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山东省滨州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷 Word版含解析


山东省滨州市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若命题 p:?x∈R,2x ﹣1>0,则¬p 是() 2 2 A.?x∈R,2x ﹣1<0 B. ?x∈R,2x ﹣1≤0 2 2 C. ?x0∈R,2x0 ﹣1≤0 D.?x0∈R,2x0 ﹣1<0
2

2. (5 分)已知向量 =(x,2,2) ,向量 =(2,y,4) ,且向量 与向量 共线,则 x+y= () A.3

B. 4

C. 5

D.6

3. (5 分)要从编号为 1,2,3…,60 的某种型号冰箱中随机抽取 6 台进行检测,用系统抽 样的方法确定所选取的 6 台冰箱的编号可能是() A.5,10,15,20,25,30 B. 3,13,23,33,43,53 C. 1,2,3,4,5,6 D.2,4,8,16,32,48 4. (5 分)盒子中分别有红球 3 个、白球 2 个、黑球 1 个,共 6 个球,从中任意取出两个球, 则与事件“至少有一个白球”互斥而不对立的事件是() A.都是白球 B. 至少有一个红球 C. 至少有一个黑球 D.红、黑球各一个 5. (5 分)如图是挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一 个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为()

A.84,4.84

B.84,1.6

C.85,1.6

D.85,4

6. (5 分)已知下列命题: 2 ①抛物线 x =4y 的准线方程为 y=﹣1; 2 2 ②命题“若 x +y =0,则 x=y=0”的逆命题; ③已知人体脂肪含量的百分比 y 与年龄 x(岁)之间的线性回归方程为 =0.6x﹣0.5,若某 人的年龄每增长一岁,则其脂肪含量的百分比一定增长 0.6. ④甲、乙两人下棋,和棋的概率为 ,乙胜的概率为 ,则甲胜的概率为 . 其中,真命题的序号是() A.①② B.②③

C.①④

D.②④

7. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入的 x 为 2,则输出的 x 为()

A.11

B.23

C.30

D.47

8. (5 分)“﹣1<k<1”是“方程 A.充分不必要条件 C. 充要条件

+

=1 表示双曲线”的() B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 = , = ,

9. (5 分) 在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, M 为 AC 与 BD 的交点, 若 = ,则下列向量中与 相等的向量是()

A.﹣

+

+

B. ﹣



+

C.



+

D.

+

+

10. (5 分)已知 F1、F2 为椭圆的两个焦点,以线段 F1F2 为一边的正方形 ABF2F1 与椭圆交 于 M,N 两点,且 M,N 分别为边 AF1,BF2 的中点,则椭圆的离心率为() A. ﹣1 B. ﹣1 C. D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)双曲线 的渐近线方程为.

12. (5 分)将二进制数 10101(2)化为十进制是.

13. (5 分 )如图,已知椭圆

+

=1(a>b>0)的面积为 πab,随机向矩形区域内投掷一

飞镖,则飞镖落入椭圆区域内的概率是.

14. (5 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2, BD=2 ,则 PC 与平面 PAD 所成角的大小为.

15. (5 分)已知点 P 是抛物线 y =4x 上一点,当点 P 到直线 y=x+3 的距离最短时,点 P 的 坐标为.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (12 分)200 名学生,某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示: (Ⅰ)求频率分布直方图中 a 的值; (Ⅱ) 分别求出成绩落在区间 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 2 解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,若命题 p:?x∈R,2x ﹣1>0,则¬p 2 是:?x0∈R,2x0 ﹣1≤0. 故选:C. 点评: 本题考查命题的否定,全称命题与通常每天都否定关系,基本知识的考查.

2. (5 分)已知向量 =(x,2,2) ,向量 =(2,y,4) ,且向量 与向量 共线,则 x+y= () A.3

B. 4

C. 5

D.6

考点: 向量的数量积判断向量的共线与垂直. 专题: 空间向量及应用. 分析: 根据 与 共线,得 =m ,利用向量相等,列出方程组,求出 x、y 的值,即可计 算 x+y. 解答: 解:∵向量 =(x,2,2) ,向量 =(2,y,4) ,且 与 共线, 设 =m ,m∈R; 则(2,y,4)=m(x,2,2)=(mx,2m,2m) , 即 ,

解得 m=2,x=1,y=4; ∴x+y=1+4=5. 故选:C. 点评: 本题考查了空间向量的坐标表示以及向量共线的应用问题, 也考查了方程组的解法 与应用问题,是基础题目. 3. (5 分)要从编号为 1,2,3…,60 的某种型号冰箱中随机抽取 6 台进行检测,用系统抽 样的方法确定所选取的 6 台冰箱的编号可能是() A.5,10,15,20,25,30 B. 3,13,23,33,43,53 C. 1,2,3,4,5,6 D.2,4,8,16,32,48 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样的定义,求出样本间隔即可. 解答: 解:样本间隔为 60÷6=10, 则满足条件的编号为 3,13,23,33,43,53, 故选:B 点评: 本题主要考查系统抽样的应用,比较基础. 4. (5 分)盒子中分别有红球 3 个、白球 2 个、黑球 1 个,共 6 个球,从中任意取出两个球, 则与事件“至少有一个白球”互斥而不对立的事件是() A.都是白球 B. 至少有一个红球 C. 至少有一个黑球 D.红、黑球各一个 考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 概率与统计.

分析: 由于至少有一个白球与红、黑球各一个,故它们是互斥事件.再根据它们的并事件 不是必然事件,可得它们是么互斥而不对立的两个事件. 解答: 解: 由于事件“至少有一个白球”与没有白球是互斥的, 没有白球包含 2 个全是红球, 或 1 个红球和一个黑球, 故则与事件“至少有一个白球”互斥而不对立的事件是红、黑球各一个, 故选:D 点评: 本题主要考查互斥事件、对立事件的定义,属于基础题. 5. (5 分)如图是挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一 个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为()

A.84,4.84

B.84,1.6

C.85,1.6

D.85,4

考点: 茎叶图. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据茎叶图中的数据,结合题意,求出平均数与方差即可. 解答: 解:根据茎叶图中的数据,得; 去掉一个最高分 93 和一个最低分 79 后, 所剩数据的平均数是 = ×(84+84+86+84+87)=85 方差是 s = ×=1.6. 故选:C. 点评: 本题考查了茎叶图的应用问题,也考查了平均数与方差的计算问题,是基础题. 6. (5 分)已知下列命题: 2 ①抛物线 x =4y 的准线方程为 y= ﹣1; 2 2 ②命题“若 x +y =0,则 x=y=0”的逆命题; ③已知人体脂肪含量的百分比 y 与年龄 x(岁)之间的线性回归方程为 =0.6x﹣0.5,若某 人的年龄每增长一岁,则其脂肪含量的百分比一定增长 0.6. ④甲、乙两人下棋,和棋的概率为 ,乙胜的概率为 ,则甲胜的概率为 . 其中,真命题的序号是() A.①② B.②③
2

C.①④

D.②④

考 点: 命题的真假判断与应用. 专题: 推理和证明. 分析: 根据抛物线的性质,可判断①;写出原命题的逆命题,可判断②;根据回归系数 的几何意义,可判断③;根据对立事件概率减法公式,求出甲胜的概率,可判断④ 2 解答: 解:①抛物线 x =4y 的准线方程为 y=﹣1,故①为真命题;

②命题“若 x +y =0,则 x=y=0”的逆命题是“若 x=y=0,则 x +y =0”为真命题; ③已知人体脂肪含量的百分比 y 与年龄 x(岁)之间的线性回归方程为 =0.6x﹣0.5,若某 人的年龄每增长一岁,则其脂肪含量的百分比平均增长 0.6,故③为假命题; ④甲、乙两人下棋,和棋的概率为 ,乙胜的概率为 ,则甲胜的概率为 ,故④为假命题; 故真命题的序号是①②, 故选:A. 点评: 本题以命题的真假判断为载体,考查了抛物线的性质,四种命题;回归系数,概率 等知识点,难度不大,属于基础题. 7. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入的 x 为 2,则输出的 x 为()

2

2

2

2

A.11

B.23

C.30

D.47

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图, 依次写出每次循环得到的 x, n 的值, 当 n=4 时不满足条件 n≤3, 退出循环,输出 x 的值为 23. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 x=2,n=1 满足条件 n≤3,x=5,n=2 满足条件 n≤3,x=11,n=3 满足条件 n≤3,x=23,n=4 不满足条件 n≤3,退出循环,输出 x 的值为 23. 故选:B. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,依次写出每次循环得到的 x,n 的值是解题 的关键,属于基础题.

8. (5 分)“﹣1<k<1”是“方程

+

=1 表示双曲线”的()

A.充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 双曲线的标准方程;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的性质进行判断即可. 解答: 解:若方程 则(k﹣1) (k+1)<0, 解得﹣1<k<1, 则“﹣1<k<1”是“方程 + =1 表示双曲线”的充要条件, + =1 表示双曲线,

故选:C. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据双曲线的定义是解决本题的关键.

9. (5 分) 在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, M 为 AC 与 BD 的交点, 若 = ,则下列向量中与 相等的向量是()

= ,

= ,

A.﹣

+

+

B. ﹣



+

C.



+

D.

+

+

考点: 空间向量的加减法. 专题: 空间向量及应用. 分析: 在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,根据空间向量的加法合成法则,对向量 进行线性表示即可. 解答: 解:平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, = = = + + ( + ) +

=

+ (

+



= + (﹣ + ) =﹣ + + .

故选:A. 点评: 本题考查了空间向量的加法运算问题,解题时应结合图形进行解答,是基础题目. 10. (5 分)已知 F1、F2 为椭圆的两个焦点,以线段 F1F2 为一边的正方形 ABF2F1 与椭圆交 于 M,N 两点,且 M,N 分别为边 AF1,BF2 的中点,则椭圆的离心率为() A. ﹣1 B. ﹣1 C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 通过连结 MF2,易得 MF1=c,利用勾股定理及椭圆定义计算即得结论. 解答: 解:连结 MF2,如图,则正方形 ABF2F1 的边长为 2c, ∵M,N 分别为边 AF1,BF2 的中点,∴MF1=c, 由勾股定理可知:MF2= 由椭圆定义可知:2a=MF1+MF2=(1+ ∴离心率 e= = 故选:D. = = )c, , = c,

点评: 本题考查求椭圆的离心率,涉及勾股定理等基础知识,注意解题方法的积累,属于 中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11. (5 分)双曲线

的渐近线方程为 y=± x.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先确定双曲线的焦点所在坐标轴, 再确定双曲线的实轴长和虚轴长, 最后确定双曲 线的渐近线方程. 解答: 解:∵双曲线 的 a=2,b=1,焦点在 x 轴上

而双曲线

的渐近线方程为 y=±

∴双曲线 故答案为:y=±

的渐近线方程为 y=±

点评: 本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程, 解题时要注意先定位,再定量的解题思想 12. (5 分)将二进制数 10101(2)化为十进制是 21. 考点: 排序问题与算法的多样性. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是算法的概念, 由二进制转化为十进制的方法, 我们只要依次累 加各位数字上的数×该数位的权重,即可得到结果. 解答: 解:10 101(2)=1×2 +0×2 +1×2 +0×2 +1×2 =21, 故答案为:21. 点评: 进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数×该数位的权重.
0 1 2 3 4

13. (5 分)如图,已知椭圆

+

=1(a>b>0)的面积为 πab,随机向矩形区域内投掷一

飞镖,则飞镖落入椭圆区域内的概率是



考点: 几何概型. 专题: 概率与统计.

分析: 利用几何概型公式,所求为椭圆面积与矩形的面积比. 解答: 解:由几何概型公式得飞镖落入椭圆区域内的概率是 = ;

故答案为:



点评: 本题考查了几何概型公式的运用;关键是明确所求为面积比. 14. (5 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2, BD=2 ,则 PC 与平面 PAD 所成角的大小为 45°.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: 由 PA⊥平面 ABCD,即可得到 CD⊥PA,CD⊥AD,从而根据线面垂直的判定定 理即可得到 CD⊥平面 PAD,从而∠CPD 便是 PC 和平面 PAD 所成角,根据已知的边长度 即 可求得 CD=PD,从而得出∠CPD=45°. 解答: 解:PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD; ∴CD⊥PA; 又 CD⊥AD,AD∩PA=A; ∴CD⊥平面 PAD; ∴∠CPD 是直线 PC 和平面 PAD 所成角; PD= =2 ,CD=AB= ;

∴∠CPD=45°. 故答案为:45°. 点评: 考查线面垂直的性质及判定定理,线面角的概念及求法,直角三角形边的关系. 15. (5 分)已知点 P 是抛物线 y =4x 上一点,当点 P 到直线 y=x+3 的距离最短时,点 P 的 坐标为(1,4) . 考点: 抛物线的简单性质. 专题 : 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先设直线 y=x+t 是抛物线的切线,最小距离是两直线之间的距离,于抛物线方程联 立消去 y,再根据判别式等于 0 求得 t,代入方程求得 x,进而求得 y,答案可得. 解答: 解:设直线 y=x+t 是抛物线的切线,最小距离是两直线之间的距离, 2 2 代入化简得 x +(2t﹣4)x+t =0
2

由△ =0 得 t=1 代入方程得 x=1,y=1+3=4 ∴P 为(1,4) . 故答案为: (1,4) . 点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (12 分)200 名学生,某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示: (Ⅰ)求频率分布直方图中 a 的值; (Ⅱ) 分别求出成绩落在区间 ∴该区间内的学生数是:200×0.1=20; 成绩在区间 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: (Ⅰ)设抛物线方程为 y =mx,代入 P(4,4) ,得到方程,解方程即可得到所求 抛物线方程. (Ⅱ)由题意,直线 AB 方程为 y= (x﹣1) ,与 y =4x 消去 x 得:3x ﹣10x+3=0.再用 一元二次方程根与系数的关系和弦长公式, 算出|AB|; 利用点到直线的距离公式算出点 O 到 直线 AB 的距离,即可求出△ AOB 的面积 解答: 解: (Ⅰ)设抛物线方程为 y =mx, 代入 P(4,4) ,可得 16=4m,即有 m=4, 则抛物线的方程为 y =4x; (Ⅱ)由题意,得直线 AB 的方程为 y= 2 2 代入 y =4x 得:3x ﹣10x+3=0 设交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ∴x1+x2= ,x1x2=1
2 2 2 2

(x﹣1) ,

可得|AB|=2|x1﹣x2|= 又∵点 O 到直线 AB 的距离 d= ∴△AOB 的面积 S△ AOB= |AB|d= = , = .

点评: 本题考查抛物线的方程的求法,考查待定系数法的运用,考查求焦点弦 AB 与原点 构成的△ AOB 面积.着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、直线与抛物线位置关系等 知识,属于中档题.

20. (13 分) 已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面是直角梯形, AB∥CD, AD⊥AB, AD=AB= CD=1, PD⊥面 ABCD,PD= ,E 是 PC 的中点 (1)证明:BC⊥平面 PBD; (2)求二面角 E﹣BD﹣C 的大小.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用. 分析: (1)由 条件即可以 D 为坐标原点,DA,DC,DP 三直线分别为 x,y,z 轴,建 立空间直角坐标系,求出图形中各点的坐标,求 ,从而得到 BC⊥DB.而由 PD⊥

面 ABCD 即可得到 BC⊥PD ,从而由线面垂直的判定定理即可得出 BC⊥平面 PBD; (2)首先看出 是平面 CBD 的一条法向量,并且可设平面 EBD 的法向量为 ,根据 即可求出法向量 ,可求出 cos ,可设二面

角 E﹣BD﹣C 的大小为 θ,而根据平面法向量的夹角和两平面形成二面角的关系即可求出 cosθ,从而求出 θ. 解答: 解:根据已知条件,DA,DC,DP 三直线两两垂直,分别以这三直线为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,则: D(0,0,0) ,A(1,0,0) ,B(1,1,0) ,C(0,2,0) ,P(0,0, (1)证明: ∴ ∴ ; ; =(﹣1,1,0) , ; ) ,E(0,1, ) ;

∴BC⊥DB; 又 PD⊥面 ABCD,BC?面 ABCD; ∴BC⊥PD,PD∩DB=D; ∴BC⊥平面 PBD; (2) ; 设平面 EBD 的法向量为 ,则: 为平面 CBD 的一条法向量, ,





,取 y=1,则



设二面角 E﹣BD﹣C 的大小为 θ,则 cos ∴θ=45°; 即二面角 E﹣BD﹣C 的大小为 45°.

=



点评: 考查建立空间直角坐标系, 利用空间向量证明线线垂直, 以及求二面角大小的方法, 线面垂直的判定定理,两非零向量垂直 的充要条件,平面法向量的概念及求法,向量夹角 余弦的坐标公式,弄清两平面法向量的夹角和这两平面形成二面角的大小的关系. 21. (14 分)在直角坐标平面内,已知点 A(1,0) ,B(﹣1,0) ,动点 P 满足|PA|+|PB|=4. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点( ,0)作直线 l 与轨迹 C 交于 E、F 两点,线段 EF 的中点为 M,轨迹 C 与 x 轴正半轴的交点为 N,求直线 MN 的斜率 k 的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)通过椭圆定义即得结论; (Ⅱ)通过设直线 l 方程 x=my+ ,并与椭圆 C 方程联立,设 M(x0,y0) ,利用韦达定理 可知 k= ? ,对 m 是否为 0 进行讨论即可.

解答: 解: (Ⅰ)由题可知,轨迹 C 是以 A(1,0) 、B(﹣1,0)为焦点的椭圆, ∵动点 P 满足|PA|+|PB|=4,∴2a=4,即 a=2,

∴b=

=

=



∴动点 P 的轨迹 C 的方程为:



(Ⅱ)依题意 N(2,0) ,直线 l 过点( ,0)且斜率不为零, 故可设其方程为 x=my+ ,并与椭圆 C 方程联立, 消去 x,并整理得:4(3m +4)y +12my﹣45=0, 设 E(x1,y1) ,F(x2,y2) ,M(x0,y0) , 则 y1+y2=﹣ ∴x0=my0+ = ,∴y0= , =﹣ ? ,
2 2

∴k=

= ?



①当 m=0 时,k=0; ②当 m≠0 时,k= ? ,

∵|m+ |=|m|+ ∴0<| ?

≥2, |≤ .

∴0<|k|≤ , ∴﹣ ≤k≤ 且 k≠0; 综合①②可知直线 MA 的斜率 k 的取值范围是:﹣ ≤k≤ . 点评: 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,考查分析问题、解决问 题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.


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