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第09讲 空间几何体的表面积和体积


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普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案(讲座 9)—空间几何体的表面积和体 积
一.课标要求:
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 。

二.命题走向
近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体 积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题,也常以几 何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学 会运用等价转化思想,会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题,会等体积转化求 解问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上,预测 008 年高考有以下特色: (1)用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式; (2)考题可能为:与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题;与多面体和旋转 体中某些元素有关的计算问题;

三.要点精讲
1.多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S 侧) 直截面周长×l 全面积(S 全) 体 积(V)

S 底·h=S 直截面·h S 侧+2S 底 S 底·h S 侧+S 底
1 S 底·h 3 1 h(S 3
上底

ch 各侧面积之和

棱 锥

1 ch′ 2
各侧面面积之和

+S 下底

1 (c+c′)h′ 2

S 侧+S 上底+S 下底

+ S下底 ? S下底 )

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧 棱长。 2.旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 2π rl 圆锥 π rl 圆台 π (r1+r2)l 球

S侧

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2 1 2

S全
V

2π r(l+r) π r h(即π r l)
2 2

π r(l+r)

π (r1+r2)l+π (r +r 2)

4π R

2

1 2 πrh 3

1 2 2 π h(r 1+r1r2+r 2) 3

4 3 πR 3

表中 l、 分别表示母线、 h 高, 表示圆柱、 r 圆锥与球冠的底半径, 1、 2 分别表示圆台 上、 r r 下底面半径,R 表示半径。

四.典例解析
题型 1:柱体的体积和表面积 例 1.一个长方体全面积是 20cm2,所有棱长的和是 24cm,求长方体的对角线长. 解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得: ?

?2( xy ? yz ? zx) ? 20 ?4( x ? y ? z) ? 24

(1) ( 2)

由(2)2 得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3) 由(3)-(1)得 x2+y2+z2=16 即 l2=16 所以 l=4(cm)。 点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表 面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、 体积之间的关系。 例 2.如图 1 所示,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=5,AD=4,AA1=3, AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=

? 。 3

(1)求证:顶点 A1 在底面 ABCD 上的射影 O 在∠BAD 的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积。

图1 图2 解析: (1)如图 2,连结 A1O,则 A1O⊥底面 ABCD。作 OM⊥AB 交 AB 于 M,作 ON ⊥AD 交 AD 于 N,连结 A1M,A1N。由三垂线定得得 A1M⊥AB,A1N⊥AD。∵∠A1AM= ∠A1AN, ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N, 从而 OM=ON。 ∴点 O 在∠BAD 的平分线上。
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(2)∵AM=AA1cos

? 1 3 =3× = 2 2 3 AM 3 2。 ∴AO= = ? 2 cos 4
又在 Rt△AOA1 中,A1O2=AA12 – AO2=9-

9 9 = , 2 2

∴A1O=

3 2 3 2 ,平行六面体的体积为 V ? 5 ? 4 ? ? 30 2 。 2 2

题型 2:柱体的表面积、体积综合问题 例 3. (2000 全国,3)一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2, 3, 6 ,这个长方体 对角线的长是( A.2 ) B.3

3

2

C.6

D.

6

解析:设长方体共一顶点的三边长分别为 a=1,b= l= a 2 ? b 2 ? c 2 ? 6 ;答案 D。

2 ,c= 3 ,则对角线 l 的长为

点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。 例 4.如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB1C1 将三棱 柱分成体积为 V1、V2 的两部分,那么 V1∶V2= ____ _。 解:设三棱柱的高为 h,上下底的面积为 S,体积为 V,则 V=V1+V2=Sh。 ∵E、F 分别为 AB、AC 的中点, ∴S△AEF=

1 S, 4

V1=

1 1 7 1 h(S+ S+ S ? )= Sh 3 4 4 12 5 Sh, 12

V2=Sh-V1=

∴V1∶V2=7∶5。 点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应 关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型 3:锥体的体积和表面积 例 5. (2006 上海,19)在四棱锥 P-ABCD 中, P 底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 E A O B D C
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?

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?

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ABCD 所成的角为 60 ,求四棱锥 P-ABCD 的体积? 解: (1)在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥ 平面 ABCD,得∠ PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成 的角,∠ PBO=60° 。 在 Rt△AOB 中 BO=ABsin30° 由 PO⊥ =1, BO, 于是 PO=BOtan60° 3 ,而底面菱形的面积为 2 3 。 = ∴ 四棱锥 P-ABCD 的体积 V=

1 × 3 × 3 =2。 2 3

点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力 方面主要考查空间想象能力。 例 6. (2002 京皖春文,19)在三棱锥 S—ABC 中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,且 AC=BC=5,SB=5 (如图所示) 5。

(Ⅰ)证明:SC⊥BC; (Ⅱ)求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小; (Ⅲ)求三棱锥的体积 VS-ABC。 解析: (Ⅰ)证明:∵∠SAB=∠SAC=90°, ∴SA⊥AB,SA⊥AC。 又 AB∩AC=A, ∴SA⊥平面 ABC。 由于∠ACB=90°,即 BC⊥AC,由三垂线定理,得 SC⊥BC。 (Ⅱ)解:∵BC⊥AC,SC⊥BC。 ∴∠SCA 是侧面 SCB 与底面 ABC 所成二面角的平面角。 在 Rt△SCB 中,BC=5,SB=5



5 ,得 SC= SB2 ? BC 2 =10。
AC 5 1 ? ? , SC 10 2

在 Rt△SAC 中 AC=5,SC=10,cosSCA=

∴∠SCA=60°,即侧面 SBC 与底面 ABC 所成的二面角的大小为 60°。 (Ⅲ)解:在 Rt△SAC 中, ∵SA= SC2 ? AC2 ? 102 ? 52 ? 75 ,

S△ABC=

25 1 1 ·AC·BC= ×5×5= , 2 2 2 1 1 25 125 3 ·S△ACB·SA= ? 。 ? 75 ? 3 2 6 3

∴VS-ABC=

点评:本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的 洞察力,并进行一定的逻辑推理。
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题型 4:锥体体积、表面积综合问题 例 7.ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GB 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,且 GC=2,求点 B 到平面 EFC 的距离? 解:如图,取 EF 的中点 O,连接 GB、GO、CD、FB 构造三棱锥 B-EFG。

设点 B 到平面 EFG 的距离为 h,BD= 4 2 ,EF ? 2 2 ,CO=

3 ×4 2 ? 3 2 。 4

GO ? CO 2 ? GC 2 ? (3 2 ) 2 ? 2 2 ? 18 ? 4 ? 22 。
而 GC⊥平面 ABCD,且 GC=2。 由 VB ? EFG ? VG ? EFB ,得

1 1 EF·GO·h ? S △EFB · 6 3

点评:该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点 B 为顶点,△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键,利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程 是解这类题的方法,从而简化了运算。 A 例 8. (2006 江西理,12)如图,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过四面体的内切球(与四个面都 相切的球)球心 O,且与 BC,DC 分别截于 E、F, O D 如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四 F 棱锥 A-BEFD 与三棱锥 A-EFC 的表面积分别是 S1, S2,则必有( ) B E A.S1?S2 B.S1?S2 C C.S1=S2 D.S1,S2 的大小关系不能确定 解:连 OA、OB、OC、OD, 则 VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD VA-EFC=VO-ADC+VO-AEC+VO-EFC 又 VA-BEFD=VA-EFC, 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故 SABD+SABE+SBEFD=SADC+SAEC +SEFC 又面 AEF 公共,故选 C 点评:该题通过复合平面图形的分割过程,增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积、 表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。 题型 5:棱台的体积、面积及其综合问题 例 9. (2002 北京理,18)如图 9—24,在多面体 ABCD—A1B1C1D1 中,上、下底面平行 且均为矩形,相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等,侧棱延长后相交于 E,F 两点, 上、下底面矩形的长、宽分别为 c,d 与 a,b,且 a>c,b>d,两底面间的距离为 h。 (Ⅰ)求侧面 ABB1A1 与底面 ABCD 所成二面角的大小;
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(Ⅱ)证明:EF∥面 ABCD; (Ⅲ)在估测该多面体的体积时,经常运用近似公式 V 估=S 积公式是 V=

中截面

·h 来计算.已知它的体

h (S 上底面+4S 中截面+S 下底面) ,试判断 V 估与 V 的大小关系,并加以证明。 6

(注:与两个底面平行,且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面) (Ⅰ)解:过 B1C1 作底面 ABCD 的垂直平面,交底面于 PQ, 过 B1 作 B1G⊥PQ,垂足为 G。 如图所示:∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,∠A1B1C1=90°, ∴AB⊥PQ,AB⊥B1P. ∴∠B1PG 为所求二面角的平面角.过 C1 作 C1H⊥PQ, 垂足为 H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等, 故四边形 B1PQC1 图 为等腰梯形。 ∴PG=

2h 1 (b-d) ,又 B1G=h,∴tanB1PG= (b>d) , 2 b?d 2h 2h ,即所求二面角的大小为 arctan . b?d b?d

∴∠B1PG=arctan

(Ⅱ)证明:∵AB,CD 是矩形 ABCD 的一组对边,有 AB∥CD, 又 CD 是面 ABCD 与面 CDEF 的交线, ∴AB∥面 CDEF。 ∵EF 是面 ABFE 与面 CDEF 的交线, ∴AB∥EF。 ∵AB 是平面 ABCD 内的一条直线,EF 在平面 ABCD 外, ∴EF∥面 ABCD。 (Ⅲ)V 估<V。 证明:∵a>c,b>d, ∴V-V 估=

h a?c b?d a?c b?d (cd ? ab ? 4 ? ? )? ? h 6 2 2 2 2

=

h [2cd+2ab+2(a+c) (b+d)-3(a+c) (b+d) ] 12 h (a-c) (b-d)>0。 12

=

∴V 估<V。 点评:该题背景较新颖,把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则 几何体(拟柱体)中,能考查考生的应变能力和适应能力,而第三步研究拟柱体的近似计算 公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题,是极具实际意义的问题。考查了
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考生继续学习的潜能。 例 10. (1998 全国,9)如果棱台的两底面积分别是 S、S′,中截面的面积是 S0, (1) 那么( ) A. 2

S0 ? S ? S ?

B. S 0

? S ?S

C.2S0=S+S′ D.S02=2S′S

(2) (1994 全国,7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4,高为 2,则其体积 为( ) A.32

3

B.28

3

C.24

3

D.20

3

解析: (1)解析:设该棱台为正棱台来解即可,答案为 A; (2) 正六棱台上下底面面积分别为: 上=6· S V 台= h( S 上 ?

3 2 3 2 · =6 3 , 下=6· 2 S · =24 3 , 4 4 4

1 3

S 上 ? S 下 ? S 下 ) ? 28 3 ,答案 B。

点评:本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解,此种 解法在解选择题时很普遍,如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。 题型 6:圆柱的体积、表面积及其综合问题 例 11. (2000 全国理,9)一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与 侧面积的比是( ) A.

1 ? 2? 2?

B.

1 ? 4? 4?

C.

1 ? 2?

?

D.

1 ? 4? 2?

解析:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则由题设知 h=2π r. ∴S 全=2π r2+(2π r)2=2π r2(1+2π ).S 侧=h2=4π 2r2, ∴

S 全 1? 2? ? 。答案为 A。 S侧 2?

点评:本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。 例 12. (2003 京春理 13,文 14)如图 9—9,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适 量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球,水面高度恰好升高 r,则

R = r



解析:水面高度升高 r,则圆柱体积增加π R2·r。恰好是半径为 r 的实心铁球的体积,
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因此有

4 3 R 2 3 2 3 π r =π R2r。故 ? 。答案为 。 3 3 r 3

点评:本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。 题型 7:圆锥的体积、表面积及综合问题 例 13. (2002 京皖春,7)在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ (1) ABC=120°(如图所示) ,若将△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成 的旋 转体的体积是( ) A.

9 π 2

B.

7 π 2

C.

5 π 2

D.

3 π 2



(2) (2001 全国文,3)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 全面积是( A.3π ) B.3

3 ,则这个圆锥的



C.6π

D.9π B —

解析: (1)如图所示,该旋转体的体积为圆锥 C—ADE 与圆锥 ADE 体积之差,又∵求得 AB=1。 ∴ V ? VC ? ADE ? VB ? ADE ? (2)∵S=

1 5 1 3? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 3 ?1 ? ,答案 3 2 3 2

D。

1 1 absinθ ,∴ a2sin60°= 3 , 2 2

图 ∴a2=4,a=2,a=2r, ∴r=1,S 全=2π r+π r2=2π +π =3π ,答案 A。 点评:通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是 空间想象力深化的标志,是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。 例 14. (2000 全国文,12)如图所示,OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线,OA 绕轴旋 转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分,则母线与轴的夹角的余弦值为( ) A.

1 3 2

B.

1 2

C.

1 2

D.

1 4 2

解析:如图所示,由题意知,

1 2 1 π r h= π R2h, 3 6

∴r=

R . 又△ABO∽△CAO, 2

r OA R2 R 2 ? ∴ ,∴OA =r·R= , OA ? 4 , OA R 2 2



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∴cosθ =

OA 1 ? 4 ,答案为 D。 R 2

点评:本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。 题型 8:球的体积、表面积 例 15 . 已 知 过 球 面 上 A, B, C 三 点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 为 球 半 径 的 一 半 , 且

AB ? BC ? CA ? 2 ,求球的表面积。 解:设截面圆心为 O? ,连结 O?A ,设球半径为 R ,
则 O?A ?

2 3 2 3 , ? ?2 ? 3 2 3
2 2 2

在 Rt ?O?OA 中, OA ? O?A ? O?O , ∴R ?(
2

2 3 2 1 2 ) ? R , 3 4

∴R ?

4 , 3
2

∴ S ? 4? R ?

64 ?。 9

点评: 正确应用球的表面积公式,建立平面圆与球的半径之间的关系。 例 16.如图所示,球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。

解析:如图,设过 A、B、C 三点的球的截面圆半径为 r,圆心为 O′,球心到该圆面的 距离为 d。 在三棱锥 P—ABC 中,∵PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA= 2 a,且 P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心 O′。

由正弦定理,得

2a 6 =2r,∴r= a。 sin 60? 3

又根据球的截面的性质,有 OO′⊥平面 ABC,而 PO′⊥平面 ABC,

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∴P、 O′共线, O、 球的半径 R= r 2 ? d 2 。 PO′= PA2 ? r 2 = a ? 又
2

3 2 2 a, a = 3 3

∴OO′=R -

3 3

a=d= R 2 ? r 2 ,(R-

3 3

a)2=R2 – (

6 2 3 a) ,解得 R= a, 3 2

∴S 球=4π R2=3π a2。 点评:本题也可用补形法求解。将 P—ABC 补成一个正方体,由对称性可知,正方体内 接于球,则球的直径就是正方体的对角线,易得球半径 R= 题型 9:球的面积、体积综合问题 例 17. (2006 四川文,10)如图,正四棱锥 P ? ABCD 底面的四个顶点 A, B, C , D 在球

3 a,下略。 2

O 的同一个大圆上,点 P 在球面上,如果 VP ? ABCD ?
A. 4? B. 8? C. 12?

16 ,则球 O 的表面积是( 3 D. 16?



(2)半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长为 6 , 求球的表面积和体积。 解析: (1)如图,正四棱锥 P ? ABCD 底面的四个顶点

A, B, C , D 在球 O 的同一个大圆上,点 P 在球面上,PO⊥底面
ABCD , PO=R , S ABCD ? 2R2 , VP ? ABCD ?

16 , 所 以 3

1 1 6 ? 2 R 2 ? R ? ,R=2,球 O 的表面积是 16? ,选 D。 3 3
(2)作轴截面如图所示,

CC? ? 6 , AC ? 2 ? 6 ? 2 3 ,
设球半径为 R ,
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2 2

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则 R ? OC ? CC?
2

? ( 6)2 ? ( 3)2 ? 9
∴ R ? 3, ∴ S球 ? 4? R2 ? 36? , V球 ?

4 ? R 3 ? 36? 。 3

点评:本题重点考查球截面的性质以及球面积公式,解题的关键是将多面体的几何要素 转化成球的几何要素。 例 18. (1) 表面积为 324? 的球, 其内接正四棱柱的高是 14 , 求这个正四棱柱的表面积。 (2)正四面体 ABCD 的棱长为 a,球 O 是内切球,球 O1 是与正四面体的三个面和球 O 都相 切的一个小球,求球 O1 的体积。 解: (1)设球半径为 R ,正四棱柱底面边长为 a ,

则作轴截面如图, AA? ? 14 , AC ?
2 又∵ 4? R ? 324? ,∴ R ? 9 ,

2a ,

∴ AC ?

AC?2 ? CC?2 ? 8 2 ,∴ a ? 8 ,
王新敞
奎屯 新疆

∴ S表 ? 64 ? 2 ? 32 ?14 ? 576

(2)如图,设球 O 半径为 R,球 O1 的半径为 r,E 为 CD 中点,球 O 与平面 ACD、BCD 切于点 F、G,球 O1 与平面 ACD 切于点 H
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

由题设

AG ?

AE 2 ? GE 2 ?

6 a 3

王新敞
奎屯

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△AOF∽△AEG



6 a?R 6 ? 3 ,得 R ? a 12 3 3 a a 6 2 R

王新敞
奎屯

新疆



△AO1H∽△AOF



6 a ? 2R ? r r 6 3 ? ,得 r ? a R 24 6 a?R 3
3

王新敞
奎屯

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V球O1

4 4 ? 6 ? 6 3 ? ? ?r 3 ? ? ? ? 24 a ? ? 1728a 3 3 ? ?

王新敞
奎屯

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点评:正四面体的内切球与各面的切点是面的中心,球心到各面的距离相等。 题型 10:球的经纬度、球面距离问题 例 19. (1)我国首都靠近北纬 40 纬线,求北纬 40 纬线的长度等于多少 km ?(地球 半径大约为 6370km ) (2)在半径为 13cm 的球面上有 A, B, C 三点, AB ? BC ? AC ? 12cm ,求球心到经过 这三点的截面的距离。 解: (1)如图, A 是北纬 40 上一点, AK 是它的半径, ∴ OK ? AK , 设 C 是北纬 40 的纬线长, ∵ ?AOB ? ?OAK ? 40 ,
? ? ? ? ?

∴ C ? 2? ? AK ? 2? ? OA ? cos ?OAK ? 2? ? OA ? cos 40

?

? 2 ? 3.14 ? 6370 ? 0.7660 ? 3.066 ?104 (km)
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?

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4

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答:北纬 40 纬线长约等于 3.066 ?10 km . (2)解:设经过 A, B, C 三点的截面为⊙O? , 设球心为 O ,连结 OO? ,则 OO? ? 平面 ABC , ∵ AO? ?

3 2 ?12 ? ? 4 3 , 2 3

∴ OO? ? OA2 ? OA?2 ? 11, 所以,球心到截面距离为 11cm . 例 20. 在北纬 45 圈上有 A, B 两点, 设该纬度圈上 A, B
?

两点的劣弧长为 的球面距离。

2 ,求 ? R ( R 为地球半径) A, B 两点间 4

解:设北纬 45 圈的半径为 r ,则 r ?
? ? 北纬 45 圈的圆心, ?AO' B ? ? ,

2 R ,设 O? 为 4

∴? r ? ∴? ?

2 2 2 R? ? ?R, ? R ,∴ 2 4 4
,∴ AB ?

?
2

2r ? R ,

∴ ?ABC 中, ?AOB ?

?
3



所以, A, B 两点的球面距离等于

?
3

R.

点评:要求两点的球面距离,必须先求出两点的直线距离,再求出这两点的球心角,进 而求出这两点的球面距离。

五.思维总结
1.正四面体的性质 设正四面体的棱长为 a,则这个正四面体的 (1)全面积:S 全= 3 a ;
2

(2)体积:V=

2 3 a; 12

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(3)对棱中点连线段的长:d=

2 a; 2

(4)内切球半径:r=

6 a; 12
R=

(5)外接球半径

6 a; 4

(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 2.直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角 四面 体有下列性质: 如图,在直角四面体 AOCB 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,OA=a,OB=b,OC=c。 则:①不含直角的底面 ABC 是锐角三角形; ②直角顶点 O 在底面上的射影 H 是△ABC 的垂心; ③体积 V=

1 abc; 6

④底面△ABC=
2

1 2

a 2 b2 ? b2c2 ? c2a 2 ;

⑤S △ABC=S△BHC·S△ABC; 2 2 2 2 ⑥S △BOC=S △AOB+S △AOC=S △ABC

1 1 1 1 = 2 + 2 + 2 ; 2 OH a b c 1 ⑧外切球半径 R= a 2 ? b2 ? c2 ; 2
⑦ ⑨内切球半径 r=

S ?AOB ? S ?BOC - S ?ABC a?b?c

3.圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角. ①如图,圆锥的顶角为β ,母线与下底面所成角为α ,母线为 l,高为 h,底面半径为 r, 则 sinα =cos α +

? =90° ? 2
cosα =sin

? h = , l 2 ? r = . l 2

②圆台 如图,圆台母线与下底面所成角为α ,母线为 l,高为 h,上、下底面半径分 别为 r ′、r,则 h=lsinα ,r-r′=lcosα 。 ③球的截面 用一个平面去截一个球,截面是圆面.
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(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆;不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆; (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面; (3)球心和截面距离 d,球半径 R,截面半径 r 有关系: r= R 2 - d 2 .

4.经度、纬度: 经线:球面上从北极到南极的半个大圆;

纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆;

经度: 某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 0 经线及轴确定的半平面 所成的二面角的度数。 纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。

?

5. 两点的球面距离: 球面上两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们 把这个弧长叫做两点的球面距离
王新敞
奎屯 新疆

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两点的球面距离公式: (其中 R 为球半径, ? 为 A,B 所对应的球心角的弧度数)

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