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高中数学 3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式素材 新人教A版必修4

名师精编 优秀教案 3. 1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 命题方向 1 用倍角公式化简 例 1 化简三角函数式: 2cos8+2-2 sin8+1. [分析] 将根号下的式子化为完全平方式,再开出来运算. [解析] 原式= 4cos24-2 1+2sin4cos4 =2|cos4|-2|sin4+cos4|, ∵π <4<32π , ∴cos4<0,sin4+cos4<0. ∴原式=-2cos4+2(sin4+cos4)=2sin4. 命题方向 2 用倍角公式求值 例 2. 求值:sin50°(1+ 3tan10°). [分析] (1)“切”化“弦”,(2)异角化同角. 3sin10° [解析] 原式=sin50°(1+ cos10° ) =sin50°·cos10°co+s103°sin10° 2 12cos10°+ 23sin10° =sin50°· cos10° 2 =sin50°· cos10°+cos30°sin10° cos10° 2sin40° 2cos40°sin40° =sin50°· cos10° = cos10° sin80° cos10° =cos10°=cos10°=1. 命题方向 3 用倍角公式证明三角恒等式 例 3 求证:1+sin24tθan-θ cos4θ =1+s1i-n4θta+n2cθos4θ . [分析] 特证式子两边都较复杂,且角出现四倍角和单角,若直接证明较复杂,可将要证式 子变形,发现1-2ttaannθ2θ =tan2θ ,所以只要证明式子 1+sin4θ -cos4θ =tan2θ (1+ sin4θ +cos4θ )即可. [证明] 原式变形为 1+sin4θ -cos4θ =tan2θ (1+sin4θ +cos4θ ),① 而①式右边=tan2θ (1+cos4θ +sin4θ ) =scions22θθ (2cos22θ +2sin2θ cos2θ )=2sin2θ cos2θ +2sin22θ =sin4θ +1-cos4θ =左边, ∴①式成立,即原式得证. 命题方向 4 二倍角公式与向量、函数的综合问题 例 4. 已知向量 a=(1+sin2x,sinx-cosx),b=(1,sinx+cosx),函数 f(x)=a·b. (1)求 f(x)的最大值及相应的 x 值; 名师精编 优秀教案 (2)若 f(θ )=85,求 cos2(π4 -2θ )的值. [分析] 用向量数量积表示出 f(x)转化成三角函数问题求解. [解析] (1)因为 a=(1+sin2x,sinx-cosx),b=(1,sinx+cosx), 所以 f(x)=1+sin2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x= 2sin(2x-π4 )+1. 因此,当 2x-π4 =2kπ +π2 , 即 x=kπ +38π (k∈Z)时,f(x)取得最大值 2+1. (2)由 f(θ )=1+sin2θ -cos2θ 及 f(θ )=85得 sin2θ -cos2θ =35,两边平方得 1- 9 16 sin4θ =25,即 sin4θ =25. 因此,cos2(π4 -2θ )=cos(π2 -4θ )=sin4θ 16 =25.

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