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2016届高考数学二轮复习 三角函数的图象与性质 教案


专题二 三角函数、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质(选择、填空题型) 三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶 1.命题点 性、对称性;函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式、图象及其变 换、单调区间的求法. 常与向量、解三角形、不等式等知识交汇 命题全解密 2.交汇点 考查. 利用三角函数的图象与性质求三角函数 3.常用方法 值域的方法;利用公式求三角函数的周期的方法;利用 整体代换求三角函数的单调区间的方法;利用平移变换 与伸缩变换求函数的解析式的方法.

对应学生用书P027 [重要性质] 函数 y=sinx y=cosx y=tanx

图象

单 调 性

π π π π 在[ -2+2kπ,2+2kπ ] 在[-π+2kπ, 在( -2+kπ,2+ 2kπ](k∈Z)上单调 (k∈Z)上单调递增; 在 递增;在[2kπ,π kπ )(k∈Z)上单调 π 3π [ +2kπ, ] 递增 2 2 +2kπ (k +2kπ](k∈Z)上单

∈Z)上单调递减 对称中心: 对 称 性 (kπ,0)(k∈Z); 对称轴: π x=2+kπ(k∈Z)

调递减 对称中心:
?π ? ? +kπ,0?(k∈ ?2 ?

对称中心:
? kπ ? ? ,0?(k∈Z) ?2 ?

Z);对称轴:x= kπ(k∈Z) [重要变换]

向左?φ>0?或向右?φ<0? 1.y=sinx ――→ 平移|φ|个单位 1 横坐标变为原来的ω倍 y=sin(x+φ) ――→ 纵坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 y=sin(ωx+φ) ――→ 横坐标不变 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0). 1 横坐标变为原来的ω倍 2.y=sinx ――→ 纵坐标不变 向左?φ>0?或向右?φ<0? y=sinωx ――→ φ 平移|ω|个单位 纵坐标变为原来的A倍 y=sin(ωx+φ) ――→ 横坐标不变 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0). [易错提醒] 1.忽视定义域 求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时,要 注意函数的定义域. 2.重要图象变换顺序 在图象变换过程中, 注意分清是先相位变换, 还是先周期变换. 变

换只是相对于其中的自变量 x 而言的,如果 x 的系数不是 1,就要把 这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. 3.忽视 A,ω 的符号 在求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,要特别注意 A 和 ω 的符号, 若 ω<0,需先通过诱导公式将 x 的系数化为正的.

对应学生用书P028 热点一 求函数 y=Asin(ω x+φ)的解析式 例1 (1)[2015· 江西八校联考]函数 f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部 )

分图象如图所示,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2015)的值为(

A.0 C.6 2

B.3 2 D.- 2

2π π [解析] 由图可得,A=2,T=8, ω =8,ω=4, π ∴f(x)=2sin4x, ∴f(1)= 2,f(2)=2,f(3)= 2,f(4)=0,f(5)=- 2,f(6)=-2, f(7)=- 2,f(8)=0,而 2015=8×251+7, ∴f(1)+f(2)+?+f(2015)=0. [答案] A
?π? (2)[2015· 唐山统考]已知函数 f(x)=sinωx+ 3cosωx(ω>0),f?6?+ ? ?

?π? ?π π? f?2?=0,且 f(x)在区间?6,2?上递减,则 ω=( ? ? ? ?

)

A.3 C.6
? ?

B.2 D.5

?π π? [解析] ∵f(x)在?6,2?上单调递减, ?π? ?π? 且 f?6?+f?2?=0, ? ? ? ?

?π+π? ∴f?6 2?=0, ? 2 ?
π? ? ∵f(x)=sinωx+ 3cosωx=2sin?ωx+3?,
? ?

?π+π? ?π? π? ?π ∴f?6 2?=f?3?=2sin?3ω+3?=0, ? ? ? 2 ? ??
π π 1 2π π π ∴3ω+3=kπ(k∈Z),又2· ω ≥2-6,ω>0, ∴ω=2. [答案] B

函数表达式 y=Asin(ωx+φ)+B 的确定方法 字母 A B 确定途径 由最值确定 由最值确定 A= B= 说明 最大值-最小值 2 最大值+最小值 2

相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝 ω 由函数的周期 对值为半个周期,最高点(或最低点)的横 确定 1 坐标与相邻零点差的绝对值为4个周期

φ

由图象上的特 殊点确定

一般把第一个零点作为突破口,可以从图 象的升降找准第一个零点的位置.利用待 定系数法并结合图象列方程或方程组求解

π? ? 1.[2015· 山西四校联考(三)]已知函数 f(x)=cos?ωx+φ-2?( ω>0,
? ?

π? ? π |φ|<2 )的部分图象如图所示,则 y=f?x+6?取得最小值时 x 的取值
? ?

集合为(
? ?

)
?

π ? ? ? A.?x?x=kπ-6,k∈Z? π ? ? ? B.?x?x=kπ-3,k∈Z?
? ? ? ? ? ? ?

π ? ? ? C.?x?x=2kπ-6,k∈Z? π ? ? ? D.?x?x=2kπ-3,k∈Z?
? ?

答案

B π? ? T 7π 因为 f(x)=cos?ωx+φ-2?=sin(ωx+φ), 由图可知4=12-
? ?

解析

π ? ? π π 2π π ?2× +φ?=1,即 2× +φ=2kπ = ,所以 ω = = 2. 又由图得 sin 3 3 4 π 3 ? ? π π π π +2,k∈Z,所以 φ=2kπ-6,k∈Z,又|φ|<2,所以 φ=-6,所以 f(x)

π? π? π? ? ? π? ? ? π π =sin?2x-6?, 则 y=f(x+6)=sin?2?x+6?-6?=sin?2x+6?, 由 2x+6=
? ? ? ? ? ? ? ?

π? ? π π -2+2kπ,k∈Z,得 x=kπ-3,k∈Z,所以 y=f?x+6?取得最小值时 ? ?
? ? ? π x 的取值集合为?x?x=kπ-3,k∈Z ?,故选 B. ? ? ?

2.[2015· 陕西高考]如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲
?π ? 线近似满足函数 y=3sin?6x+φ?+k.据此函数可知,这段时间水深(单 ? ?

位:m)的最大值为( A.5 C.8 答案 解析 =3+5=8. C

) B.6 D.10

?π ? 由题图可知-3+k=2,k=5,y=3sin?6x+φ?+5,∴ymax ? ?

热点二 函数 y=Asin(ω x+φ)的图象变换 例 2
?

(1)[2015·辽 宁 五 校 联 考 ] 函 数 f(x) = sin(ωx +
?

π ? ? φ)?其中|φ|<2,ω>0?的图象如图所示,为了得到 y=sinωx 的图象,只 需把 y=f(x)的图象上所有点

π A.向右平移6个单位长度 π B.向右平移12个单位长度 π C.向左平移6个单位长度 π D.向左平移12个单位长度 T 7π π 2π [解析] 由图象知:4=12-3,∴T=π.又 π= ω ,
?π? π 2π ∴ω=2.由 f?3?=0 得:2×3+φ=kπ(k∈Z),即 φ=kπ- 3 (k∈ ? ?

π? π?? ? ? ? π π Z).∵|φ|<2,∴φ=3,即 f(x)=sin?2x+3?=sin?2?x+6??,故选 A.
? ? ? ? ??

[答案] A π? ? (2)[2015· 贵阳监测]为得到函数 y=sin?x+3?的图象,可将函数 y
? ?

=sinx 的图象向左平移 m 个单位长度,或向右平移 n 个单位长度(m, n 均为正数),则|m-n|的最小值是( π A.3 4π C. 3 ) 2π B. 3 5π D. 3

π π [解析] 由题意可知, m=3+2k1π, k1 为非负整数, n=-3+2k2π,
?2π ? k2 为正整数,∴|m-n|=? 3 +2?k1-k2?π?,∴当 k1=k2 时,|m-n|min ? ?

2π =3.

[答案] B 三角函数图象平移问题处理策略 (1)看平移要求:首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函 数,这是判断移动方向的关键点. (2)看移动方向:移动的方向一般记为“正向左,负向右”,看 y =Asin(ωx+φ)中 φ 的正负和它的平移要求. (3)看移动单位:在函数 y=Asin(ωx+φ)中,周期变换和相位变换 都是沿 x 轴方向的,所以 ω 和 φ 之间有一定的关系,φ 是初相,再经
?φ? 过 ω 的压缩,最后移动的单位是?ω?. ? ?

π? ? 1.已知函数 f(x)=sin?2x+3?(x∈R),把函数 f(x)的图象向右平移
? ?

5π 12个单位长度得函数 g(x)的图象,则下列结论错误的是( π? ? A.函数 g(x)在区间?0,2?上为增函数
? ?

)

B.函数 g(x)为偶函数 C.函数 g(x)的最小正周期为 π π D.函数 g(x)的图象关于直线 x=4对称 答案 解析 D π? π? ? ? 因为 f(x)=sin?2x+3?(x∈R),所以 g(x)=sin?2x-2?=-
? ? ? ?

2π cos2x,故函数 g(x)的最小正周期 T= 2 =π,函数 g(x)为偶函数,且 π? ?π? ? π g?4?=-cos?2×4?=0,故函数 g(x)的图象不关于直线 x=4对称,当 ? ? ? ? π? ? π 0≤x≤2时,0≤2x≤π,则函数 g(x)在区间?0,2? 上为增函数,故选
? ?

D.

π? ? 2.[2015· 湖南高考]将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移 φ?0<φ<2?
? ?

个单位后得到函数 g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2 的 x1,x2, π 有|x1-x2|min=3,则 φ=( 5π A.12 π C.4 答案 解析 D 由已知得 g(x)=sin(2x-2φ),满足|f(x1)-g(x2)|=2,不妨 ) π B.3 π D.6

π 设此时 y=f(x)和 y=g(x)分别取得最大值与最小值,又|x1-x2|min=3,
?π ? π π π π 令 2x1=2,2x2-2φ=-2,此时|x1-x2|=?2-φ?=3,又 0<φ<2,故 φ ? ?

π =6,选 D. 热点三 函数 y=Asin(ω x+φ)的图象和性质的综合应用 π? ? (1)[2015· 太原一模]已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?
? ?

例3

π 的最小正周期是 π,若将其图象向右平移3个单位后得到的图象关于 原点对称,则函数 f(x)的图象( π A.关于直线 x=12对称 5π B.关于直线 x=12对称
?π ? C.关于点?12,0?对称 ? ? ?5π ? D.关于点?12,0?对称 ? ?

)

2π [解析] ∵f(x)的最小正周期为 π,∴ ω =π,ω=2,∴f(x)的图象

π? 2π ? ? ? ? ? π 向右平移3个单位后得到 g(x)=sin?2?x-3?+φ?=sin?2x- 3 +φ?的图
? ? ? ? ? ?

象,又 g(x)的图象关于原点对称,
?2π ? 2π 2π π ∴- 3 +φ=kπ,k∈Z,φ= 3 +kπ,k∈Z,又|φ|<2,∴? 3 +kπ? ? ?

π? ? π π π π <2,∴k=-1,φ=-3,∴f(x)=sin?2x-3?,当 x=12时,2x-3=-
? ?

π 5π π π ,∴ A , C 错误,当 x = 时, 2 x - 6 12 3=2,∴B 正确,D 错误. [答案] B (2)[2015· 山西四校联考(三)]已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0) π 的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为2的等差数列, 把函数 f(x) π 的图象沿 x 轴向左平移6个单位, 得到函数 g(x)的图象. 关于函数 g(x), 下列说法正确的是(
? ?

)

?π π? A.在?4,2?上是增函数

π B.其图象关于直线 x=-4对称 C.函数 g(x)是奇函数
?π 2π? D.当 x∈?6, 3 ?时,函数 g(x)的值域是[-2,1] ? ?

π? ? T π [解析] f(x)= 3sinωx+cosωx=2sin?ωx+6?, 由题设知2=2, ∴
? ?

π? ? 2π T=π,ω= T =2,∴f(x)=2sin?2x+6?.把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左
? ?

π? π? ? ? π? ? π 平移6个单位, 得到 g(x)=2sin?2?x+6?+6?=2sin?2x+2?=2cos2x 的图 ? ? ? ? ? ?
?π π? π 象,g(x)是偶函数且在?4,2?上是减函数,其图象关于直线 x=-4不 ? ? ?π 2π? ?π 4π? 对称,所以 A,B,C 错误.当 x∈?6, 3 ?时,2x∈?3, 3 ?,则 g(x)min ? ? ? ?

π =2cosπ=-2,g(x)max=2cos3=1,即函数 g(x)的值域是[-2,1],故

选 D. [答案] D 本例(1)中条件不变, 若平移后得到的图象关于 y 轴对 称,则 f(x)的图象又关于谁对称? 答案 解析 D 2π π g(x)的图象关于 y 轴对称,则- 3 +φ=2+kπ,k∈Z,可
? ?

π? ? π π kπ π 求 φ=6,∴f(x)=sin?2x+6?,2x+6=kπ,可得 x= 2 -12,令 k=1, 5π 则 x=12,故选 D. 求解函数 y=Asin(ωx+φ)的性质问题的三种意识 (1)转化意识: 利用三角恒等变换将所求函数转化为 f(x)=Asin(ωx +φ)的形式. (2)整体意识:类比 y=sinx 的性质,只需将 y=Asin(ωx+φ)中的 “ωx+φ”看成 y=sinx 中的“x”,采用整体代入求解. π ①令 ωx+φ=kπ+2(k∈Z),可求得对称轴方程. ②令 ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标. ③将 ωx+φ 看作整体,可求得 y=Asin(ωx+φ)的单调区间,注意 ω 的符号. (3)讨论意识:当 A 为参数时,求最值应分情况讨论 A>0,A<0.

1.[2015· 四川高考]下列函数中,最小正周期为 π 且图象关于原 点对称的函数是(
?

)
?

π? ? A.y=cos?2x+2? C.y=sin2x+cos2x 答案 A

π? ? B.y=sin?2x+2?
? ?

D.y=sinx+cosx

解析

π 采用验证法.由 y=cos(2x+2)=-sin2x,可知该函数的

最小正周期为 π 且为奇函数,故选 A. 2.[2015· 安徽高考]已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 均为正 2π 的常数)的最小正周期为 π,当 x= 3 时,函数 f(x)取得最小值,则下 列结论正确的是( ) B.f(0)<f(2)<f(-2) D.f(2)<f(0)<f(-2) A.f(2)<f(-2)<f(0) C.f(-2)<f(0)<f(2) 答案 解析 A 2π ∵f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期为 π, 且 x= 3 是经过函

2π π π 数 f(x)最小值点的一条对称轴,∴x= 3 -2=6是经过函数 f(x)最大值 点的一条对称轴. π? 12-π ? π? 5π-12 ? ∵?2-6?= 6 ,??π-2?-6?= 6 , ? ? ? ? π? π π? ? π? ? π? ? ? π 2π π ?0- ?= ,∴?2- ?>??π-2?- ?>?0- ?,且- <2< ,- <π 6? 6 6? ? 6? ? 6? 3 3 3 ? ? 2π π 2π -2< 3 ,-3<0< 3 , ∴f(2)<f(π-2)<f(0),即 f(2)<f(-2)<f(0).

对应学生用书P030 课题 8 三角函数图象变换 π? ? [2015· 山东高考]要得到函数 y=sin?4x-3?的图象,只需将
? ?

函数 y=sin4x 的图象(

)

π A.向左平移12个单位 π C.向左平移3个单位 审题过程

π B.向右平移12个单位 π D.向右平移3个单位 切入点 函数图象的变换方法. 关注点 函数的解析式的整理化简.
? ? ? ? ??

π? π ?? ? ? ? [规范解答] 因为 y=sin?4x- ?=sin?4?x- ??,所以只需将 y= 3 12 π? ? π sin4x 的图象向右平移12个单位,即可得到函数 y=sin?4x-3?的图象,
? ?

故选 B. 解决函数图象变换问题的模型示意图如下:

π? 1.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)( A>0,ω>0, |φ|<2?的部分图象如图所
?

π 示,则将 y=f(x)的图象向右平移 6个单位后,得到的图象解析式为 ( ) A.y=sin2x 2π? ? C.y=sin?2x+ 3 ?
? ?

B.y=cos2x π? ? D.y=sin?2x-6?
? ?

答案 解析

D π ?π? ? ? 3 3π A=1,由4· T= 4 得 T=π,ω=2,f?6?=sin?2×6+φ?=1,
? ? ? ?

π? ? π π π |φ|<2,则 φ=6, 故 f(x)=sin?2x+6?,向右平移6个单位后,得 y= ? ? π? ? sin?2x-6?.
? ? ? 1 1 ?π 2.已知函数 f(x)=2sin2xsinφ+cos2xcosφ-2sin?2+φ?(0<φ<π), ? ? ?π? π 将函数 f(x)的图象向左平移12个单位后得到函数 g(x)的图象, 且 g?4?= ? ?

1 2,则 φ=________. 答案 解析 2π 3
? 1 1 1 ?π ∵f(x)=2sin2xsinφ+cos2xcosφ-2sin?2+φ?=2sin2xsinφ+ ? ?

cos2x+1 1 1 1 1 cos φ - cos φ = sin2 x sin φ + cos2 x cos φ = 2 2 2 2 2cos(2x-φ), π? π ? 1 ? ? 1 ? ? ∴g(x)=2cos?2?x+12?-φ?=2cos?2x+6-φ?.
? ? ? ? ? ?

?π? 1 π π 2π ∵g?4?=2, ∴2×4+6-φ=2kπ(k∈Z), 即 φ= 3 -2kπ(k∈Z). ∵ ? ?

2π 0<φ<π,∴φ= 3 .

对应学生用书P158 一、选择题 π? ? π 1.将函数 y=sin?x+6?(x∈R)的图象上所有的点向左平移4个单
? ?

位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍,则所得的图象 的解析式为(
?

)
?

5π? ? A. y=sin?2x+12?(x∈R)
? x 5π? B. y=sin?2+12?(x∈R) ? ? ?x π ? C. y=sin?2-12?(x∈R) ? ? ? x 5π? D. y=sin?2+24?(x∈R) ? ?

答案 解析

B π ? π 原函数图象向左平移4个单位后得 y=sin?x+6 ?
? ? ?

π? 5π? ? +4?=sin?x+12?(x∈R)的图象,再把图象上各点的横坐标扩大
? x 5π? 到原来的 2 倍得 y=sin?2+12?(x∈R)的图象. ? ?

2.函数 f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y=2 所得线
?π? π 段长为2,则 f?6?的值是( ? ?

)

A.- 3 C.1 答案 解析
? ?

3 B. 3 D. 3

D π π π 由题意可知该函数的周期为2, ∴ω=2, ω=2, f(x)=tan2x,

?π? π ∴f?6?=tan3= 3,故选 D.

3.将函数 f(x)=cosx- 3sinx(x∈R)的图象向左平移 a(a>0)个单 位长度后,所得到的图象关于原点对称,则 a 的最小值是( π A.12 π C.3 答案 解析 B π B.6 5π D. 6 )

?1 ? π? ? 3 f(x)=cosx- 3sinx=2? cosx- sinx?=2cos?x+3?,由题 2 ? ? ?2 ? π π π 知3+a=2+kπ,k∈Z,所以 a=6+kπ,k∈Z,又因为 a>0,所以 a

π 的最小值为6.
?π ? ?π ? 4.函数 f(x)=2cos(ωx+φ)(ω≠0)对任意 x 都有 f?4+x?=f?4-x?, ? ? ? ? ?π? 则 f?4?等于( ? ?

) B.-2 或 2 D.-2 或 0

A.2 或 0 C.0 答案 解析 B

?π ? ?π ? π 由 f?4+x?=f?4-x?可知函数图象关于直线 x=4对称,则 ? ? ? ? ? ?

?π? π 在 x=4处函数取得最值,所以 f?4?=± 2,故选 B.

5.[2015· 云南统测]已知平面向量 a=(2cos2x,sin2x),b=(cos2x,

-2sin2x),f(x)=a· b,要得到 y=sin2x+ 3cos2x 的图象,只需要将 y =f(x)的图象( )

π A.向左平行移动6个单位 π B.向右平行移动6个单位 π C.向左平行移动12个单位 π D.向右平行移动12个单位 答案 解析 D 由 题 意 得 : f(x) = a· b = 2cos4x - 2sin4x = 2(cos2x +
? ?

π? ? sin2x)(cos2x - sin2x) = 2cos2x = 2sin ?2x+2? ,而 y = sin2x + 3cos2x = π ? π? π? ? ? ? π 2sin?2x+3?=2sin?2?x-12?+2?, 故只需将 y=f(x)的图象向右平移12个
? ? ? ? ? ?

单位即可.故选 D. 1 6.[2015· 南宁适应性测试]函数 f(x)=2(1+cos2x)· sin2x(x∈R)是 ( ) A.最小正周期为 π 的奇函数 π B.最小正周期为2的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为2的偶函数 答案 解析 D 1 1 注意到 sin2x=2(1- cos2x),因此 f(x)=4(1+ cos2x)(1 -

1 1 1 1 cos2x)=4(1-cos22x)=4sin22x=8(1-cos4x),即 f(x)=8(1-cos4x), 1 π f(-x)=8(1-cos4x)=f(x),因此函数 f(x)是最小正周期为2的偶函数,

选 D.

7.[2014· 济宁一模]已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(0<φ<π)的图象如
?π 5π? 图所示,若 f(x0)=3,x0∈?3, 6 ?,则 sinx0 的值为( ? ?

)

4 3-3 A. 10 4 3+1 C. 10 答案 解析 B

3 3+4 B. 10 3 3+3 D. 10

T 4π π 由图象知 A=5,2= 3 -3=π,

2π ∴T=2π,∴ω=2π=1, π π π 且 1×3+φ=2kπ+2,又 0<φ<π,∴φ=6, π? ? ∴f(x)=5sin?x+6?.
? ?

π 3 由 f(x0)=3,得 sin(x0+6)=5, 3 1 3 即 2 sinx0+2cosx0=5,①
?π 5π? π ?π ? 又 x0∈?3, 6 ?,∴x0+6∈?2,π?, ? ? ? ?

π? ? 4 3 1 4 ∴cos?x0+6?=-5,即 2 cosx0-2sinx0=-5,② ? ? 由①②解得 sinx0= 3 3+4 10 .

8 . [2015·江 西 八 所 重 点 中 学 联 考 ] 已 知 函 数 f(x) = sinx+cosx+|sinx-cosx| ,则下列结论正确的是( 2 A.f(x)是奇函数 π? ? B.f(x)在?0,2?上递增
? ?

)

C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[-1,1] 答案 解析 C 由题意得,f(x)本质上为取 sinx,cosx 中的较大值,为周

期 函 数 , 一 个 周 期 T = 2π , 在 (0,2π] 上 的 解 析 式 为 : f(x) =

?cosx,x∈??0,4?? ? ?π 5π? ?sinx,x∈??4, 4 ?? ?cosx,x∈??5π,2π?? ? ?4 ?
?

?

π?

.∵f(x)为非奇非偶函数,

π? ? ?π π? ∴A 错误;f(x)在?0,4?上单调递减,在?4,2?上单调递增,∴B
? ? ?

错误;由 f(x)在(0,2π]上的解析式可知,其值域为?-
?

?

2 ? ?,∴D 错 2 ,1?

误.故选 C. π 9. [2015· 南宁适应性测试]已知函数 f(x)=sin(2x+α)在 x=12时有 极大值,且 f(x-β)为奇函数,则 α,β 的一组可能值依次为( π π A.6,-12 π π C.3,-6 答案 解析 D π π π 依题意得 2×12+α=2k1π+2,k1∈Z,即 α=2k1π+3,k1 π π B.6,12 π π D.3,6 )

∈Z,因此选项 A、B 均不正确;由 f(x-β)是奇函数得 f(-x-β)=-

f(x-β),即 f(-x-β)+f(x-β)=0,函数 f(x)的图象关于点(-β,0)对 称,f(-β)=0,sin(-2β+α)=0,sin(2β-α)=0,2β-α=k2π,k2∈Z, π k2 π π 结合选项 C、D,则 α=3得 β= 2 +6,k2∈Z,因此选 D.

10.[2015· 南昌一模]如图,M(xM,yM),N(xN,yN)分别是函数 f(x) =Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与两条直线 l1:y=m(A≥m≥0),l2: y=-m 的两个交点,记 S(m)=|xN-xM|,则 S(m)的图象大致是( )

答案

C

解析

如图所示,作曲线 y=f(x)的对称轴 x=x1,x=x2,点 M 与

点 D 关于直线 x=x1 对称,点 N 与点 C 关于直线 x=x2 对称,所以 xM +xD=2x1,xC+xN=2x2,所以 xD=2x1-xM,xC=2x2-xN. 又点 M 与点 C、 点 D 与点 N 都关于点 B 对称, 所以 xM+xC=2xB, xD+xN=2xB,

所以 xM+2x2-xN=2xB,2x1-xM+xN=2xB, T T 得 xM-xN=2(xB-x2)=-2,xN-xM=2(xB-x1)=2,所以|xM-xN| T π =2=ω(常数),选 C. 二、填空题 π? ? 1 3 11. [2015· 长春质监(三)]函数 y=2sinx+ 2 cosx( x∈?0,2? )的单调 ? ? 递增区间是________. π? ? 答案 ?0,6?
? ?

解析

π? ? 1 3 ∵y=2sinx+ 2 cosx=sin?x+3?, ? ?
? ?

5π π? ? ∴函数的单调递增区间为?2kπ- 6 ,2kπ+6?(k∈Z), π? π? ? ? 又 x∈?0,2?,∴单调递增区间为?0,6?.
? ? ? ? ?π π? 12.若函数 f(x)=cos2x+asinx 在区间?6,2?是减函数,则 a 的取 ? ?

值范围是________. 答案 解析 (-∞,2] f(x) = cos2x + asinx = 1 - 2sin2x + asinx ,令 t = sinx , x ∈

?π π? ?1 ? ? , ?,则 t∈? ,1?,原函数化为 y=-2t2+at+1,由题意及复合函 ?6 2? ?2 ? ?1 ? 数单调性的判定可知 y=-2t2+at+1 在?2,1?上是减函数, 结合抛物 ? ?

a 1 线图象可知,4≤2,所以 a≤2. π? ? 13.函数 f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)?ω>0,|φ|<2?的部分图象如图所
? ? ? π π? 示,如果 x1,x2∈?-6,3?,且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=________. ? ?

答案

3 2 T π ? π? π ?- ? 由图可知, 则 T=π, ω=2, 又∵ 2=3-? 6?=2, π π -6+3 2

解析

π ?π ? ? ? π π =12,∴f(x)的图象过点?12,1?,即 sin?2×12+φ?=1,得 φ=3,∴ ? ? ? ? π? ? ?π? π π π f(x) = sin ?2x+3? . 而 x1 + x2 = - 6 + 3 = 6 , ∴ f(x1 + x2) = f ?6? =
? ? ? ?

π π? ? 2π 3 sin?2×6+3?=sin 3 = 2 . ? ? 14.[2015· 湖南高考]已知 ω>0,在函数 y=2sinωx 与 y=2cosωx 的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为 2 3 ,则 ω = ________. π 答案 2 解析 由题意, 两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间 的距离,设相邻的两交点坐标分别为 P(x1,y1),Q(x2,y2),易知|PQ|2 =(x2-x1)2+(y2-y1)2,其中|y2-y1|= 2-(- 2)=2 2,|x2-x1|为函 π? ? 数 y=2sinωx-2cosωx=2 2sin?ωx-4?的两个相邻零点之间的距离,
? ? ? 2π ? π 恰好为函数最小正周期的一半,所以(2 3)2=?2ω?2+(2 2)2,ω=2. ? ?


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