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一元函数的导数与微分_图文

第二章 一元函数的导数与微分
本章简介
导数与微分是微分学中的两个基本概念。其中导数是研究 函数相对于自变量的变化的快慢程度,即函数的变化率; 而微分则是指当自变量有微小变化时,函数改变量的近似 值。
本章重点
导数与微分的概念;基本初等函数的求导公式;求导法则。
本章难点
导数与微分的概念;复合函数的求导法则。

第一节
本节内容提要 一、两个引例

导数的概念

二、导数的定义

三、求导举例

四、导数的几何意义

五、函数的可导性与连续性的关系

本节重点 导数的概念;左,右导数的概念:导数的几何意义;函数 可导与连续的关系。 本节难点 导数概念的理解;可导的充要条件;利用导数几何意义求 切线(法线)方程;判断函数在一点处是否可导和连续; 利用导数定义求导; 教学方法 启发式 教学手段 多媒体课件和面授讲解相结合 教学课时 3课时

一、两个引例

1、变速直线运动的速度

设动点在时刻t在某一直线上的位置坐标为s,于是该动点的 运动规律可由函数s= s (t) 确定。我们要求在某一t0时刻的 瞬时速度v(t0)。

在时间段[t0,t0+
?s

?t]内,动点经过的路程为?s

?

s(t0

?

?t)

?

s(t0

)

于是 ?t 即为该时间段内动点的平均速度。它并不是t0时刻

的瞬时速度v(t0),但是如果时间间隔 ?t 较短,则



v(t0 )

?

?s ?t

。显然,时间间隔

?t

越短,平均速度

?s ?t

与瞬时速度v(t0)的近似程度就越好。也就是说,当 ?t

?s
无限缩短时,平均速度 ?t 就会无限接近于瞬时速度v(t0), 而运用我们第一章所学的极限概念,就有

v(t0 )

?

lim
?t ?0

?s ?t

?

lim
?t ?0

s(t0

? ?t) ? s(t0 ) ?t

这样,该极限值就是t0时刻的瞬时速度v(t0)。

2、曲线的切线

设有曲线C及C上一点M,在点M外另取C上一点N做割线MN。 当N沿曲线C趋于点M时,如果割线MN的极限位置为MT,则 称直线MT为曲线C在点M处的切线。

设割线MN与X轴的夹角为 ? 切线MT与X轴的夹角为 ? 。曲 线方程为y=f (x),点M的坐标为(x0,y0),点N的坐标为

(x0 ? ?x, y0 ? ?y) 。于是,割线MN的斜率为:

tan ? ? ?y ? f (x0 ? ?x) ? f (x0) 。

?x

?x

当点N沿曲线C趋向点M时,就有 ?x ? 0,? ? ? ,割线的斜 率 tan? 就会无限接近切线的斜率 tan? ,又由极限的定义,

有 tan? ? lim ?y ? lim f (x0 ? ?x) ? f (x0)? k

?x ?x?0

?x?0

?x

即为切线的斜率。

二、导数的定义

上面所讨论的两个问题,一个是物理问题,一个是几何问题。 但是当我们抛开它们的具体意义而只考虑其中的数量关系时, 就会发现本质上完全相同的一个极限 :

lim ?y ? lim f (x0 ? ?x) ? f (x0)。

?x ?x?0

?x?0

?x

即因变量的改变量?y与自变量的改变量 ?x之比,当自变量的 改变量 ?x 趋于0时的极限。这就是导数。

1、定义

设函数y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变

量x在x0处取得增量 ?( x 点x0 +?x仍在该邻域内)

时,相应的函数y取得增量 ?y ? f (x0 ? ?x) ? f (x0 );

如果?y与?x之比当x ? x0时的极限存在,则称函数 y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y ? f (x)

在点x0处的导数,记作y? x=x0 ,即

y?

x=x0

? lim ?y ?x?0 ?x

? lim ?x?0

f (x0

? ?x) ? ?x

f (x0)。

也可记做f?(x0

),dy dx

df (x) , x?x0 dx


x? x0

在x0点处的导数,称为x0点的导数值。 注:导数的定义也可取如下两种形式:

f

?( x0 )

?

lim
h?0

f ( x0 ? h) ? h

f ( x0 )

f

?( x0 )

?

f lim
x? x。

( x) ? f ( x0 ) x-x0

2、区间可导和导函数
(1) 如果函数y = f (x) 在某个开区间(a,b)内每一点x 处均可导,则称函数y = f (x)在区间(a,b)内可导。

(2) 若函数y=f(x)在某一范围内每一点均可导,则在该范围

内每取一个自变量x的值,就可得到一个唯一对应的导数值,

这就构成了一个新的函数,称为原函数y =f (x)的导函数,

记做 y?, f ?(x), dy , df (x) 。 导函数往往简称为导数。用

极限表示为:

dx
f

?(

dx
x) ? lim

?y

?

lim

f (x ? ?x) ?

f (x)。

?x ?x?0

?x?0

?x

3、左右导数

(1)称左极限

?y

lim ? lim

?x ?x?0?

?x?0?

f (x0 ? ?x) ? f (x0)。 为函数f
?x

(x)在x0

点的左导数,记做 f??(x0 ) 。

(2) 称右极限

lim ?y ? lim f (x0 ? ?x) ? f (x0 )

?x ?x?0?

?x?0?

?x

为函数f (x)在x0点

的右导数,记做 f??(x0 ) 。

4、可导的充要条件 函数y = f (x)在点x0处可导的充要条件是左右导数都存在且 相等。

三、求导举例

根据导数定义求导,可分为如下三个步骤:

第一步:求因变量的改变量?y;

第二步:求比值 ?y ; ?x

第三步:求比值的极限 lim ?y ?x?0 ?x

例 1、根据导数定义求y ? x2在x0 ? 3的导数值。

解: 1.?y ? f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ? (3 ? ?x)2 ? 32 ? 6?x ? ?x2

2. ?y ? 6?x ? ?x2 ? 6 ? ?x

?x

?x

3. lim ?y ? lim(6 ? ?x)? 6,即y?(3) ? 6。

?x ?x?0

?x?0

例2、求f (x) ? (c c为常数)的导数。 解: 1.?y ? f (x ? ?x) ? f (x) ? c ? c ? 0
2. ?y ? 0 ? 0 ?x ?x
3.lim ?y ? 0,故(c)? =0。 x?0 ?x
本题说明,常函数的导数等于0。

例3、求函数f (x) ? x(n n为正整数)的导数。

解:1.?y ? f (x ? ?x) ? f (x) ? (x ? ?x)n ? xn

? nxn?1?x ? n(n ?1) xn?2?x2 ? ..... ? ?xn 2

2. ?y ? nxn?1 ? n(n ?1) xn?2?x ? ..... ? ?xn?1

?x

2

3.lim ?y ? lim[nxn?1 ? n(n ?1) xn?2?x ? ... ? ?xn?1] ? nxn?1

x?? ?x x??

2

故有(xn)? =nxn-1。

一般的,幂函数y ? x? (?为常实数)的导数公式为(x?)? =? x??1。

练习:求y

?

x2,x,1

,x

2
3的导数。

x

例4、求函数f (x) ? sin x的导数。

解: 1.?y ? f (x ? ?x) ? f (x) ? sin(x ? ?x) ? sin x ? 2cos(x ? ?x)sin ?x 22

2.

?y

?

2

cos(x

?

?x 2

)

sin

?x 2

?x

?x

3. lim

?y

?

lim

2cos(x ?

?x ) sin 2

?x 2

?

lim

cos(x ?

?x) sin

?x 2

?x ?x?0

?x?0

?x

?x?0

2 ?x

2

? cos x 1 ? cos x,故(sinx)? =cosx。

类似地,可求得(cosx)? =-sinx。

例5、求函数ax (a ? 0, a ? 1)的导数。

解: 1.?y ? f (x ? ?x) ? f (x) ? ax??x ? ax

2. ?y ? ax??x ? ax ? ax a?x ?1

?x ?x

?x

在这里,设a?x ?1 ? t,移项并取以a为底的对数,有?x ? loga (1? t),

且当?x ? 0时,t ? 0。

3. lim ?y ? lim ax

?x ?x?0

?x?0

a?x ?1 ?x

?

lim
t?0

ax

loga

t (1?

t)

?

a

x

lim
t?0

loga

1 (1

?

1
t)t

? ax 1 ? ax ln a loga e

也就是说,指数函数ax (a ? 0, a ? 1)的导数为(ax )? ? ax ln a;特别地,当a ? e时,

有(ex)? =ex。

例6、求函数f (x) ? loga x(a ? 0, a ? 1)的导数。

解:

1.?y

?

f

(x ? ?x) ?

f

(x)

? loga (x ? ?x) ? logax

? loga (1?

?x ) x

2.

?y

?

loga

(1?

?x ) x

?x

?x

3.

lim
?x?0

?y ?x

?

lim
?x?0

loga

(1? ?x

?x x

)

?

lim
?x?0

1 x

?

x ?x

loga

(1 ?

?x x

)

?

lim
?x?0

1 x

loga (1?

?x

)

x ?x

x

?

1 x

loga

e

?

1 x ln

a

即对数函数

loga

x(a

?

0,

a

?

1)的导数为(loga

x)?

=

x

1 ln

a

;特别地,当a

?

e时,

有 loge

x

?

ln

x,

(ln

x)

'

?

1 x



四、导数的几何意义

函数y = f (x)在 x处0 的导数 f ?(在x) 几何上表示曲线 y =
f (x)在 点M (x0, y处0) 的切线的斜率,即 f ?(x) ? tan? ,α

为切线与x轴正向的夹角。

根据点斜式直线方程,可得
y ? y0 ? f ?(x0 )(x ? x0 )
相应点处的法线方程为:

点M (x0, y处0 ) 的切线方程为:

1 y ? y0 ? ? f ?(x0 ) (x ? x0 )

例1、求曲线y ? cos x在点(? , 2 )处的切线方程和法线方程。
42 解:由(cos x) ? ?sin x及导数的几何意义可知,所求切线的斜率为

k

?

y

|
x

??

?

(? sin

x)

|
x

??

?

?

4

4

2 2

,相应的法线斜率为k

?

?

y

? '(?

)

?

2

4

切线方程为:y ? 2 ? ? 2 (x ? ? );
2 24

法线方程为:y ? 2 ? 2(x ? ? )

2

4

例2、抛物线y ? x2上一点M 处的切线与x轴正向的夹角为? ,求
4 该点坐标并求曲线方程。

解:由幂函数的导数公式(x? ) ' ? ? x??1可知,(x2 ) ' ? 2x,

又由导数的几何意义,令2x ? tan ? ? 1,得x ? 1 ,

4

2

相应y ? 1 ,得点M的坐标为(1 , 1)

4

24

切线方程为:y ? 1 ? 1 (x ? 1),即y ? x ? 1 ;

4

2

4

练习:曲线y ? x3在点M (x0, y0 )处切线斜率为3,则

该点坐标是多少?

五、函数的可导性与连续性的关系
可导性与连续的关系:若函数f (x)在点x可导,则它在点x处 必连续。而若函数在该点连续却不一定可导。

例1、判断y ?| x | 在x ? 0点的连续性和可导性。

解:函数y ?| x | 在(??, ??)上连续,在x ? 0点,当然也是连续的。 另一方面,考虑在x ? 0点的左、右导数:

f??(0) ?

lim
x?0?

f (0 ?

x) ? ?x

f (0) ?

lim
x?0?

?x ?x

?

??x lim ? ?1, x?0? ?x

f??(0) ?

lim
x?0?

f (0 ?

x) ? ?x

f (0) ?

lim
x?0?

?x ?x

?

?x lim x?0? ?x

? 1;

即在x ? 0点的左、右导数都存在但不相等。由可导的充要条件,

y ?| x | 在x ? 0点不可导。 综上,y ?| x | 在x ? 0点连续但不可导。

例2、讨论函数f

(x)

?

?? ?

x

??2x ?1

0 ? x ? 1 在x ? 1处的连续性和可导性。 1 ? x ? ??

解:先讨论连续性,lim f (x) ? lim x ? 1,而 lim f (x) ? lim(2x ?1) ? 1

x?1?

x?1?

x?1?

x?1?

即在x ? 1点的左、右极限都存在且相等,由极限存在的充要条件,有lim f (1) ? 1 x?1

故lim f (x) ? f (1),再由连续定义函数f (x)在x=1点是连续的。 x?1

再讨论可导性,看函数f (x)在x ? 1点的左、右导数:

f??(

x)

?

lim
?x?0?

f (1? ?x) ? ?x

f (1)

? lim ?x?0?

1? ?x ?1

? lim

?x

?x?0?

1 ?1 1? ?x ?1 2

f??(

x)

?

lim
?x?0?

f (1? ?x) ? ?x

f (1)

? lim ?x?0?

1? ?x ?1

2(1? ?x) ?1?1

? lim

?2

?x

?x?0?

?x

即左、右导数都存在但不相等,由可导的充要条件,在x ? 1处不可导。

综上所述,函数f (x)在x ? 1处连续但不可导。


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