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2018届高三数学一轮复习:课时作业21 Word版


课时作业 21

三角函数的图象与性质
l

一、选择题 1.下列函数中周期为 π 且为偶函数的是( π? ? A.y=sin?2x-2?
? ? ?

)
?

π? ? B.y=cos?2x-2? π? ? D.y=cos?x+2?
? ? ?

π? ? C.y=sin?x+2?
? ? ?

π? ? 解析:y=sin?2x-2?=-cos2x 为偶函数,且周期是 π,所以选 A. 答案:A
?π 3π? 2.下列函数中,周期为 π,且在区间?4, 4 ?上单调递增的函数 ? ?

是(

) A.y=sin2x C.y=-sin2x B.y=cos2x D.y=-cos2x

π π π π 解析:由-2+2kπ≤2x≤2+2kπ,k∈Z,得-4+kπ≤x≤4+kπ,
? π π? ?π 3π? k∈Z,所以函数 y=sin2x 在区间?-4,4?上单调递增,在区间?4, 4 ? ? ? ? ? ?π 3π? 上单调递减,则函数 y=-sin2x 在区间?4, 4 ?上单调递增,易知 y ? ?

=-sin2x 的周期为 π,因此选 C. 答案:C
?π 1 ? 3.(2017· 湖南长沙模拟)函数 y=sin?3-2x?,x∈[-2π,2π]的单 ? ?

调递增区间是(
? π 5π? A.?-3, 3 ? ? ? ?

)

π? ? B.?-2π,-3?
? ? ?5π ? C.? 3 ,2π? ? ? ? ?

π? ?5π ? ? D.?-2π,-3?和? 3 ,2π?
?

π 1 解 析 : 令 z = 3 - 2 x , 函 数 y = sinz 的 单 调 递 减 区 间 为 π 3π? ? π π 1 3π 7π ?2kπ+ ,2kπ+ ?,k∈Z,由 2kπ+ ≤ - x≤2kπ+ ,得 4kπ- 2 2? 2 3 2 2 3 ?
?π 1 ? π π 1 ≤x≤4kπ-3, k∈Z, 而 z=3-2x 在 R 上单调递减, 于是 y=sin?3-2x? ? ?

7π π? ? 的单调递增区间为?4kπ- 3 ,4kπ-3?,k∈Z,而 x∈[-2π,2π],故
? ? ?

π? ?5π ? ? 其单调递增区间是?-2π,-3?和? 3 ,2π?,故选 D.
? ? ?

答案:D 4.下列函数,有最小正周期的是( A.y=sin|x| C.y=tan|x| )

B.y=cos|x| D.y=(x2+1)0

?sinx,x≥0, ? 解析: A: y=sin|x|=? 不是周期函数; B: y=cos|x| ? ?-sinx,x<0, ? ?tanx,x≥0, =cosx,最小正周期 T=2π;C:y=tan|x|=? 不是周期 ?-tanx,x<0, ?

函数;D:y=(x2+1)0=1,无最小正周期,故选 B. 答案:B

?π π? 5. 已知函数 y=sin(2x+φ)在区间?4,3?上单调递增, 其中 φ∈(π, ? ?

2π),则 φ 的取值范围为(
?7 ? A.?6π,2π? ? ? ? ? ?

) 11 ? ? B.?π, 6 π?
? ? ? ? ?7 ? D.?6π,2π? ? ?

11 ? ?7 C.?6π, 6 π?
?

2 ?π π? ?π ? 解析: 由 x∈?4,3?, 得 2x+φ∈?2+φ,3π+φ?, 又∵φ∈(π, 2π), π 3 2 5 11 ∴2+φ>2π,3π+φ≤2π,∴π<φ≤ 6 π,故选 B. 答案:B π? ? 6.(2017· 河北名校联考)若函数 f(x)=2sin?ωx-3?(ω≠0),且 f(2
? ?

+x)=f(2-x),则|ω|的最小值为( π A.12 5π C.12

) π B.6 5π D. 6
? ?

π? ? 解析:由题意可得,函数 f(x)=2sin?ωx-3?(ω≠0)的图象关于直 π π 5π kπ 线 x=2 对称,∴2ω-3=2+kπ,k∈Z,∴ω=12+ 2 ,k∈Z,∴|ω|min π =12. 答案:A 二、填空题 7. 函数 f(x)=sin2x-4sinx· cos3x(x∈R)的最小正周期为________. 解析:f(x)=sin2x-2sin2xcos2x=sin2x(1-2cos2x)=-sin2xcos2x 1 2π π =-2sin4x,故其最小正周期为 4 =2.

π 答案:2 π?? ? ? 1 3 8. (2017· 东北沈阳四城市质检)函数 y=2sinx+ 2 cosx?x∈?0,2?? ? ? ?? 的单调递增区间是______. π? ? π π π 解析:因为 y=sin?x+3?,则由 2kπ-2≤x+3≤2kπ+2,k∈Z,
? ?

π? π? ? ? 5π π 即 2kπ- 6 ≤x≤2kπ+6, k∈Z.当 x∈?0,2?时, 单调递增区间为?0,6?.
? ? ? ?

π? ? 答案:?0,6?
? ? ? ?

π? ? 9.函数 f(x)= 2sin?2x-4?+4cos2x 的最小值为________. π? ? 解析:f(x)= 2sin?2x-4?+4cos2x=sin2x-cos2x+2(cos2x+1)=
? ?

π? ? sin2x+cos2x+2= 2sin?2x+4?+2,所以函数 f(x)的最小值为 2- 2.
? ?

答案:2- 2 三、解答题 π? ? 10.已知函数 f(x)=sin2x-sin2?x-6?,x∈R.
? ?

(1)求 f(x)的最小正周期;
? π π? (2)求 f(x)在区间?-3,4?上的最大值和最小值. ? ?

解:(1)由已知,有 1-cos2x - 2 π? ? 1-cos?2x-3?
? ? ? 1 1 ?1 3 ?- cos2x =2×? cos2x+ · sin2 x 2 ?2 ? 2

f (x ) =

2

π? 3 1 1 ? 2π = 4 sin2x-4cos2x=2sin?2x-6?,所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π. ? ?

π π π 5 π 5 π π (2)由 x∈[-3,4],知 2x-6∈[-6π,3],当-6π≤2x-6≤-2即 π π π π π π π -3≤x≤-6时,f(x)是减函数;当-2≤2x-6≤3即-6≤x≤4时,f(x)
? π? 1 ? π? 1 ?π? 3 是增函数, f ?-3? =- 4 , f ?-6? =- 2 , f ?4? = 4 ,所以 f(x) 在区间 ? ? ? ? ? ? ? π π? 3 1 ?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 4 2 ? 3 4?

11.(2016· 北京卷)已知函数 f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的 最小正周期为 π. (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调递增区间. 解:(Ⅰ)因为 f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx π =sin2ωx+cos2ωx= 2sin(2ωx+4), 2π π 所以 f(x)的最小正周期 T=2ω=ω. π 依题意,ω=π,解得 ω=1. π? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)= 2sin?2x+4?.
? ?

函数 y=sinx 的单调递增区间为 π π [2kπ-2,2kπ+2](k∈Z). π π π 3π π 由 2kπ-2≤2x+4≤2kπ+2(k∈Z),得 kπ- 8 ≤x≤kπ+8(k∈Z). 所以 f(x)的单调递增区间为 3π π [kπ- 8 ,kπ+8](k∈Z).

1.(2016· 浙江卷)函数 y=sinx2 的图象是(

)

解析:由于函数 y=sinx2 是一个偶函数,选项 A、C 的图象都关 于原点对称,所以不正确;选项 B 与选项 D 的图象都关于 y 轴对称, π 在选项 B 中, 当 x=± 函数 y=sinx2<1, 显然不正确, 当 x=± 2时, 时,y=sinx2=1,而 答案:D 2.(2016· 浙江卷)设函数 f(x)=sin2x+bsinx+c,则 f(x)的最小正 周期( ) B.与 b 有关,但与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关 1-cos2x +bsinx+c.当 b=0 2 π π 2<2,故选 D. π 2

A.与 b 有关,且与 c 有关 C.与 b 无关,且与 c 无关

解析:由于 f(x)=sin2x+bsinx+c=

时,f(x)的最小正周期为 π;当 b≠0 时,f(x)的最小正周期为 2π.c 的

变化会引起 f(x)图象的上下平移,不会影响其最小正周期.故选 B. 答案:B ωx 1 1 3.(2016· 天津卷)已知函数 f(x)=sin2 2 +2sinωx-2(ω>0),x∈ R.若 f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则 ω 的取值范围是( 1? ? A.?0,8?
? ?

)

1? ?5 ? ? B.?0,4?∪?8,1?
? ? ? ? ?

5? ? C.?0,8?
? ?

1? ?1 5? ? D.?0,8?∪?4,8?
? ? ?

1 1 1 1 1 2 解析: f(x) = 2 (1 - cosωx) + 2 sinωx - 2 = 2 sinωx - 2 cosωx = 2 π 1 2 1 π sin(ωx-4),当 ω=2时,f(x)= 2 sin(2x-4),x∈(π,2π)时,f(x)∈
?1 π? 3 2 ?3 2? ? , ?,无零点,排除 A,B;当 ω= 时,f(x)= sin? x- ?,x 4? 16 2 2? ?16 ?2

∈(π,2π)时,0∈f(x),有零点,排除 C.故选 D. 答案:D 2π? ? 4.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)?0<φ< 3 ?的最小正周期为 π.
? ?

(1)求当 f(x)为偶函数时 φ 的值;
?π 3? (2)若 f(x)的图象过点? , ?,求 f(x)的单调递增区间. 2? ?6

2π 解:∵由 f(x)的最小正周期为 π,则 T= ω =π,∴ω=2.∴f(x)= sin(2x+φ), (1)当 f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x). ∴sin(2x+φ)=sin(-2x+φ), 展开整理得 sin2xcosφ=0, 由已知上式对?x∈R 都成立,

2π π ∴cosφ=0,∵0<φ< 3 ,∴φ=2.
?π 3? (2)f(x)的图象过点? , ?时, 2? ?6

π ? ? ?π ? 3 3 sin?2×6+φ?= 2 ,即 sin?3+φ?= 2 . ? ? ? ? 2π π π 又∵0<φ< 3 ,∴3<3+φ<π, π 2π π ∴3+φ= 3 ,φ=3. π? ? ∴f(x)=sin?2x+3?.
? ?

π π π 令 2kπ-2≤2x+3≤2kπ+2,k∈Z, 5π π 得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z. ∴f(x)的单调递增区间为 5π π [kπ-12,kπ+12],k∈Z.

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