. 4V D.2 π 2π 9.福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时时,原油 1 3 2 温度(单位: ℃)为 f(x)= x -x +8(0≤x≤5), 那么, 原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) 3 20 A.8 B. C.-1 D.-8 3 10.若一球的半径为 r,作内接于球的圆柱,则其圆柱侧面积最大为( ) 1 2 2 2 2 A.2π r B.π r C.4π r D. π r 2 二、填空题 11.把长为 60cm 的铁丝围成矩形,长为________,宽为________时,矩形的面积最大. 12.将长为 l 的铁丝剪成 2 段,各围成长与宽之比为 2 ? 1 及 3 ? 2 的矩形,则面积之和的最 小值为________. 13.做一个容积为 256 的方底无盖水箱,它的高为________时最省料. 14.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π ,且用料最小,则圆柱的底面半径为___. 三、解答题 15.某公司规定:对于小于或等于 150 件的订购合同,每件售价为 200 元,对于多于 150 件的 订购合同,每超过一件,则每件的售价比原来减少 1 元,试问订购多少件的合同将会使公司的 收益最大?

17.某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为 2500 元,已知每生产 x 件这样的产品需要再 1 3 增加可变成本 C(x)=200x+ x (元), 若生产出的产品都能以每件 500 元售出, 要使利润最大, 36 该厂应生产多少件这种产品?最大利润是多少?

18.用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2 ? 1,问该 长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

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