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2018届高三数学一轮复习:课时作业32 Word版


课时作业 32

等差数列

一、选择题 1.在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2,则 a6=( A.-1 C.1 B.0 D.6 )

解析:因为数列是等差数列,a2=4,2a4=a2+a6=4,所以 a6=0, 故选 B. 答案:B 2.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sn+
2-Sn=36,则

n =(

) B.6 D.8

A.5 C.7

解析:∵an=1+(n-1)×2=2n-1,∴Sn+2-Sn=36?an+2+an+1 =36?2n+3+2n+1=36?n=8,故选 D. 答案:D 1 3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1 008=2,则 S2 015 的值是 ( ) 2 015 A. 2 C.2 015 2 017 B. 2 D.2 016
008 =

解 析 : ∵ 数 列 {an} 是 等 差 数 列 , 且 a1 2 015?a1+a2 015? 2 015×2a1 008 = 2 2

1 2 , ∴ S2

015 =

2 015 =2 015a1 008= 2 ,故选 A. 答案:A 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+
1=3,则

m 等于(

) B.4 D.6
? ?

A.3 C.5

?Sn? 解析:∵数列{an}为等差数列,且前 n 项和为 Sn,∴数列? n ?也

Sm-1 Sm+1 2Sm -2 3 为等差数列.∴ + = m ,即 + =0.因此 m=5. m-1 m+1 m-1 m+1 答案:C 5.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列,且 bn=an+1-an(n∈ N*),若 b3=-2,b10=12,则 a8 等于( A.0 C.8 解析:设{bn}的公差为 d, ∵b10-b3=7d=12-(-2)=14,∴d=2. ∵b3=-2,∴b1=b3-2d=-2-4=-6. 7×6 ∴b1+b2+…+b7=7b1+ 2 d =7×(-6)+21×2=0. 又 b1+b2+…+b7=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=a8-a1= a8-3=0. ∴a8=3.故选 B. 答案:B )

B.3 D.11

5 6.已知数列{an}满足 an+1=an-7,且 a1=5,设{an}的前 n 项和 为 Sn,则使得 Sn 取得最大值的序号 n 的值为( A.7 C.7 或 8 B.8 D.8 或 9 )

5 解析:由题意可知数列{an}是首项为 5,公差为-7的等差数列, 40-5n 5 所以 an=5-7(n-1)= 7 ,该数列前 7 项是正数项,第 8 项是 0, 从第 9 项开始是负数项,所以 Sn 取得最大值时,n=7 或 8.故选 C. 答案:C 二、填空题 7 . 已知数列 {an} 中, a1 = 1 且 ________. 1 1 1 1 解析:由已知得a =a +(10-1)×3=1+3=4.故 a10=4. 10 1 1 答案:4 8.设数列{an}的通项公式为 an=2n-10(n∈N*),则|a1| +|a2|+…+|a15|=________. 解析:由 an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8 为首项,2 为公差的 等差数列,又由 an=2n-10≥0 得 n≥5,∴n≤5 时,an≤0,当 n>5 时,an>0,∴|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+ a15)=20+110=130. 答案:130 1 1 9.(2017· 江西九江一模)等差数列{an}中,a1=2 015,am=n,an 1 an+1 1 1 = a + 3 (n ∈ N*) ,则 a10 =
n

1 =m(m≠n),则数列{an}的公差为________. 1 1 1 1 解析:∵am=2 015+(m-1)d=n,an=2 015+(n-1)d=m,∴(m 1 1 1 1 1 1 1 1 -n)d=n-m, ∴d=mn.∴am=2 015+(m-1)mn=n, 解得mn=2 015, 1 即 d=2 015. 1 答案:2 015 三、解答题 10. (2017· 辽宁抚顺部分重点高中协作体一模)已知各项均为正数 的等差数列{an}满足:a4=2a2,且 a1,4,a4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求同时满足下列条件的所有 an 的和: ①20≤n≤116; ②n 能够 被 5 整除. 解:(1)设{an}的公差为 d,则由题意可得
?a1+3d=2?a1+d?, ? ? 2 ?4 =a1?a1+3d?, ?

解得 a1=d=2,所以 an=2n. (2)设同时满足 20≤n≤116 和 n 能够被 5 整除的 an 构成一个新的 等差数列{bm}, 其中 b1=a20=40,b2=a25=50,…,b20=a115=230. 所以{bm}的公差 d′=50-40=10. 所以{bm}的前 20 项之和为 S20=20×40+ 20×19 2 ×10=2 700.

11.已知数列{an}满足,an+1+an=4n-3(n∈N*).

(1)若数列{an}是等差数列,求 a1 的值; (2)当 a1=2 时,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 解:(1)法 1:数列{an}是等差数列, ∴an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd. 由 an+1+an=4n-3, 得(a1+nd)+[a1+(n-1)d]=4n-3, ∴2dn+(2a1-d)=4n-3, 即 2d=4,2a1-d=-3, 1 解得 d=2,a1=-2. 法 2:在等差数列{an}中,由 an+1+an=4n-3,得 an+2+an+1= 4(n+1)-3=4n+1, ∴2d=an+2-an=(an+2+an+1)-(an+1+an)=4n+1-(4n-3)=4. ∴d=2. 1 又∵a1+a2=2a1+d=2a1+2=4×1-3=1.∴a1=-2. (2)①当 n 为奇数时,Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+(a2+a3)+(a4 n-1 + a5) + … + (an - 1 + an) = 2 + 4[2 + 4 + … + (n - 1)] - 3× 2 = 2n2-3n+5 . 2 ②当 n 为偶数时,Sn=a1+a2+a3+…+an=(a1+a2)+(a3+a4) 2n2-3n +…+(an-1+an)=1+9+…+(4n-7)= 2 .

1.(2017· 河南郑州一模)设数列{an}满足:a1=1,a2=3,且 2nan

=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则 a20 的值是( 1 A.45 3 C.45 2 B.45 4 D.45

)

解析:∵2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,∴数列{nan}是以 a1=1 为首项,2a2-a1=5 为公差的等差数列,∴20a20=1+5×19=96,解 96 4 得 a20=20=45,故选 D. 答案:D 2.(2017· 保定一模)设等差数列{an}满足 a1=1,an>0(n∈N*),其 Sn+10 前 n 项和为 Sn, 若数列{ Sn}也为等差数列, 则 a2 的最大值是(
n

)

A.310 C.180 解析:设数列{an}的公差为 d, 依题意得 2 S2= S1+ S3, 因为 a1=1,

B.212 D.121

所以 2 2a1+d= a1+ 3a1+3d, 化简可得 d=2a1=2, 所以 an=1+(n-1)×2=2n-1, Sn=n+ n?n-1? 2 2 ×2=n ,

Sn+10 ?n+10?2 ?n+10?2 ? 所以 a2 = =? ?2n-1?2 ?2n-1? n

?1?2n-1?+21?2 2? =?2 ? 2n-1 ?

21 ? 1? =4?1+2n-1?2≤121.
? ?

答案:D 3.(2016· 新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7 =6. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=[an],求数列{bn}的前 10 项和,其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 解:(Ⅰ)设数列{an}的公差为 d,由题意有 2a1+5d=4,a1+5d 2 =3.解得 a1=1,d=5. 所以{an}的通项公式为 an= 2n+3 5 .

2n+3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=[ 5 ]. 2n+3 当 n=1,2,3 时,1≤ 5 <2,bn=1; 2n+3 当 n=4,5 时,2< 5 <3,bn=2; 2n+3 当 n=6,7,8 时,3≤ 5 <4,bn=3; 2n+3 当 n=9,10 时,4< 5 <5,bn=4. 所以数列{bn}的前 10 项和为 1×3+2×2+3×3+4×2=24. 1 3an 4.已知数列{an} 中,a1=2,an+1= . an+3 (1)求 an; n?3-4an? 1 (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn, 且 bn· a =1, 求证: 2≤Sn<1.
n

an+3 3an 1 1 解: (1)由已知得 an≠0, 则由 an+1= , 得 = 3a , 即 an+3 an+1 an+1 n
?1? 1 1 1 1 -a =3,而a =2,∴?a ?是以 2 为首项,以3为公差的等差数列. ? n? n 1

n+5 1 1 ∴a =2+3(n-1)= 3 ,
n

3 ∴an= . n+5 n?3-4an? (2)证明:∵bn· a =1.
n

则由(1)得 bn=

1 , n?n+1?
? ? ? ? ? ? ? ?

?1 1 ? 1? ?1 1? ?1 1? ? ∴Sn=b1+b2+…+bn=?1-2?+?2-3?+?3-4?+…+?n-n+1?

=1-

1 1 关于 n 单调递增,∴2≤Sn<1. n+1

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